高中数学 2.5从力做的功到向量的数量积课件 北师大版必修4.ppt

5从力做的功到向量的数量积 1 向量的夹角与投影 1 夹角 定义 已知两个非零向量a和b 作 a b 则 叫作向量a与b的夹角 范围 大小与向量共线 垂直的关系 aob 0 180 0 a与b 180 a与b 90 a b 同向 反向 2 投影 定义 如图所示 a b 过点b作bb1垂直于直线oa 垂足为b1 则ob1 叫做向量b在a方向上的投影数量 简称投影 b cos b cos 大小与夹角的关系 b 正值 0 负值 b 2 向量的数量积 1 定义 已知两个向量a与b 它们的夹角为 我们把 叫作a与b的数量积 或内积 记作 即a b 2 几何意义 数量积a b等于a的长度 a 与b在a方向上投影 的乘积 或b的长度 与a在b方向上投影 的乘积 3 物理意义 力对物体做功 就是力f与其作用下物体的位移s的数量积 a b cos a b a b cos b cos b a cos f s 4 性质 若e是单位向量 则e a a e a b a cos a b 0 a b a b a cos a b 0 5 运算律 交换律 a b 结合律 a b 分配律 a b c b a a b a b a b a c 1 判一判 正确的打 错误的打 1 向量的夹角与直线的倾斜角的范围相同 2 向量的投影与向量的数量积和向量的线性运算的结果都是一个向量 3 设非零向量a与b的夹角为 cos 0 a b 0 4 若a b b c 则一定有a c 解析 1 错误 两个向量夹角的范围是 0 而直线倾斜角的范围是 0 2 错误 向量的投影与向量的数量积结果是一个数量 而非向量 3 正确 cos 故cos 0 a b 0 4 错误 向量b与向量a c可能垂直 向量a c可能方向相反 答案 1 2 3 4 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 若 a 2 向量a与b的夹角为则a在b方向上的投影为 2 若 a 1 b 4 a与b的夹角为则a b 3 若 a 2 b 1 a b 则a与b的夹角为 解析 1 由投影的定义得a在b方向上的投影为 a cos 2 1 答案 1 2 由数量积的定义得 a b a b cos 1 4 2 答案 2 3 设a与b的夹角为 由a b a b cos 得cos 又 0 所以 答案 要点探究 知识点1向量的数量积1 写法及与实数乘积的区别两向量a b的数量积也称作内积 写成a b 其应与代数中的a b的乘积ab区分开来 其中 是一种运算符号 不同于实数的乘法符号 在向量运算中既不能省略 也不能用 代替 2 运算的结果 1 向量线性运算的结果是一个向量 但两个向量的数量积是一个数量 2 由于0 180 所以a b可以为正数 负数和零 且当0 90 时 a b 0 当 90 时 a b 0 当90 180 时 a b 0 3 若a为零向量 则 a 0 从而a b 0 故零向量与任一向量的数量积为0 4 a a a2 a 2 5 两个单位向量的数量积等于它们的夹角的余弦值 微思考 1 影响数量积大小的因素有哪些 提示 影响数量积大小的因素有两个 向量的模及其夹角大小 2 若a b 0 是否一定有a b 请说明理由 提示 一定 因a b中至少有一个为零向量时 我们规定了零向量与任一向量垂直 因此一定正确 即时练 已知 a 2 b 4 当 1 a b 2 a b 3 a与b的夹角为150 时 分别求a与b的数量积 解析 1 当a b时 若a与b同向 即 0 则a b a b cos 8 若a与b反向 即 180 a b a b cos180 8 2 当a b时 90 则a b a b cos90 0 3 当a与b的夹角为150 时 a b a b cos150 知识点2数量积的性质与运算律1 数量积五条性质的应用性质 1 可以帮助理解数量积的几何意义 性质 2 可以解决有关垂直的问题 性质 3 可以求向量的长度 性质 4 可以求两向量的夹角 性质 5 可以解决有关不等式的问题 当且仅当a b时 等号成立 2 数量积运算遵循的运算律及常用公式 1 遵循的运算律 数量积的运算只适合交换律 分配律及数乘结合律 不适合乘法结合律 即 a b c不一定等于a b c 这是由于 a b c表示一个与c共线的向量 而a b c 表示一个与a共线的向量 而c与a不一定共线 2 常用公式及注意点 a b a b a 2 b 2 a b 2 a 2 2a b b 2 a b 2 a 2 2a b b 2 注意 a 2 a a b 2 b b 知识拓展 向量数量积与实数乘积相关结论比较 微思考 1 若a b 0 a与b的夹角是锐角吗 若a b 0 a与b的夹角是钝角吗 反过来呢 提示 不一定 可能为0 不一定 可能为180 反过来正确 2 若 a b a b 是否一定有a b 请说明理由 提示 一定 因为a b a b cos 所以 a b a b cos 由已知得 a b cos a b 即 cos 1 cos 1 又 0 所以 0或 故a b 即时练 1 2014 西安高一检测 若e1 e2是两个平行的单位向量 则下面结果正确的是 a e1 e2 1b e1 e2 1c e1 e2 1d e1 e2 1 2 设a b c是任意的非零向量 且两两不共线 给出下列说法 a b c c a b 0 a b a b b c a c a b与c不可能垂直 3a 2b 3a 2b 9 a 2 4 b 2 其中正确的有 a b c d 解析 1 选c 由于e1 e2是两个平行的单位向量 设其夹角为 则 cos 1 所以 e1 e2 cos 1 2 选d a b c是与向量c平行的向量 c a b是与向量b平行的向量 因此 a b c与 c a b不一定相等 故 不正确 因为a b c是任意的非零向量 且相互不共线 则根据三角形两边之差小于第三边可知 正确 由于 b c a c a b c b c a c c a b c 0 因此 b c a c a b与c垂直 不正确 3a 2b 3a 2b 9a2 4b2 9 a 2 4 b 2 正确 故选d 题型示范 类型一平面向量数量积的运算 典例1 1 2014 咸阳高一检测 已知平面上三点a b c满足 2 则的值为 2 2014 合肥高一检测 已知向量a与b的夹角是120 且 a 2 b 3 求 a 2b 2 2a b a 3b 解题探究 1 题 1 中计算的关键是什么 2 解答题 2 的突破口是什么 探究提示 1 判断 abc的形状 确定出相关向量的夹角 2 运用数量积的性质及运算律和相关公式 将待求式转化为a与b的数量积运算 自主解答 1 由已知 所以 abc为直角三角形 且 acb 90 如图 从而sin abc sin bac 所以 abc 60 bac 30 所以与的夹角为120 与的夹角为90 与的夹角为150 故 答案 4 2 因为a b a b cos120 2 3 3 所以 a 2b 2 a2 2a 2b 2b 2 a 2 4a b 4 b 2 22 4 3 4 32 52 2a b a 3b 2a2 6a b a b 3b2 2 a 2 5a b 3 b 2 2 22 5 3 3 32 34 延伸探究 在题 2 的条件下 若 3a 5b ma b 45 则m的值如何 解析 3a 5b ma b 3ma2 5m 3 a b 5b2 3m 22 5m 3 2 3 5 32 3m 36 45 解得m 3 方法技巧 1 求平面向量数量积的流程 2 形如 ma nb ka lb 的运算技巧及注意点 1 技巧 类似于实数多项式的运算 将运算转化为向量a b的数量积运算 2 注意点 a与b的数量积不可书写或认为是ab a2 a 2的应用 变式训练 1 已知正 abc的边长为2 设 a b c 则a b b c c a 解析 a与b b与c a与c的夹角为120 所以原式 a b cos120 b c cos120 a c cos120 2 2 3 6 答案 6 误区警示 本题求解时易将向量a b c夹角的大小定错而致误 2 2013 新课标全国卷 已知两个单位向量a b的夹角为60 c ta 1 t b 若b c 0 则t 解析 由c ta 1 t b得 b c ta b 1 t b2 0 解得t a b cos60 1 t b 2 0 化简得t 1 t 0 所以t 2 答案 2 补偿训练 1 已知 abc为等边三角形 ab 2 设点p q满足 r 若则 2 已知 a b 3 c 且a b c 0 求a b b c c a 解析 1 因为所以 2 1 2 4 4 1 2 2 1 又因为所以4 2 4 1 0 所以 答案 2 因为a b c 0 所以 a b c 2 0 即a2 b2 c2 2a b 2a c 2b c 0 又因为 a b 3 c 所以a2 3 b2 9 c2 12 所以a b b c c a 12 类型二向量的模的计算问题 典例2 1 2013 浙江高考 设e1 e2为单位向量 非零向量b xe1 ye2 x y r 若e1 e2的夹角为则的最大值等于 2 已知向量a b的夹角为45 且 a 1 2a b 则 b 3 已知a b满足 a b a b a b 1 求 3a 2b 解题探究 1 题 1 中求的最大值的突破口是什么 2 题 2 中如何将 2a b 用a与b的模及数量积表示 3 题 3 中向量的数量积与向量模如何转化 探究提示 1 先将求的最大值转化为求的最大值 进而利用 b 2 b2转化为求关于x y的函数的最值 2 利用 2a b 2 2a b 2 3 a 2 a2 自主解答 1 当x 0时 0 当x 0时 令则所以的最大值为2 答案 2 2 2a b 2a b 2 10 4 b 2 4 b cos45 10 b 答案 3 由 a b a b 得 a b 2 3 a b 2 即 a b 2 3 a b 2 所以a2 2a b b2 3 a2 2a b b2 所以8a b 2a2 2b2 2 a 2 2 b 2 4 即a b 所以 3a 2b 方法技巧 求向量的模的常见思路求向量的模是向量运算问题中的常见题型 解答这类问题时 可考虑先求向量的平方 应用向量的运算公式 法则求出其平方值 然后再利用公式 a 2 a2 a a 将其两边开平方即可求得该向量的模 即运用公式 变式训练 2014 江西高考 已知单位向量e1 e2的夹角为 且cos 若向量a 3e1 2e2 则 a 解题指南 利用求解 解析 a a 3e1 2e2 2 9 12e1 e2 4 9 12 4 9 故 a 3 答案 3 补偿训练 已知同一平面上的向量a b c两两所成的角相等 并且 a 1 b 2 c 3 求 a b c 解析 1 当向量a b c共线且同向时 所成的角均为0 所以 a b c a b c 6 2 当向量a b c不共线时 易知a b c皆为非零向量 设a b c所成的角均为 则3 360 即 120 所以a b a b cos120 1 同理b c 3 c a 由 a b c 2 a2 b2 c2 2a b 2b c 2c a 3 故 a b c 综上所述 a b c 6或 类型三夹角和垂直问题 典例3 1 2014 宝鸡高一检测 已知m n是两个单位向量 其夹角为60 设a 2m n b 2n 3m 则a与b的夹角为 2 2013 安徽高考 若非零向量a b满足 a 3 b a 2b 则a与b夹角的余弦值为 3 2013 山东高考 已知向量与的夹角为120 且若且则实数 的值为 解题探究 1 两个非零向量的夹角公式是什么 2 解答题 2 的关键是什么 3 解答题 3 的突破口是什么 探究提示 1 cos 2 由已知得到a b与 b 或 a 的关系 3 将用与表示 并通过垂直条件列关于 的方程求解 自主解答 1 由已知 m n 1 m n m n cos60 所以a b 2m n 2n 3m m n 6m2 2n2 6 2 a 2 a2 2m n 2 4m2 4m n n2 7 b 2 b2 2n 3m 2 4n2 12n m 9m2 7 所以 a b 由a b a b cos 得 所以cos 又 0 所以 120 故a与b的夹角为120 答案 120 2 由 a a 2b 等式两边平方得a2 4a b 4b2 a2 a b b2 所以cos a b 答案 3 向量与的夹角为120 且所以由得 即所以即4 9 3 1 0 解得 答案 方法技巧 1 求向量夹角的解题流程及注意事项 1 解题流程 2 注意事项在个别含有 a b 与a b的等量关系式中 常利用消元思想计算cos 的值 2 两向量垂直的确定与应用 1 确定 通常利用两向量垂直的充要条件 即计算a b是否为0 2 应用 若a b 则a b 0可求其中参数的值 变式训练 2014 南昌高一检测 已知a b是两个非零向量 且a 3b与7a 5b垂直 a 4b与7a 2b垂直 试求a与b的夹角大小 解析 因为a 3b与7a 5b垂直 所以 a 3b 7a 5b 0 即7a2 16a b 15b2 0 又因为a 4b与7a 2b垂直 所以 a 4b 7a 2b 0 即7a2 30a b 8b2 0 得46a b 23b2 即2a b b2 代入 可得a2 b2 即 a b 设a与b的夹角为 则cos 又因为 0 所以 补偿训练 1 已知a与b为两个不共线的单位向量 k为实数 若向量a b与向量ka b垂直 则k 解析 因为 a b ka b 所以 a b ka b 0 即ka2 k 1 a b b2 0 又因为a b为两个不共线的单位向量 所以 式可化为1 k k 1 a b 若k 1 0 则a b 1 这与a b不共线矛盾 若k 1 0 则1 k k 1 a b恒成立 综上可知 k 1时符合题意 答案 1 2 已知 a 5 b 4 a b 求向量a与b的夹角 解析 因为 a 5 b 4 a b 所以 a 2 25 b 2 16 a b 2 21 又因为 a b 2 a b 2 a2 2a b b2 41 2a b 所以a b 10 设a与b的夹角为 则cos 又因为 0 所以 即a与b的夹角是 拓展类型数量积的综合应用 备选例题 1 若a b c均为单位向量 且a b 0 a c b c 0 则 a b c 的最大值为 a 1b 1c d 2 2 在平行四边形abcd中 o为对角线的交点 ab 2 ad 3 则 解析 1 选b 由 a c b c 0 得a b a c b c c2 0 又a b 0 且a b