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4.4 快速傅里叶变换 设有限长序列（长度为），其离散变换对为 （16） （17）其中由上式可看出，计算点的DFT需做次复数乘法运算和次复数加法运算。当较大时，上述运算量将是巨大的，如时，复数乘法次数为次。由于系数具备一些特殊性质，在此基础上能够构造一种计算开销小许多的新算法。的性质：1、具有周期性（以为周期） 同理 2、具有对称性 设有限长序列，长度，为正整数，为后续讨论问题方便，记 记 于是 （17）为论述方便，考察一个长度为8的离散序列，由式（17），得 （18）注意到、为4点的离散傅里叶变换，故周期为4，于是有，。又根据对称性，则有，式（18）可改写为 （19）蝶形单元 图4-3 蝶形运算单元通过蝶形图可以对式（19）的计算过程加以描述，式（19）与式（18）相比，复数乘法次数减少一半。计算、做一次复数乘法两次复数加法。为，四点的离散傅里叶变换。为，四点的离散傅里叶变换。按照上述思路，分别对和做奇偶分解 （20）其中 为，两点离散傅里叶变换为，两点离散傅里叶变换利用周期性和对称性，式（2）可写为由，计算的蝶形图如下图4-4点DFT分解为2点DFT的蝶形流图 根据对称性，有，于是两点DFT为不可再分的DFT。图4-5 8点DFT蝶形流图由图4-5可见，需按0，4，2，6，1，5，3，7输入，则输出为0，1，2，3，4，5，6，7自然顺序。而0，1，2，3，4，5，6，7所对应二进制数的码位倒序所代表的十进制数刚好为0，4，2，6，1，5，3，7。自然顺序十进制数 自然顺序二进制数 二进制数的码位倒序 码位倒序后的十进制数0 000 000 01 001 100 42 010 010 23 011 110 64 100 001 15 101 101 56 110 011 37 111 111 7由图4-5看到，当时，共有级蝶形流图，每级蝶形流图有个蝶形单元，因此，3级蝶形流图共有蝶形单元数为 据前面分析，每一个蝶形单元需做一次复数乘法运算，两次复数加法运算，所以8点FFT总运算量为 乘法 加法 如果按DFT方式计算，则8点DFT总计算量为乘法 加法 如果是个点的FFT，则复数乘法与加法的运算量分别为
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