高考数学一轮复习 75 直线、平面垂直的判定及其性质课件 文.ppt

第五节直线 平面垂直的判定及其性质 最新考纲展示1 以立体几何的定义 公理和定理为出发点 认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理 2 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间垂直关系的简单命题 一 直线与平面垂直1 定义 如果直线l与平面 内的直线都垂直 则直线l与平面 垂直 2 判定定理 一条直线与一个平面内的两条直线都垂直 则该直线与此平面垂直 3 推论 如果在两条平行直线中 有一条垂直于一个平面 那么另一条也垂直于这个平面 4 直线和平面垂直的性质 1 垂直于同一个平面的两条直线 2 直线垂直于平面 则垂直于平面内直线 3 垂直于同一条直线的两平面 任意一条 相交 平行 任意 平行 二 二面角的有关概念1 二面角 从一条直线出发的所组成的图形叫作二面角 2 二面角的平面角 以二面角的棱上任一点为端点 在两个半平面内分别作的两条射线 这两条射线所成的角叫作二面角的平面角 三 平面与平面垂直1 定义 如果两个平面所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 2 判定定理 一个平面过另一个平面的 则这两个平面垂直 3 性质定理 两个平面垂直 则一个平面内的直线与另一个平面垂直 两个半平面 垂直于棱 直二面角 垂线 垂直于交线 四 直线和平面所成的角1 平面的一条斜线和它在所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角 2 当直线与平面垂直和平行 或直线在平面内 时 规定直线和平面所成的角分别为 平面上的射影 90 和0 1 直线与平面垂直的定义常常逆用 即a b a b 2 若平行直线中一条垂直于平面 则另一条也垂直于该平面 3 垂直于同一条直线的两个平面平行 4 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 5 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 6 两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形 7 由平面和平面垂直的判定定理可知 要证明平面与平面垂直 可转化为从现有直线中寻找平面的垂线 即证明线面垂直 8 平面和平面垂直的判定定理的两个条件 l l 缺一不可 一 直线与直线垂直1 设a b是平面 内两条不同的直线 l是平面 外的一条直线 则 l a 且l b 是 l 的 a 充要条件b 充分不必要条件c 必要不充分条件d 既不充分也不必要条件解析 由线面垂直的判定定理知 充分性不成立 由线面垂直的性质定理知 必要性成立 故选c 答案 c 2 已知直线a b和平面 且a b a 则b与 的位置关系为 a b b b c b 或b d b与 相交解析 由a b a 知b 或b 但直线b不与 相交 答案 c 二 平面与平面垂直3 判断下列结论的正误 正确的打 错误的打 1 直线l与平面 内的无数条直线都垂直 则l 2 垂直于同一个平面的两平面平行 3 若两条直线与一个平面所成的角相等 则这两条直线平行 4 若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线 则 答案 1 2 3 4 4 在正四面体abcd中 e f g分别是bc cd db的中点 下面四个结论中不正确的是 a bc 平面agfb eg 平面abfc 平面aef 平面bcdd 平面abf 平面bcd解析 易知点a在平面bcd上的射影在底面的中心 而中心不在ef上 所以平面aef 平面bcd错误 选c 答案 c 1 求证 ad c1e 2 当异面直线ac c1e所成的角为60 时 求三棱锥c1 a1b1e的体积 直线与平面垂直的判定与性质 师生共研 解析 1 证明 因为ab ac d是bc的中点 所以ad bc 又在直三棱柱abc a1b1c1中 bb1 平面abc 而ad 平面abc 所以ad bb1 由 得ad 平面bb1c1c 由点e在棱bb1上运动 得c1e 平面bb1c1c 所以ad c1e 2 因为ac a1c1 所以 a1c1e是异面直线ac c1e所成的角 由题设 a1c1e 60 因为 b1a1c1 bac 90 所以a1c1 a1b1 又aa1 a1c1 从而a1c1 平面a1abb1 于是a1c1 a1e 规律方法 1 解答此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质 注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用 这是证明空间垂直关系的基础 2 由于 线线垂直 线面垂直 面面垂直 之间可以相互转化 因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开 这是化解空间垂直关系难点的技巧所在 1 2014年保定调研 如图所示 已知三棱锥a bpc中 ac bc ap pc m为ab的中点 d为pb的中点 且 pmb为正三角形的 1 求证 bc 平面apc 2 若bc 3 ab 10 求点b到平面dcm的距离 解析 1 pmb为正三角形 且d为pb的中点 md pb 又 m为ab的中点 d为pb的中点 md ap ap pb 又已知ap pc ap 平面pbc ap bc 又 ac bc ac ap a bc 平面apc 例2如图 在四棱锥p abcd中 ab cd ab ad cd 2ab 平面pad 底面abcd pa ad e和f分别是cd和pc的中点 求证 1 pa 底面abcd 2 be 平面pad 3 平面bef 平面pcd 平面与平面垂直的判定及性质 师生共研 证明 1 因为平面pad 底面abcd 且pa垂直于这两个平面的交线ad 所以pa 底面abcd 2 因为ab cd cd 2ab e为cd的中点 所以ab de 且ab de 所以abed为平行四边形 所以be ad 又因为be 平面pad ad 平面pad 所以be 平面pad 3 因为ab ad 而且abed为平行四边形 所以be cd ad cd 由 1 知pa 底面abcd 所以pa cd 所以cd 平面pad 所以cd pd 因为e和f分别是cd和pc的中点 所以pd ef 所以cd ef 又 co be be ef e 所以cd 平面bef 所以平面bef 平面pcd 规律方法 1 两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形 2 由平面和平面垂直的判定定理可知 要证明平面与平面垂直 可转化为从现有直线中寻找平面的垂线 即证明线面垂直 3 平面和平面垂直的判定定理的两个条件 l l 缺一不可 2 如图 四棱锥p abcd中 ab ac ab pa ab cd ab 2cd e f g m n分别为pb ab bc pd pc的中点 1 求证 ce 平面pad 2 求证 平面efg 平面emn 因为e f分别为pb ab的中点 所以ef pa 又ef 平面pad 所以ef 平面pad 因为cf ef f 故平面cef 平面pad 又ce 平面cef 所以ce 平面pad 2 因为e f分别为pb ab的中点 所以ef pa 又ab pa 所以ab ef 同理可证ab fg 又ef fg f ef 平面efg fg 平面efg 因此ab 平面efg 又m n分别为pd pc的中点 所以mn cd 又ab cd 所以mn ab 因此mn 平面efg 又mn 平面emn 所以平面efg emn 考情分析空间线 面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点 归纳起来常见的命题角度有 1 以多面体为载体综合考查平行与垂直的证明 2 探索性问题中的平行与垂直问题 3 折叠问题中的平行与垂直问题 平行与垂直的综合问题 高频研析 角度一平行与垂直关系的证明1 2014年高考湖北卷 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f p q m n分别是棱ab ad dd1 bb1 a1b1 a1d1的中点 求证 1 直线bc1 平面efpq 2 直线ac1 平面pqmn 证明 1 连接ad1 由abcd a1b1c1d1是正方体 知ad1 bc1 因为f p分别是ad dd1的中点 所以fp ad1 从而bc1 fp 而fp 平面efpq 且bc1 平面efpq 故直线bc1 平面efpq 2 如图 连接ac bd 则ac bd 由cc1 平面abcd bd 平面abcd 可得cc1 bd 又ac cc1 c 所以bd 平面acc1 而ac1 平面acc1 所以bd ac1 因为m n分别是a1b1 a1d1的中点 所以mn bd 从而mn ac1 同理可证pn ac1 又pn mn n 所以直线ac1 平面pqmn 角度二探索性问题中的平行与垂直问题2 如图 直三棱柱abc a1b1c1中 ac bc ac bc cc1 2 m n分别为ac b1c1的中点 1 求线段mn的长 2 求证 mn 平面abb1a1 3 线段cc1上是否存在点q 使a1b 平面mnq 说明理由 3 线段cc1上存在点q 且q为cc1中点时 有a1b 平面mnq证明如下 连接bc1 在正方形bb1c1c中易证qn bc1 又a1c1 平面bb1c1c 所以a1c1 qn 从而nq 平面a1bc1 所以a1b qn 同理可得a1b mq 所以a1b 平面mnq 故线段cc1存在点q 使得a1b 平面mnq 角度三折叠问题中的平行与垂直关系3 2014年高考广东卷 如图 1 四边形abcd为矩形 pd 平面abcd ab 1 bc pc 2 按图 2 折叠 折痕ef dc 其中点e f分别在线段p