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探究：学生从知识课堂走向智慧课堂“二项式系数的性质与应用”课例及其点评北京丰台二中 张健 学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。“二项式系数的性质与应用”是高中数学新课程数学选修2-3“计数原理”中的一节内容。这节内容的难度大，探究性强，所渗透的数学思想方法较多，如何在教师的引导下，让学生通过自主探究、合作交流的学习方式“体验数学发现和创造的历程”？我们对这节课作了富有成效的尝试。1课堂教学简录教师：二项式系数之间有什么关系？ （学生沉思，没有回答）教师：研究数的变化规律，一般采用什么方法？学生2：从特殊到一般的方法。教师：“从特殊到一般”的基本思路是学生3：观察特例找出规律归纳猜想给出证明。学生4：取我发现：前后两个二项式系数都是1；与两端间距相等的两个二项式系数相等；当为偶数时，中间一个二项式系数最大；当为奇数时，中间两个二项式系数最大。教师：真不错！一下就说出来三条性质。为了便于观察，我们可以对取不同值，得到二项式系数表（多媒体投影图1）：图1教师：二项式的右侧的表是由左侧表计算得来的。二项式系数表构成了三角形图案，右侧这个三角形图案最早是由我国古代数学家杨辉发现的，所以又称“杨辉三角”，它比西方的“帕斯卡三角”早300多年。教师：能用式子表示这些性质吗？学生5：；当为偶数时，以最大；当为奇数时，以和（两者相等）最大。（有其他同学补充）教师：还有其它发现吗？学生6：“杨辉三角”从第三行开始，每行的数都是先增后减。教师：怎么用数学符号表示？学生7：设，于是，可推出。即当时，；同理当时，。教师：还有其它性质吗？（学生沉默）教师：同行的数“亲如兄弟”，异行的数是否也“藕断丝连”呀！学生8：任意一个数（除1以外）都等于它“两肩”上的两个数之和。教师：你能发现它很不简单！请看图2。这个性质怎么表示？ 图2 图3学生9：任意写出一项，根据其规律即可写出其它两项（如图3），于是有，或。教师：太精彩了！由于是任意的，实际这两个等式是统一的。教师：这个性质非常重要！它可以使“杨辉三角”连续不断的写下去。你能说出各项的二项式系数吗？学生10：1，7，21，35，35，21，7，1。教师：还有其他发现吗？（学生沉思）教师：刚才我们探索了“杨辉三角”“局部”之间数的关系，若从“整体”上看呢？比如，把每一行的所有数赋予运算，所得的值是否有规律性呢？学生11：我把每一行的数都相加：第一行为120；第二行为221；第三行为422；于是第行应为。也就是。教师：真不简单呀！这个性质是通过归纳猜想得到的，怎么证明它呢？（学生沉思）教师：这个式子的“源头”在哪里呀？学生：二项式定理。学生12：我是这样想的，不知对不对！要用二项式定理证明这个等式，关键是把展开式各项中的字母化为1，于是令，就得证了。教师：大家认为她这样证明是否可以？学生13：可以。因为二项式定理对任意的都正确，所以当都取1时，推出的结论当然也是正确的。教师：是的！若一般情形成立，则特殊情形一定成立。我们把这种代入特殊值来解决问题的方法，称为赋值法。把二项式定理中的赋予不同的特殊值，还能得到一些结论!学生14：令，得。教师：其实用赋值法还能解决很多有趣的问题，请看下面例题：例1已知，求的值。学生15：先令，可得，再令，得。再将所求的式子分解因式，代入这两个值，即可求得其值为1。教师：赋值法在这里起到了化难为易、化繁为简的作用。例2证明：。学生16：在中，令即得证。学生17：直接用二项式定理就可证得。由于，把右边展开即得。教师：思路都很好！用赋值法证明此题的关键是构造一个恰当的二项式；用二项式定理证明的关键是拆项。再看几个直接运用二项式系数的性质来解决的问题：例3求证：。学生18：由，即得证。教师：运用二项式系数的性质解决问题的关键是能够灵活的变换这些性质公式。例4证明：能被1000整除。学生19：，只要能证明能被1000整除即可。而=10，于是问题得证。教师：一般来说，当时，应用进行转化，可以减少计算量。 例5证明：当为偶数时，。学生20：由上面学习的性质，我们有：，将第二个等式代入第一个等式，消去偶数项，化简后即得。2教学特色点评数学教学从本质上说，是教师和学生以课堂为主渠道的交往活动，是教师和学生在特殊教育情境中的自主探究活动。这节课教师本着“让学生充分经历知识的形成、发展和应用过程”、“充分体验数学的发现和创造历程”的教学理念，为学生的智慧生长而教，使学生在探究中“转知为智，化识成慧”，从知识课堂走向智慧课堂。21 提供时空：让学生在探究过程中生成智慧。教材知识的呈现方式是单一的、静态的，而学生获取的方式是多样的、动态的。教师能够摒弃“教教材”的做法，树立“用教材教”的理念，将教材中静态的数学知识还原成动态的生成过程，尽可能地为学生提供一种思考、交流、探究的空间，像科学家一样参与数学知识的再发现、再创造过程，引导学生从过程中体验和感悟。在探究过程中，教师充当一名组织者，提供探究材料（杨辉三角），提出学习要求；充当一名引导者，帮助学生获得探究方法（从特殊到一般），提示研究方向，引导学生朝着有意义的方向去做；充当一名合作者，成为学生中的一员，与学生平等交流，相互分享彼此的思考、见解和知识。学生拥有一份被信任感，积极参与自主探究、合作交流活动，其间，矛盾冲突层层深入，思维碰撞时时激起，智慧火花不断生成：“与两端间距相等的两个数相等”、“当为偶数时，中间一个最大；当为奇数时，中间两个最大”、“任意一个数（除1以外）都等于它两肩上的两个数之和”多么富有个性化的理解和表达，这是学生灵感和智慧的外显，是对数学学习的一种超越和真正的创造。2.2 注重有效：让学生在多样化的教学形态中生成智慧。有效的数学课堂应该是体现新课程理念、体现学生主动发展的课堂。数学课堂是否有效，主要看学生发展是否有效，促进学生生动活泼地主动发展的课堂就是有效的课堂。有效的数学课堂没有固定的模式，应表现为多样的教学形态。综观本节课，主要有以下几种教学形态：（1）对话课堂形态。本节课是以师生平等关系为基础，以学生自主探究为特征，以对话为手段进行教学的。在教师的引导下，通过教师和学生、学生和学生的相互启发和讨论，实现了学生个体对知识的自主建构和主体的全面发展。（2）活动课堂形态。本节课是以探究性活动的形式来促进学生发展的。教师在学生探索的基础上，适时的向学生提供了杨辉三角，很自然的把学生带入了探究新知的数学活动中。学生通过观察、分析、归纳、猜想、验证等数学活动，在经历了思考的痛苦、超越的艰辛、刻苦的体验之后，获得的是成功的喜悦，是信心的倍增，是创造潜能的提升，是智慧的生成。（3）开放课堂形态。本节课的教学结构是开放的：教师不追求固定的教学结构，没有墨守封闭性教学过程的预设，而是根据教学的需要灵活地安排教学程序，适时地调整教学环节，提高教学实效。本节课的教学方法是开放的：教师改变了单一的讲授方法，在多媒体的辅助下，实现了多种教学方法的优化组合，促进了学生自主地学习、能动地建构。本节课的教学时空是开放的：课堂上凡是学生能想的、能说的、能做的，都让学生自己去完成，教师尽量减少对教学时空的占有，把更多的学习时空让给了学生。2.3 创设情境：让学生在亢奋的探究状态中生成智慧。一堂成功的课，离不开良好的探究情境和学习氛围。探究情境需要靠教师智慧地创设，学习氛围需要靠师生互动来营造。在这方面，教师采取了以下有效措施。（1）生成问题，激发学生的探究欲望。本节课开始时，师生在复习回顾的基础上，自然的生成“二项式系数之间有什么关系？”这样一个开放性强、发散范围大的“元认知问题”，从而引发学生的认知冲突，使学生产生探究的欲望。（2）明确方法，让学生在探究中学会探究。当学生对所提出的“二项式系数之间有什么关系？”不知该如何探究时，教师适时的给予了方法上的“暗示”：“研究数的变化规律，一般采用什么方法？”在教师的启发下，学生凭着自己的学习经验，智慧地感悟到应该运用“从特殊到一般，归纳猜想”的探究方法。（3）提供材料，为学生探究提供智力背景。在学生思维开始活跃时，教师适时地向学生提供杨辉三角。这个充满“神秘”，暗藏“悬念”的美丽图表，会给学生探究问题注入活力图表中的数据变化有什么规律呢？数据之间有什么联系呢？我怎样发现这些规律，找出它们之间的联系呢？学生在这些现实问题的驱动下，探究激情和欲望高涨起来，同时，这个图表也为学生探究新知铺平了道路。（4）启发引导，为学生探究铺路搭桥。这节课无论是“二项式系数性质”的得出，还是赋值法和二项式系数的性质的应用过程，都是通过学生的探究来完成的。在难点问题的处理上，教师采用了“问题串”进行启发、暗示，引发学生的灵感，促进智慧的生成，没有出现“教师告诉，学生接受”的灌输式教学。（5）语言幽默，为学生探究营造轻松愉悦的氛围。学生对新知识的发现、开掘、利用、揭示，对新问题的解决、拓展、延伸、归纳，都可以在教师风趣幽默且富有哲理的语言表达中引发。“同行的数亲如兄弟，异行的数是否也藕断丝连呀！”、“你能发现它很不简单呀！”、“这个式子的源头在哪里呀？”等等，这些妙趣横生的语言营造了良好的探究氛围，构建了轻松愉快的课堂，引发了学生学习数学的兴趣和持久的驱动力，促进了学生智慧的生成。2.4 注重归纳：让学生在数学思想方法的提炼中生成智慧。本节课中，教师注重对数学思想方法的提炼与运用，在知识的形成过程中，教师引导学生回忆“从特殊到一般”的探究过程，提炼归纳猜想的方法，并运用其去发现“二项式系数的性质”；在知识的应用过程中，教师引导学生经历“从一般到特殊”的过程，提炼出赋值法，并运用其证明猜想的性质和一些问题。这些数学思想方法是学生在经历知识形成、发展和应用的过程中，自然形成并提炼出来的，是课堂教学中，学生智慧生成的闪光点。总之，这节课是在教师适时、恰当的的引导下，由学生通过自主探究、合作交流的方式完成学习任务的。课堂不再仅仅是师生进行