高中数学 第二章《函数的单调性》教学课件 北师大版必修1.ppt

3函数的单调性 1 初中学习过一次函数 二次函数 还记得函数f x x的图象特征吗 自左向右 图象是 即函数值随着x的增大而 函数f x x2的图象是 而且其图象在区间 0 内是 即函数值随x的增大而 在区间 0 内图象是 即函数值随x的增大而 2 从函数f x x2的图象上还可看出当x 0时 y 0是所有函数值中 而对于f x x2来说 x 0时 y 0是所有函数值中 答案 1 上升的增大抛物线下降的减小上升的增大2 最小的最大的 1 增函数与减函数的定义在函数y f x 的定义域内的一个区间a上 1 如果对于两数x1 x2 a 当x1 x2时 都有 那么 就称函数y f x 在区间a上是增加的 有时也称函数y f x 在区间a上是的 2 如果对于任意两数x1 x2 a 当x1 x2时都有 那么 就称函数y f x 在区间a上是减少的 有时也称函数y f x 在区间a上是的 任意 f x1 f x2 递增 f x1 f x2 递减 2 单调区间 单调性及单调函数 1 单调区间 如果y f x 在区间a上是或是 那么称为单调区间 在单调区间上 如果函数是增加的 那么它的图象是 如果函数是减少的 那么它的图象是 2 单调性 如果函数y f x 在定义域的某个子集上是或是 那么就称函数y f x 在这个上具有单调性 3 单调函数 如果函数y f x 在内是增加的或是减少的 那么分别称这个函数为或 统称为单调函数 增加的 减少的 a 上升的 下降的 增加的 减少的 子集 整个定义域 增函数 减函数 能否将增函数 减函数 定义中的 任意两个值x1 x2 改为 存在两个值x1 x2 虽然f 1 f 2 但f x 在 1 2 上并不递增 提示 不能 如图所示 函数单调性的判定或证明 思路点拨 解答本题只需按照函数单调递增的定义加以证明 根据定义证明函数的单调性可按如下步骤进行 1 取值 即设x1 x2是该区间内的任意两个值 且x1 x2 2 作差变形 即作差f x1 f x2 并通过因式分解 配方 有理化等方法 使其转化为易于判断正负的式子 3 定号 即确定f x1 f x2 的符号 4 判断 即根据定义得出结论 其中第二步是关键 在变形中一般尽量化为几个最简因式的积或几个完全平方的形式 1 证明函数在区间 0 上是增函数 证明 设x1 x2为区间 0 上的任意两个值 且x10 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 故在区间 0 上是单调增函数 求函数的单调区间 如图所示的是定义在半开半闭区间 5 5 上的函数y f x 的图象 根据图象写出y f x 的单调区间 并指出在每一个单调区间上y f x 是增函数还是减函数 思路点拨 观察图象可知 函数y f x 在区间 5 5 上不具有单调性 但在区间 5 2 2 1 1 3 3 5 上具有单调性 解析 函数y f x 的单调区间有 5 2 2 1 1 3 3 5 其中y f x 在区间 5 2 1 3 上是减函数 在区间 2 1 3 5 上是增函数 1 利用图象研究函数的单调性是常用的解题方法 但要注意函数的定义域 2 写单调区间时 不连续的单调区间必须分开写 不能用 符号连接它们 如函数y 其定义域为 0 0 不能笼统地说 函数在 0 0 上单调递减 而只能说函数在 0 和 0 上递减 因为若在 0 0 jp4 上递减 对 1f 1 而事实上f 1 f 1 3 求函数的单调区间不能忽视定义域 单调区间应是定义域的子集 2 求下列函数的单调区间 1 f x x2 3x 2 2 f x 3 x 函数单调性的应用 已知函数 x 2 5 1 判断该函数在区间 2 5 上的单调性 并给予证明 2 求该函数在区间 2 5 上的最大值与最小值 思路点拨 解答本题可先利用定义证明f x 的单调性 在此基础上利用单调性解答最值 1 运用函数单调性求最值是求解函数最值问题的重要方法 特别是当函数图象不好作或作不出来时 单调性几乎成为首选方法 2 函数的最值与单调性的关系 若函数在闭区间 a b 上是减函数 则f x 在 a b 上的最大值为f a 最小值为f b 若函数在闭区间 a b 上是增函数 则f x 在 a b 上的最大值为f b 最小值为f a 1 解读函数单调性的定义 1 定义中的关键词 定义域i内某个区间d 即函数的单调区间是其定义域的子集 单调性是与 区间 紧密相关的 一个函数在不同区间可以有不同的单调性 对于 任意 都有 对于 即两个自变量x1 x2 必须取自给定的区间 任意 即不能用特殊值代替 都有 即只要x1 x2 就必须有f x1 f x2 或f x1 f x2 2 函数单调性的刻画 图形刻画 对于给定区间上的函数y f x 它的图象若从左向右连续上升 下降 则称函数在该区间上是单调递增 减 的 定性刻画 对于给定区间上的函数y f x 若函数值随自变量的增大而增大 减小 则称函数在该区间上是单调递增 减 的 2 判定函数单调性的常见方法 1 定义法 这是证明或判定函数单调性的常用方法 2 图象法 根据函数图象的升 降情况进行判断 3 直接法 运用已知的结论 直接得到函数的单调性 如一次函数 二次函数 反比例函数的单调性均可直接说出 直接判断函数的单调性 可用到以下结论 函数y f x 与函数y f x 的单调性相反 函数f x 恒为正或恒为负时 函数y 与y f x 的单调性相反 在公共区间内 增函数 增函数 增函数 增函数 减函数 增函数等 错因 出现上述错误解法的原因主要为不清楚抽象函数的定义域 在抽象函数中满足函数关系式的自变量首先应在定义域内 这是一个极易被忽视也是极易出现错误的地方 也就是说变量x首先应满足 1 x 2 1 1 1 x 1 在此基础上利用单调性的定义将 f 符号脱掉 1 函数y x2的单调增区间为 a 0 b 0 c 0 d 答案 a 2 已知函数y f x 定义在 2 1 上 且有f 1 f 0 则下列判断正确的是 a f x 必为 2 1 上的单调增函数 b f x 必为 2 1 上的单调减函数 c f x 不是 2 1 上的单调减函数 d f x 不是 2 1 上的单调增函数 解析 不能根据某两个点处的函数值的大小确定函数的单调性 答案 d 3 如图所示 函数y f x 的单调递增区间有 递减区间有 解析 结合图象可知 函数y f x 在区间 2 0 1 上是减函数 在 2 0 及 1 上是增函数 答案 2 0 1 2