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20102011学年春季高等数学A（二）期中考试答案及评分标准一、填空题（每小题2分，共20分）1. 设向量，则当 -10时，与垂直。2. 方程所表示的曲面是 椭球面 。3. 函数的定义域是 。4. 函数在点的两个偏导数与存在是函数在点可微的 必要 条件。(在“充分、必要或充要”中选一个填在横线上)5. 曲线在点的法平面为 。6函数在点(2,1)处的全微分 。7函数在点处的梯度为 （1,2,0）或i+2j 。8. 直线与平面的位置关系是平行 。9. 二重极限 ln2 。10. 过点且平行于向量的直线的对称式方程是 。二、按要求解答下列各题（每小题8分，共16分）1.已知平行四边形的两条邻边，求此平行四边形的面积。解：根据叉积的几何意义 =| 5分 = = 8分 2. 求过直线与平面的交点，且与平面垂直的直线方程。解：联立直线方程和平面方程，求得交点坐标为（-4，-4，-7） 4分 根据直线的点向式方程，所求直线的方程为 8分 三、按要求解答下列各题（每小题8分，共16分）1求过点且与直线垂直的平面方程。解：依题意，所求平面的法向量 4分 根据平面的点法式方程，所求平面的方程为 8分 2 设一个立体由上半球面和锥面所围成，求它在坐标面上的投影曲线方程。解：联立上半球方程和锥面方程得 消去z得 6分立体在坐标面上的投影曲线方程 8分四、按要求解答下列各题（每小题8分，共16分）1、设，求。解： 4分 8分2.设求全导数。解 根据多元复合函数的全微分公式有 4分 6分 8分 五、（本题8分）求二元函数的极值。解：解方程组求得驻点为 4分再求驻点处的二阶导数 6分因为且,所以函数在驻点处取得极小值，此极小值等于。 8分六、（本题8分）利用向量知识证明三角形的中位线定理。证明：如图 2分又因为D,E分别是AB,AC的中点，所以有，而 故 6分 即三角形的中位线平行于第三边并等于第三边的一半。8分七、（本题10分）设，其中具有连续二阶偏导数，求。解： = 4分 = 8分八、（本题6分）在椭圆 上求一点，使其到直线 的距离最短，并求最短距离。解：（条件极值法） 设点为椭圆 上的任意一点，则点P到直线 的距离 1分欲求d的最小值，只要求得最小值，为此作拉格朗日函数
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