高考数学 第三章 第七节 三角函数的最值及应用课件 理 苏教版.ppt

第七节三角函数的最值及应用 1 正弦 余弦函数的值域 最值及条件 1 1 1 1 1 1 2k k z 1 1 2k k z 2 y asin x a 0 0 的最值及对应条件 1 值域 2 最大值 取得最大值的条件x 3 最小值 取得最小值的条件x a a a a 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 函数f x sinx cosx x r的最大值就是sinx与cosx都取1时取得 即f x max 1 2 函数f x sinx cosx x r的最小值为 1 3 f x sin2x的最小值为0 此时x k k z 4 三角函数的最值问题通常是结合图象求解 不能利用函数的单调性解决 解析 1 错误 因为显然故f x 的最大值是 2 错误 因为又x r 即最小值为 3 正确 当sinx 0时 f x 取最小值 此时x k k z 4 错误 三角函数的最值问题 当给定区间时 除利用图象外也可以利用函数的单调性求解 答案 1 2 3 4 1 函数f x 2sinx 1 x 0 的值域为 解析 x 0 sinx 0 1 2sinx 2 0 2sinx 1 1 1 答案 1 1 2 函数的值域为 解析 由已知函数可化为f x 1 cos2x cos2x 1 1 1 cos2x 0 2 答案 0 2 3 函数f x 2cos2x取最大值时x的集合为 解析 f x max 2 此时cos2x 1 故2x 2k k z 所以答案 4 函数的最大值为 此时x 解析 当即时 f x max 2 答案 考向1可化为y asin x k型的值域问题 典例1 1 2013 淮安模拟 函数的最大值为 2 已知函数的最大值为2 则常数a的值为 3 设a r 满足 求f x 的解析式 求函数f x 在区间上的最大值和最小值 思路点拨 1 利用诱导公式转化后 再利用辅助角公式化成y asin x 的形式求解 2 先利用公式进行三角恒等变形 把f x 化成f x asin x 的形式 再利用最大值求得a 3 将f x 的关系式展开合并再利用可求a 并利用辅助角公式化为一个角的三角函数 从而得f x 的解析式 利用x的范围及函数单调性求最值 规范解答 1 由已知得y 2cosx sin答案 2 因为 其中 所以解得答案 3 f x asinxcosx cos2x sin2x由得解得因此 当时 f x 为增函数 当时 f x 为减函数 所以f x 在上的最大值为又因为故f x 在上的最小值为 互动探究 若将本例 1 中的函数解析式改为 又将如何求f x 的最大值 解析 由已知故此时sinx 1 故f x 的最大值为答案 拓展提升 在解决三角函数性质问题中的应用 1 三角函数性质的讨论 可通过变形为asinx bcos 其中 的形式去讨论 这样的变形 主要是 角的确定 2 通过恒等变形 可以将较为复杂的函数形式转化为较为简洁的函数形式 有利于更好地讨论三角函数的性质 但要注意是恒等变形 因为在某些情形下 变形会导致定义域的变化 从而影响函数的值域和周期等性质 提醒 该公式是逆用两角和的正弦公式得到的 当 为特殊角 即的值为1或时要熟练掌握 对 是非特殊角时 只要求会求最值即可 变式备选 已知函数 0 的最小正周期为 1 求 的值 2 求函数f x 在区间上的最大值与最小值 解析 1 因为函数f x 的最小正周期为 且 0 所以解得 1 2 由 1 得因为所以所以所以 f x 的最大值为最小值为0 考向2可化为二次函数型值域的问题 典例2 1 2013 常州模拟 设则sin cos2 的值域为 2 求函数y f x 2 4asinx cos2x的最大值和最小值 思路点拨 1 根据所给的函数式 将所求函数式化为关于sin 的二次函数形式 根据正弦函数的值域 得到函数的最值 2 先用二倍角公式统一函数名和角 然后利用数形结合及分类讨论的思想求解最值 规范解答 1 sin cos2 sin 1 sin2 当sin 1时 上式取得最大值当时 上式取得最小值故答案为答案 2 y f x 2 4asinx cos2x 2 4asinx 1 2sin2x 2sin2x 4asinx 1 2 sinx a 2 1 2a2 设sinx t 则 1 t 1 并且y g t 2 t a 2 1 2a2 当a 1时 如图 有y最大 g 1 3 4a y最小 g 1 3 4a 当 1 a 1时 如图 有y最小 g a 1 2a2 y最大为g 1 和g 1 中的较大者 即y最大 3 4a 1 a 0 或y最大 3 4a 0 a 1 当a 1时 有y最大 g 1 3 4a y最小 g 1 3 4a 综上所述 拓展提升 可化为二次函数型的三角函数求值域的思想 1 对于y asinx bcos2x a b 0 型的函数 求解时可利用 cos2x 1 2sin2x 把函数转化成关于 sinx 的二次函数求最值 2 化简后 若对称轴不确定 还需结合图象分类讨论 提醒 求最值时要注意sinx的范围 变式训练 求函数f x sinx cos2x 1 x r的最值及此时x的取值 解析 由已知得f x sinx 1 sin2x 1 x r sinx 1 1 故此时 此时或故f x max 2 此时此时或 考向3实际应用中的最值问题 典例3 2013 南通模拟 如图 一块长方形区域abcd ad 2 ab 1 在边ad的中点o处 有一个可转动的探照灯 其照射角 eof始终为设 aoe 探照灯照射在长方形区域abcd内部的面积为s 1 当时 写出s关于 的函数表达式 2 当时 求s的最大值 3 若探照灯每9分钟旋转 一个来回 oe自oa转到oc 再回到oa 称 一个来回 忽略oe在oa及oc处所用的时间 且转动的角速度大小一定 设ab边上有一点g 且求点g在 一个来回 中被照到的时间 思路点拨 1 画出示意图 分与两种情况分别求解 2 利用第 1 问0 时的结果进行分析可求面积的最大值 3 利用题意 可求 一个来回 oe旋转的角度 确定点g被照到时间是oe没有离开og之前和回来时oe从og到oa共两次 从而可解 规范解答 1 过o作oh bc h为垂足 当时 e在边ab上 f在线段bh上 如图 此时 s s正方形oabh s oae s ohf 当时 e在线段bh上 f在线段ch上 如图 此时 综上所述 2 当时 即 0 tan 1 即1 1 tan 2 当时 s取得最大值为 3 在 一个来回 中 oe共转了其中点g被照到时 oe共转了则 一个来回 中 点g被照到的时间为 分钟 拓展提升 利用三角函数求平面区域面积最值的步骤 1 选定某个变化的角作为自变量 2 将面积s表示成这个角的函数 3 将问题转化为求三角函数的最值 提醒 自变量的取值范围要根据实际情况而定 求函数的最值可通过三角变换来解决 变式训练 2013 淮安模拟 如图所示 某市政府决定在以政府大楼o为中心 正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆 为了充分利用这块土地 并考虑与周边环境协调 设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上 图书馆的正面要朝市政府大楼 设扇形的半径om r mop 45 ob与om之间的夹角为 1 将图书馆底面矩形abcd的面积s表示成 的函数 2 求当 为何值时 矩形abcd的面积s有最大值 其最大值是多少 用含r的式子表示 解析 1 由题意可知 点m为的中点 所以om ad 设om与bc的交点为f 则bc 2rsin of rcos ab of ad rcos rsin 所以s ab bc 2rsin rcos rsin r2 2sin cos 2sin2 r2 sin2 1 cos2 2 因为则所以当即时 s有最大值 故当时 矩形abcd的面积s有最大值 满分指导 三角函数的最值问题 典例 14分 2013 南京模拟 已知向量且 1 求a b及 a b 2 若f x a b 2 a b 的最小值是求 的值 思路点拨 规范解答 1 a b 2分 a b 5分 7分 a b 2 f x cos2x 4 cosx 即f x 2 cosx 2 1 2 2 9分 当 1时 当且仅当cosx 1时 f x 取得最小值1 4 由已知得解得这与 1相矛盾 综上所述 为所求 14分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 徐州模拟 函数y sinx cosx 2 3 的最大值为 解析 由y sinx cosx 2 3 2sinxcosx 2 sin2x 2 x 0 2x 0 sin2x 1 sin2x 2 1 答案 1 2 2013 扬州模拟 已知3sin2 2sin2 2sin 则sin2 sin2 的取值范围是 解析 由3sin2 2sin2 2sin 得2sin2 2sin 3sin2 故sin2 sin2 sin2 sin2 sin 当sin 0时 有最小值为当时 有最大值为答案 3 2013 南京模拟 已知且f x 在区间有最小值 无最大值 则 解析 且f x 在有最小值而无最大值可得 对称轴为 又 当k 1时 答案 4 2012 天津高考 已知函数 1 求函数f x 的最小正周期 2 求函数f x 在区间上的最大值和最小值 解析 1 所以f x 的最小正周期 2 因为f x 在区间上是单调增函数 在区间上是单调减函数 又故函数f x 在区间上的最大值为最小值为 1 1 已知函数给定条件条件q 2 f x m 2 若p是q的充分条件 则实数m的取值范围为 解析 当时 故即3 f x