高考数学 第七章 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质课件 理 新人教A版.ppt

第五节直线 平面垂直的判定及其性质 1 直线与平面垂直 1 定义条件 直线l与平面 内的 一条直线都垂直 结论 直线l与平面 垂直 任意 2 判定定理与性质定理 相交 平行 l a l b a b a b o a b 2 直线与平面所成的角 1 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 叫做这条直线和这个平面所成的角 如图 就是斜线ap与平面 所成的角 2 线面角 的范围 规定 当直线在平面内或与平面平行时 直线与平面所成的角为0 当直线与平面垂直时 直线与平面所成的角为 锐角 pao 0 3 平面与平面垂直 1 二面角 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 两个半平面叫做 如图的二面角 可记作 二面角 或二面角 二面角的面 p ab q l 二面角的平面角如图 过二面角 l 的棱l上一点o在两个半平面内分别作bo l ao l 则 就叫做二面角 l 的平面角 二面角的范围设二面角的平面角为 则 aob 0 2 平面与平面垂直 定义 条件 两相交平面所成的二面角为 结论 这两平面垂直 直二面角 判定定理和性质定理 垂线 交线 l l a l l a 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 直线l与平面 内的无数条直线都垂直 则l 2 若直线a 平面 直线b 则直线a与b垂直 3 异面直线所成的角与二面角的取值范围均为 0 4 二面角是指两个相交平面构成的图形 5 若两个平面垂直 则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面 6 若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线 则 解析 1 错误 直线l与平面 内的无数条直线都垂直时 直线l与平面 可平行 可相交 直线l也可在平面 内 2 正确 由b 可得b平行于 内的一条直线 设为b 因为a 所以a b 从而a b 3 错误 异面直线所成角的范围是 0 而二面角的范围是 0 4 错误 二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 5 错误 若平面 平面 则平面 内的直线l与 可平行 可相交 也可在平面 内 6 错误 平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线 不能保证该直线垂直于此平面 故不能推出 答案 1 2 3 4 5 6 1 若m n为两条不同的直线 为两个不同的平面 则以下命题正确的是 a 若m n 则m n b 若m n m 则n c 若m 则m d 若 m m n 则n 解析 选b a选项中 m与n可平行 相交 异面 c选项中 m可以平行于 m也可以在 内 d选项中 n可能在 内或n 或与 相交 2 设 为不重合的平面 m n为不重合的直线 则下列命题正确的是 a 若 n m n 则m b 若m n m n 则n c 若n n m 则m d 若m n m n 则 解析 选c c选项中 n n 又 m m 3 设a b c表示三条不同的直线 表示两个不同的平面 则下列命题中不正确的是 a b d 解析 选d 由a b a可得 b与 的位置关系有 b b b与 相交 所以d不正确 4 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 b1c与平面a1b1c1d1所成的角为 其大小为 d1b与平面abcd所成的角的正弦值为 解析 b1c与平面a1b1c1d1所成的角为 cb1c1 其大小为45 连接bd 则d1b与平面abcd所成的角为 d1bd 其正弦值为答案 cb1c145 5 将正方形abcd沿ac折成直二面角后 dab 解析 如图 取ac的中点o 连接do bo 则do ac bo ac 故 dob为二面角的平面角 从而 dob 90 设正方形边长为1 则do bo 所以db 1 故 adb为等边三角形 所以 dab 60 答案 60 考向1直线与平面垂直的判定和性质 典例1 1 2013 深圳模拟 设l m n为三条不同的直线 为两个不同的平面 下列命题中正确的个数是 若l m 则l m 若m n l m l n 则l 若l m m n l 则n 若l m m n 则l n a 1 b 2 c 3 d 4 2 2013 潮州模拟 如图 三棱锥p abc中 pa 底面abc ab bc de垂直平分线段pc 且分别交ac pc于d e两点 pb bc pa ab 求证 pc 平面bde 若点q是线段pa上任一点 判断bd dq的位置关系 并证明你的结论 若ab 2 求三棱锥b ced的体积 思路点拨 1 根据线面平行 面面平行及线面垂直的判定定理和性质定理逐个判断 2 利用线面垂直的判定定理证明 证明bd 平面pac即可 根据vb ced vc bde 转化为求s bde及ce的长度 规范解答 1 选b 对于 直线l m可能互相平行 不正确 对于 直线m n可能是平行直线 此时不能得l 不正确 对于 由 平行于同一条直线的两条直线平行 与 若两条平行线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面 得知 正确 对于 由l m m 得l 由n 得n 因此有l n 正确 综上所述 其中命题正确的个数是2 故选b 2 de垂直平分线段pc pb pc de pc be pc 又be de e pc 平面bde 由 得 pc bd pa 底面abc pa bd 又pc pa p bd 平面pac 当点q是线段pa上任一点时都有bd dq pa ab 2 pb bc 2 ab bc ac 2 pc 4 ce 2 且bd cde cpa de 由 可知 bd de vb ced vc bde s bde ce 互动探究 本例题 2 若改为 设q是线段pa上任意一点 求证 平面bdq 平面pac 如何证明 证明 由 2 的解法可知bd 平面pac 又bd 平面bdq 平面bdq 平面pac 拓展提升 1 判定线面垂直的四种方法方法一 利用线面垂直的判定定理 方法二 利用 两平行线中的一条与平面垂直 则另一条也与这个平面垂直 方法三 利用 一条直线垂直于两平行平面中的一个 则与另一个也垂直 方法四 利用面面垂直的性质定理 2 线面垂直性质的重要应用当直线和平面垂直时 则直线与平面内的所有直线都垂直 给我们提供了证明空间两线垂直的一种重要方法 提醒 解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程 如用判定定理证明线面垂直时 一定要体现出 平面中的两条相交直线 这一条件 变式备选 如图 几何体abcdpe中 底面abcd是边长为4的正方形 pa 平面abcd pa eb 且pa 2be 4 1 证明 bd 平面pec 2 若g为bc上的动点 求证 ae pg 证明 1 连接ac交bd于点o 取pc的中点f 连接of ef eb pa 且eb pa 又of pa 且of pa eb of 且eb of 四边形ebof为平行四边形 ef bd 又 ef 平面pec bd 平面pec bd 平面pec 2 连接bp eba bap 90 eba bap pba bea pba bae bea bae 90 pb ae pa 平面abcd pa 平面apeb 平面abcd 平面apeb bc ab 平面abcd 平面apeb ab bc 平面apeb bc ae 又 bc pb b ae 平面pbc g为bc上的动点 pg 平面pbc ae pg 考向2面面垂直的判定与性质 典例2 2013 惠州模拟 如图所示 abc为正三角形 ce 平面abc bd ce ce ca 2bd m是ea的中点 求证 1 de da 2 平面bdm 平面eca 思路点拨 1 由于ce 2bd 故可考虑取ce的中点f 通过证明 def adb来证明de da 2 证明面面垂直 应先证明线面垂直 规范解答 1 取ce的中点f 连接df ce 平面abc ce bc bd ce bd ce cf fe 四边形fcbd是矩形 df ec 又ba bc df rt def rt adb de da 2 取ac中点n 连接mn nb m是ea的中点 mnce 由bd ce 且bd 平面abc 可得四边形mnbd是矩形 于是dm mn de da m是ea的中点 dm ea 又ea mn m dm 平面eca 而dm 平面bdm 平面bdm 平面eca 拓展提升 1 面面垂直的证明方法面面垂直的证明问题 主要思路有两条 其一 用面面垂直的判定定理 即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线 其二 用面面垂直的定义 即证明两个平面所成的二面角是直二面角 把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题 2 面面垂直的性质应用技巧两平面垂直 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 这是把面面垂直转化为线面垂直的依据 运用时要注意 平面内的直线 变式训练 如图 正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直 ef ac ab ce ef 1 求证 1 af 平面bde 2 cf 平面bde 证明 1 设ac与bd交于点g 因为ef ag 且ef 1 ag ac 1 所以四边形agef为平行四边形 所以af eg 因为eg 平面bde af 平面bde 所以af 平面bde 2 连接fg 因为ef cg ef cg 1 且ce 1 所以四边形cefg为菱形 所以cf eg 因为四边形abcd为正方形 所以bd ac 又因为平面acef 平面abcd 且平面acef 平面abcd ac 所以bd 平面acef且cf 平面acef 所以cf bd 又bd eg g 所以cf 平面bde 考向3垂直关系的综合应用 典例3 1 2013 韶关模拟 如图 已知六棱锥p abcdef的底面是正六边形 pa 平面abc pa 2ab 则下列结论正确的是 a pb ad b 平面pab 平面pbc c 直线bc 平面pae d 直线pd与平面abc所成的角为45 2 2013 南京模拟 如图所示 m n k分别是正方体abcd a1b1c1d1的棱ab cd c1d1的中点 求证 an 平面a1mk 平面a1b1c 平面a1mk 思路点拨 1 结合图形 题意 对选项逐一判断即可 2 要证线面平行 需证线线平行 要证面面垂直 需证线面垂直 规范解答 1 选d 对于选项a b c 根据条件无法判断成立 对于选项d 在rt pad中 pad 90 pa 2ab ad 故 pda 45 即直线pd与平面abc所成的角为45 故选d 2 如图所示 连接nk 在正方体abcd a1b1c1d1中 四边形aa1d1d dd1c1c都为正方形 aa1 dd1 aa1 dd1 c1d1 cd c1d1 cd n k分别为cd c1d1的中点 dn d1k dn d1k 四边形dd1kn为平行四边形 kn dd1 kn dd1 aa1 kn aa1 kn 四边形aa1kn为平行四边形 an a1k a1k 平面a1mk an 平面a1mk an 平面a1mk 连接bc1 在正方体abcd a1b1c1d1中 ab c1d1 ab c1d1 m k分别为ab c1d1的中点 bm c1k bm c1k 四边形bc1km为平行四边形 mk bc1 在正方体abcd a1b1c1d1中 a1b1 平面bb1c1c bc1 平面bb1c1c a1b1 bc1 mk bc1 a1b1 mk 四边形bb1c1c为正方形 bc1 b1c mk b1c a1b1 平面a1b1c b1c 平面a1b1c a1b1 b1c b1 mk 平面a1b1c 又 mk 平面a1mk 平面a1b1c 平面a1mk 拓展提升 垂直关系综合题的类型及解法 1 三种垂直的综合问题 一般通过作辅助线进行线线 线面 面面垂直间的转化 2 垂直与平行结合问题 求解时应注意平行 垂直的性质及判定的综合应用 3 垂直与体积结合问题 在求体积时 可根据线面垂直得到表示高的线段 进而求得体积 变式训练 如图 已知三棱锥a bpc中 ap pc ac bc m为ab的中点 d为pb的中点 且 pmb为正三角形 1 求证 dm 平面apc 2 求证 平面abc 平面apc 3 若bc 4 ab 20 求三棱锥d bcm的体积 解析 1 m为ab中点 d为pb中点 dm ap 又dm 平面apc ap 平面apc dm 平面apc 2 pmb为正三角形 且d为pb中点 dm pb 又由 1 知dm ap ap pb 又ap pc pb pc p ap 平面pbc ap bc 又 ac bc ap ac a bc 平面apc 又bc 平面abc 平面abc 平面apc 3 ab 20 mp 10 pb 10 又bc 4 pc s bcd s pbc pc bc 2 4 2 又dm ap 5 vd bcm vm bcd s bcd dm 10 考向4线面角 二面角的求法 典例4 2013 宁波模拟 如图所示 三棱柱abc a1b1c1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面 侧棱长是 d是ac的中点 1 求证 b1c 平面a1bd 2 求二面角a1 bd a的大小 3 求直线ab1与平面a1bd所成的角的正弦值 思路点拨 1 三棱柱的侧面是矩形 对角线a1b ab1的交点与点d的连线平行于b1c 2 由于三棱柱的底面是正三角形 d为ac的中点 由侧面与底面垂直 可以得到bd 平面acc1a1 bd a1d a1da就是二面角的平面角 3 根据 2 得平面a1bd 平面a1ad 只要过点a作a1d的垂线即可得到点a在平面a1bd内的射影 即得到了线面角 规范解答 1 设ab1与a1b相交于点p 连接pd 如图所示 则p为ab1的中点 因为d为ac的中点 所以pd b1c 又因为pd 平面a1bd b1c 平面a1bd 所以b1c 平面a1bd 2 由题知 平面acc1a1 平面abc 平面acc1a1 平面abc ac 又因为bd ac 则bd 平面acc1a1 所以bd a1d 所以 a1da就是二面角a1 bd a的平面角 因为aa1 ad ac 1 则tan a1da 所以 a1da 即二面角a1 bd a的大小是 3 作am a1d于m 由 2 易知bd 平面acc1a1 因为am 平面acc1a1 所以bd am 因为a1d bd d 所以am 平面a1bd 连接mp 易知 apm就是直线ab1与平面a1bd所成的角 因为aa1 ad 1 所以在rt aa1d中 a1da 所以am 1 sin60 ap ab1 所以sin apm 所以直线ab1与平面a1bd所成的角的正弦值为 拓展提升 1 求空间角的三个步骤 1 找 即找出相关的角 2 证 即证明找出的角即为所求的角 3 计算 即通过解三角形的方法求出所求角 2 空间角的找法 1 线面角找出斜线在平面上的射影 关键是作出垂线 确定垂足 2 二面角二面角的大小用它的平面角来度量 平面角的常见作法有 定义法 垂面法 其中定义法是最常用的方法 变式训练 如图 在梯形abcd中 ab cd ad dc cb 2 cab 30 四边形acfe为矩形 平面acfe 平面abcd cf 3 1 求证 bc 平面acfe 2 设点m为ef中点 求二面角b am c的余弦值 解析 1 ad dc cb 2 cab 30 则 abc 60 bc ac 平面acfe 平面abcd 平面acfe 平面abcd ac bc 平面acfe 2 过c作ch am交am于点h 连接bh bc 平面acfe bc am 又ch bc c am 平面chb am bh chb为二面角b am c的平面角 在rt bhc中 ch 3 hb cos chb 则二面角b am c的余弦值为 满分指导 垂直关系综合问题的规范解答 典例 12分 2012 广东高考 如图所示 在四棱锥p abcd中 ab 平面pad ab cd pd ad e是pb的中点 f是dc上的点且df ab ph为 pad中ad边上的高 1 证明 ph 平面abcd 2 若ph 1 ad fc 1 求三棱锥e bcf的体积 3 证明 ef 平面pab 思路点拨 规范解答 1 由于ab 平面pad ph 平面pad 故ab ph 1分又 ph为 pad中ad边上的高 故ad ph 2分 ab ad a ab 平面abcd ad 平面abcd ph 平面abcd 4分 2 由于ph 平面abcd e为pb的中点 ph 1 故e到平面abcd的距离h ph 5分又因为ab cd ab ad 所以ad cd 6分故s bcf fc ad 1 7分因此ve bcf s bcf h 8分 3 过e作eg ab交pa于g 连接dg 由于e为pb的中点 g为pa的中点 9分 ad pd 故 dpa为等腰三角形 dg ap ab 平面pad dg 平面pad ab dg 10分 又 ab pa a ab 平面pab pa 平面pab dg 平面pab 11分又 geab df ab ge df 四边形dfeg为平行四边形 故dg ef ef 平面pab 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 珠海模拟 已知两条不同的直线m n 两个不同的平面 则下列命题中的真命题是 a 若m n 则m n b 若m n 则m n c 若m n 则m n d 若m n 则m n 解析 选a 由m 可得m 或m 又n 故m n 即a正确 如图 1 m n 但m n 故c错 如图 2 知b错 如图 3 正方体中 m n 但m n相交 故d错 2 2013 东莞模拟 如图 在正四面体p abc中 d e f分别是ab bc ca的中点 下面四个结论不成立的是 a bc 平面pdf b df 平面pae c 平面pdf 平面pae d 平面pde 平面abc 解析 选d 对于a 由于bc df 故由线面平行的判定定理知bc 平面pdf 即a正确 对于b 由于bc pe bc ae 从而bc 平面pae 又df bc 故df 平面pae 故b成立 对于c 由于df 平面pae 故平面pdf 平面pae 即c正确 对于d 无法判定平面pde 平面abc 故d不正确 3 2013 广州模拟 正四棱锥s abcd的底面边长为2 高为2 e是边bc的中点 动点p在表面上运动 并且总保持pe ac 则动点p的轨迹的周长为 解析 如图 取cd的中点f sc的中点g 连接ef eg fg 设ef交ac于点h 易知ac ef 又gh so gh 平面abcd ac gh 又gh ef h ac 平面efg 故点p的轨迹是 efg 其周长为 答案 4 2013 梅州模拟 如图所示 在三棱柱abc a1b1c1中 侧面a1abb1和bcc1b1是两个全等的正方形 ac1 平面a1db d为ac的中点 1 求证 平面a1abb1 平面bcc1b1 2 求证 b1c 平面a1db 3 设e是cc1上一点 试确定点e的位置 使平面a1db 平面bde 并说明理由 解析 1 方法一 连接ab1 ac1 平面a1db a1b 平面a1db ac1 a1b 又a1b ab1 ac1 ab1 a a1b 平面ac1b1 又b1c1 平面ac1b1 a1b b1c1 又 在正方形bcc1b1中 b1c1 bb1 又 bb1 a1b b b1c1 平面a1abb1 b1c1 平面bcc1b1 平面a1abb1 平面bcc1b1 方