2用基底建模向量法解决立体几何问题(学生用).doc

用向量基底法解决立体几何问题 利用空间向量的坐标运算需先建立空间直角坐标系，但建立空间直角坐标系有时要受到图形的制约,在立体几何问题中很难普遍使用，其实向量的坐标形式只是选取了特殊的基底，一般情况下, 我们可以根据题意在立体几何图形中选定一个基底,然后将所需的向量用此基底表示出来, 再利用向量的运算进行求解或证明, 这就是基底建模法. 它是利用向量的非坐标形式解立体几何问题的一种有效方法。向量基底建模法在解决立体几何的证明、求解问题中有着很特殊的妙用。一课前热身1. 如图所示，已知四面体ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、 AC的中点，则()化简的结果为（ ） (A B CD2如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是 ( )Aabc B.abcC.abc Dabc3已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若xy，则x、y的值分别为 ()Ax1，y1 Bx1，yCx，y Dx，y14正四棱维P-ABCD中，O为底面中心，设，E为PC的中点，则 可表示为 （ ） A. B. C. D. 5.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_二经典例题讲解求向量和所成的角，首先应将和用同一组基底表示出来，再利用公式；求线段的长度，可利用。例1.二面角l为60，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl， BDl，且ABAC，BD2a，则CD的长为 ()A2a B.a Ca D.a例2.在空间四边形中，求与的夹角的余弦值。例3如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两夹角为60.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值 ACBEDNMACBEDNM例4.在DABC中，C=60，CD为C的平分线，AC=4，BC=2，过B作BNCD于N，延长BN交CA于E，作AM CD，交CD的延长线于M，将图形沿CD折起，使BNE=120，求：（1）折起后AM与BC所成的角；（2）折起后所得线段AB的长度。例5.如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，ABC=60，PA面ABCD ， PA=AC =a,PB=PD=，点E在PD上，且PE:PD=2:1. 在棱PC上是否存在一点F，使BF 平面AEC？证明你的结论.ADCBADCB1111例6.如图，已知平行六面体ABCD-ABCD的底面ABCD是菱形且CCB=CCD=BCD，（1）证明：CCBD；（2）当的值为多少时，能使AC平面CBD？请给出证明。三课后练习1.如图1，已知正四面体ABCD中，E、F分别在AB，CD上，且 ， ，则直线DE和BF所成角的余弦值为（ ）A、 B、 C、 D、2.等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为 ，分别是的中点，则所成角的余弦值等于 BACD3.如图，45的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB4，AC6，BD8，求CD的长.4.如图，在梯形ABCD中，ABCD，ADC90，3ADDC3，AB2，E是DC上的点，且满足DE1，连结AE，将DAE沿AE折起到D1AE的位置，使得D1AB60，设AC