高考数学 第六章 第二节 一元二次不等式及其解法课件 理 新人教A版.ppt

第二节一元二次不等式及其解法 1 一元二次不等式的定义只含有一个未知数且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式 2 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表 x xx2 r x r x 在不等式ax2 bx c 0 a 0 中 如果二次项系数a 0 则可先根据不等式的性质 将其转化为正数 再对照上表求解 x x1 x x2 3 一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的求解过程用程序框图表示为 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 若不等式ax2 bx c0 2 若不等式ax2 bx c 0的解集是 x1 x2 则方程ax2 bx c 0的两个根是x1和x2 3 若方程ax2 bx c 0 a 0 没有实数根 则不等式ax2 bx c 0的解集为r 4 不等式ax2 bx c 0在r上恒成立的条件是a 0且 b2 4ac 0 5 若二次函数y ax2 bx c的图象开口向下 则不等式ax2 bx c 0的解集一定不是空集 解析 1 正确 由不等式ax2 bx c0 2 正确 由一元二次不等式的解集与相应方程的根的关系可知结论是正确的 3 错误 只有当a 0时才成立 当a0的解集为空集 4 错误 还要考虑a 0的情况 不等式ax2 bx c 0在r上恒成立的条件是a 0 b 0 c 0或a 0且 b2 4ac 0 5 正确 当抛物线开口向下时 在x轴下方一定存在图象 因此ax2 bx c 0的解集一定不是空集 答案 1 2 3 4 5 1 不等式 x 2 x 1 4的解集为 a 2 3 b 3 2 c 2 3 d 3 2 解析 选b 原不等式可化为x2 x 6 0 即 x 3 x 2 0 所以x 2或x 3 即解集为 3 2 2 函数f x 的定义域为 a 0 3 b 0 3 c 0 3 d 0 3 解析 选a 依题意有3x x2 0 解得0 x 3 即定义域为 0 3 3 关于x的不等式ax2 bx 2 0的解集是则a b a 10 b 10 c 14 d 14 解析 选d 由题意a 0 x1 x2 是方程ax2 bx 2 0的两个根 所以解得a 12 b 2 故a b 14 选d 4 不等式4x2 mx 1 0对一切x r恒成立 则实数m的取值范围是 解析 依题意 应有 m 2 4 4 1 0 即m2 16 0 解得 4 m 4 答案 4 4 5 某种产品的总成本y 万元 与产量x 台 之间的函数关系式是y 3000 20 x 0 1x2 x 0 240 若每台产品的售价为25万元 则生产者不亏本时的最低产量是 解析 要使生产者不亏本 则应满足25x 3000 20 x 0 1x2 整理得x2 50 x 30000 0 解得x 150或x 200 舍去 故最低产量是150台 答案 150台 考向1一元二次不等式的解法 典例1 1 2013 大连模拟 已知函数f x ax 1 x b 如果不等式f x 0的解集是 1 3 则不等式f 2x 0的解集是 a b c d 2 2012 湖南高考 不等式x2 5x 6 0的解集为 3 解关于x的不等式ax2 a 1 x 1 0 思路点拨 1 根据不等式解集的端点与相应方程的两根之间的关系 建立方程组求得a b的值 再解不等式f 2x 0 2 按照一元二次不等式的解法步骤进行求解 3 首先对a的符号进行分类讨论 在每一种情况中 如果有必要再按照根的大小进行讨论 规范解答 1 选a 不等式f x 0 即 ax 1 x b 0 其解集是 1 3 所以解得于是f x x 1 x 3 所以不等式f 2x 或x 2 不等式可化为 x 2 x 3 0 因此2 x 3 即不等式的解集为 x 2 x 3 答案 x 2 x 3 3 当a 0时 原不等式变为 x 11 当a 0时 原不等式可化为a x 1 x 0 又因为1或x0 则上式即为 x 1 x 1时 原不等式的解集为 x 1 即0 a 1时 原不等式的解集为 x 1 x 综上所述 原不等式解集为 当a1 当a 0时 x x 1 当01时 x x 1 拓展提升 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 1 二次项中若含有参数应讨论是小于0 还是大于0 然后将不等式转化为二次项系数为正的形式 2 当不等式对应方程的根的个数不确定时 讨论判别式 与0的关系 3 确定无根时可直接写出解集 确定方程有两个根时 要讨论两根的大小关系 从而确定解集形式 提醒 当不等式中二次项的系数含有参数时 不要忘记讨论其等于0的情况 变式训练 1 2012 西城模拟 已知函数f x x2 bx 1是r上的偶函数 不等式f x 1 x的解集为 解析 由于函数是偶函数 可得b 0 此时f x x2 1 于是不等式f x 1 x可化为x2 3x 2 0 解得1 x 2 答案 x 1 x 2 2 解关于x的不等式 1 ax 2 1 解析 由 1 ax 2 1 得a2x2 2ax 0 即ax ax 2 0 当a 0时 x 当a 0时 由ax ax 2 0 得a2x x 0 即0 x 当a 0时 x 0 综上所述 当a 0时 不等式解集为空集 当a 0时 不等式解集为 x 0 x 当a 0时 不等式解集为 x x 0 考向2一元二次不等式的恒成立问题 典例2 已知函数f x x2 ax 3 1 当x r时 f x a恒成立 求a的范围 2 当x 2 2 时 f x a恒成立 求a的范围 思路点拨 1 可直接利用判别式 0求解 2 可转化为求f x a在 2 2 上的最小值 令其最小值大于或等于0即可 规范解答 1 f x a即x2 ax 3 a 0 要使x r时 x2 ax 3 a 0恒成立 应有 a2 4 3 a 0 即a2 4a 12 0 解得 6 a 2 2 当x 2 2 时 设g x x2 ax 3 a 分以下三种情况讨论 当 2 即a 4时 g x 在 2 2 上单调递增 g x 在 2 2 上的最小值为g 2 7 3a 因此a无解 当 2 即a 4时 g x 在 2 2 上单调递减 g x 在 2 2 上的最小值为g 2 7 a 因此解得 7 a 4 2 2 即 4 a 4时 g x 在 2 2 上的最小值为g a 3 因此解得 4 a 2 综上所述 实数a的取值范围是 7 a 2 互动探究 本例中 若对一切a 3 3 不等式f x a恒成立 那么实数x的取值范围是什么 解析 不等式f x a即x2 ax 3 a 0 令g a x 1 a x2 3 要使g a 0在 3 3 上恒成立 只需即解得x 0或x 3 拓展提升 恒成立问题的两种解法 1 更换主元法如果不等式中含有多个变量 这时选准 主元 往往是解题的关键 即需要确定合适的变量或参数 能使函数关系更加清晰明朗 一般思路为 将已知范围的量视为变量 而待求范围的量看作是参数 然后借助函数的单调性或其他方法进行求解 2 分离参数法如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边 那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值 或范围 来得到不等式恒成立时参数的取值范围 一般地 a f x 恒成立时 应有a f x max a f x 恒成立时 应有a f x min 变式备选 若函数的定义域为r 则实数m的取值范围是 a b 0 c d 解析 选b 依题意mx2 4mx 3 0对一切x r恒成立 当m 0时显然成立 当m 0时应有 16m2 12m 0 解得0 m 综上 实数m的取值范围是 0 考向3一元二次不等式的实际应用 典例3 2013 广州模拟 某企业生产的新产品必须依靠广告来打开销路 该产品的广告效应是产品销售额与广告费之间的差 如果销售额与广告费的算术平方根成正比 根据对市场进行的抽样调查显示 当付出100万元的广告费时 所得销售额是1000万元 1 若该企业要获得不低于1600万元的广告效应 则最少要投入多少万元的广告费用 最多要投入多少万元的广告费用 2 若该企业能否通过加大广告费投入获得超过2500万元的广告效应 若能 求出此时最少需要投入多少万元的广告费用 若不能 说明理由 思路点拨 首先建立广告效应关于广告费用的函数 然后根据具体的要求解不等式即可 规范解答 设广告费为x万元 广告效应为y万元 销售额为a 依题意且1000 解得k 100 所以y 100 x 50 2 2500 1 根据题意y 100 x 1600 即x 100 1600 0 即 20 80 0 解得20 80 即400 x 6400 即该企业要获得不低于1600万元的广告效应 则最少要投入400万元的广告费用 最多要投入6400万元的广告费用 2 y 100 x 2500 即 50 2 0 该不等式无解 故该企业无论广告费用如何投入 都不能获得超过2500万元的广告效应 拓展提升 构建不等式模型解决实际问题不等式的应用问题常常以函数为背景 多是解决实际生活 生产中的最优化问题等 解题时 要仔细审题 认清题目的条件以及要解决的问题 理清题目中各量之间的关系 建立恰当的不等式模型进行求解 变式训练 某产品生产厂家根据已往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律 每生产产品x 百台 其总成本为g x 万元 其中固定成本为2万元 并且每生产100台的生产成本为1万元 总成本 固定成本 生产成本 销售收入r x 满足假定该产品销售平衡 那么根据上述统计规律 1 要使工厂有盈利 产品数量x应控制在什么范围 2 工厂生产多少台产品时盈利最大 求此时每台产品的售价为多少 解析 1 设厂家纯收入为y万元 由题意g x x 2 令y 0得或解得1 x 8 2 故当1 x 8 2时工厂有盈利 2 当0 x 5时 y 0 4x2 3 2x 2 8 0 4 x 4 2 3 6 当x 4时 ymax 3 6 当x 5时 y 8 2 5 3 2 当生产400台产品时盈利最大 此时r 4 0 4 42 4 2 4 0 8 9 6 故每台产品的售价为 240 元 创新体验 不等式 函数 方程的交汇 典例 2012 江苏高考 已知函数f x x2 ax b a b r 的值域为 0 若关于x的不等式f x c的解集为 m m 6 则实数c的值为 思路点拨 规范解答 方法一 由题意即a2 4b 0 所以不等式f x c可转化为x2 ax c 0 由已知可得m m 6为方程x2 ax c 0的两根 则所以 m2 6m 9 m2 6m 9 方法二 由题意即a2 4b 0 所以不等式f x 0 且即不等式解集是于是因此故c 9 答案 9 思考点评 1 方法感悟 本题考查了函数 方程 不等式三者之间的内在联系 充分体现了一元二次不等式与一元二次方程根的关系在解题中的应用 即在解答中根据不等式f x c的解集为 m m 6 可得方程f x c的两个根是m m 6 从而可利用一元二次方程根与系数的关系求出c的值 2 技巧提升 由于一元二次不等式的解法是通过二次函数 一元二次方程 一元二次不等式三者之间的对应关系来得到的 因此一元二次不等式的解集与相应方程的根有着密切的联系 已知不等式的解集时 就可以得到方程根的情况 例如 如果不等式ax2 bx c0 的解集是 则必有a 0 a 0 且 是方程ax2 bx c 0的两根 由一元二次方程根与系数的关系可得 由此可进一步得到a b c之间的关系 所以利用这种关系可以解决一元二次不等式中的参数求解问题 1 2013 渭南模拟 函数的定义域为 a 4 1 b 4 1 c 4 0 0 1 d 1 4 解析 选b 依题意得 x2 3x 4 0 即x2 3x 4 0 解得 4 x 1 故函数的定义域为 4 1 2 2013 广州模拟 在r上定义运算 x y x 1 y 若不等式 x a x b 0的解集是 2 3 则a b的值是 a 1 b 2 c 4 d 8 解析 选c 不等式 x a x b 0 即不等式 x a 1 x b 0 即不等式 x a x b 1 0 该不等式的解集为 2 3 说明方程 x a x b 1 0的两根之和等于5 即a b 1 5 即a b 4 正确选项为c 3 2013 厦门模拟 若不等式ax2 bx c 0的解集是 4 1 则不等式b x2 1 a x 3 c 0的解集为 a 1 b 1 c 1 4 d 2 1 解析 选a 由不等式ax2 bx c 0的解集为 4 1 知a0 即3x2 x 4 0 解得 x 1 故选a 4 2013 沈阳模拟 某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售 每天可销售100件 现准备采用提高售价 减少进货量的方法来增加利润 已知这种商品每件销售价提高1元 销售量就要减少10件 那么要保证每天所赚的利润在320元以上 销售价每件应定为 a 12元 b 16元 c 12元到16元之间 d 10元到14元之间 解析 选c 设每件提高x 0 x 10 元 即每件获利润 2 x 元 每天可销售 100 10 x 件 设每天获得总利润为y元 由题意有y 2 x 100 10 x 10 x2 80 x 200 要使每天利润在320元以上 则有 10 x2 80 x 200 320 即x2 8x 12 0 解得2 x 6 故每件定价在12元到16元之间时 能确保每天赚320元以上 5 2013 昆明模拟 已知函数则满足不等式f 3 x2 f 2x 的x的取值范围为 a 3 0 b 3 0 c 3 1 d 0 解析 选b 由函数图象可知 不等式的解为或解得 3 x 或 x 0 即x 3 0 故选b 1 已知集合p x 4 3x x2 集合m满足 m p m p 则集合m为 a x x 4或x1或xx2得x2 3x 4 0