高考数学 第五章 第四节 等差数列与等比数列课件 理 苏教版.ppt

第四节等差数列与等比数列 等差 等比数列的常用性质 1 若 an 是等差数列 则 m n p r n 若m n p r 则有 sn s2n sn s3n s2n 构成 数列 2 若 an 是等比数列 则 m n p r n 若m n p r 则有 an 是等比数列 则 an2 是 数列 若sn 0 则sn s2n sn s3n s2n 构成 数列 am an ap ar 等差 am an ap ar 等比 等比 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 在数列 an 中 若m n p r 其中m n p r n 且am an ap ar 则 an 是等差数列 2 等差数列 an 中 s2k 1 2k 1 ak 3 若sn是等比数列 an 的前n项和 则sn s2n sn s3n s2n构成等比数列 4 若 an bn 均为等差数列 则 pan qbn 也是等差数列 5 若 an 为等比数列 则 也是等比数列 解析 1 错误 如数列1 1 5 5 1 1 显然a1 a6 a2 a5 但此数列不是等差数列 2 正确 根据等差数列前n项和公式s2k 1 2k 1 ak 3 错误 当sn 0时 不成立 4 正确 根据等差数列的定义可以证明 pan qbn 是等差数列 5 正确 根据等比数列的定义 可以证明 也是等比数列 且公比为qk 答案 1 2 3 4 5 1 数列 an 是公差不为0的等差数列 且a1 a3 a7为等比数列 bn 的连续三项 则数列 bn 的公比为 解析 设数列 an 的公差为d d 0 由 a1a7得 a1 2d 2 a1 a1 6d a1 2d 故答案 2 2 各项均为正数的等比数列 an 的前n项和为sn 若s10 2 s20 8 则s30 解析 s10 s20 s10 s30 s20成等比数列 s20 s10 2 s10 s30 s20 即36 2 s30 8 s30 26 答案 26 3 已知数列 an 是正项等比数列 bn 是等差数列 且a6 b8 则a3 a9 b9 b7 填 解析 a3 a9 2 2a6 2b8 b9 b7 a3 a9 b9 b7 答案 4 已知各项均为正数的等比数列 an 中 a1 a2 a3 5 a7 a8 a9 10 则a4 a5 a6 解析 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9成等比数列 a4 a5 a6 2 a1 a2 a3 a7 a8 a9 50 又an 0 a4 a5 a6 5 答案 5 5 等差数列 an 的前n项和为sn 已知am 1 am 1 am2 0 s2m 1 38 则m的值为 解析 am 1 am 1 2am am 1 am 1 am2 2am am2 0 解得am 0或am 2 又 a1 a2m 1 2am s2m 1 2m 1 2m 1 am 38 am 0 am 2 2m 1 19 解得m 10 答案 10 考向1等差数列与等比数列的综合问题 典例1 1 已知sn是公差不为0的等差数列 an 的前n项和 且s1 s2 s4成等比数列 则 2 2012 湖北高考 已知等差数列 an 前三项的和为 3 前三项的积为8 求等差数列 an 的通项公式 若a2 a3 a1成等比数列 求数列 an 的前n项和 思路点拨 1 由等比中项的性质列出s22 s1s4 再代入等差数列的通项公式和前n项和公式 用a1和公差d表示出来 求出a1和d的关系 进而求出式子的比值 2 根据已知条件 列出方程求出首项和公差 根据等差数列通项公式可得结果 根据a2 a3 a1成等比数列确定等差数列的公差 按照项的符号分段求解数列 an 的前n项和 另外 也可以根据数列 an 的前n项和tn与数列 an 的前n项和sn之间的关系来求sn 规范解答 1 设等差数列 an 的公差为d 且d 0 s1 s2 s4成等比数列 s22 s1s4 a1 a2 2 a1 2a1 d 2 2a1 2a1 3d d2 2a1d 解得d 2a1或d 0 舍去 答案 8 2 设等差数列的公差为d 根据a1 a2 a3 3可得a2 1 进而得a1a3 8 即 a2 d a2 d 8 所以1 d2 8 解得d 3 当d 3时 a1 3 1 得a1 4 此时an 4 n 1 3 3n 7 当d 3时 a1 3 1 得a1 2 此时an 2 n 1 3 3n 5 an 的通项公式为an 3n 7或an 3n 5 d 3时 a2 1 a3 2 a1 4 此时a2 a3 a1成等比数列 当d 3时 a2 1 a3 4 a1 2 此时a2 a3 a1不是等比数列 故an 3n 7 这个数列的第一 二两项为负值 从第三项开始为正值 方法一 当n 2时 an 7 3n 这是一个首项为4 公差为 3的等差数列 故 当n 2时 an an 3n 7 此时这个数列从第三项起是一个公差为3的等差数列 故sn a1 a2 a3 a4 an 4 1 2 5 3n 7 所以这个式子中n 2时两段函数值相等 故可以写为 方法二 设数列 an 的前n项和为tn 则由于n 2时 an an 所以此时sn tn 当n 2时 sn a1 a2 a3 a4 an t2 tn t2 tn 2t2 所以这个式子中n 2时两段函数值相等 故可以写为 互动探究 本例题 1 中将条件 s1 s2 s4成等比数列 改为 a1 a2 a4成等比数列 结论 改为 则结果如何 解析 设等差数列 an 的公差为d 且d 0 a1 a2 a4成等比数列 a22 a1 a4 a1 d 2 a1 a1 3d a1 d an nd 故s2 s3 9d s1 d 拓展提升 解决等差数列 等比数列综合问题的关注点 1 分析已知条件和求解目标 确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题 如为求和需要先求出通项 为求出通项需要先求出首项和公差 公比 等 确定解题的逻辑次序 2 准确求解基本量 等差数列 等比数列的综合问题往往要先求出数列中的基本量 才能进行下面的计算或者推理 基本量的求解错误对解答这类试题是致命的失误 3 注意细节 在等差数列与等比数列综合问题中 如果等比数列的公比不能确定 则要看其是否有等于1的可能 在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等 这些细节对解题的影响也是巨大的 提醒 在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论 分类解决问题后还要注意结论的整合 变式备选 已知 an 是首项为19 公差为 2的等差数列 sn为 an 的前n项和 1 求通项an及sn 2 设 bn an 是首项为1 公比为3的等比数列 求数列 bn 的通项公式及其前n项和tn 解析 1 因为 an 是首项为a1 19 公差d 2的等差数列 所以an 19 2 n 1 2n 21 sn n2 20n 2 由题意知bn an 3n 1 所以bn an 3n 1 即bn 2n 21 3n 1 所以tn sn 1 3 3n 1 n2 20n 考向2等差 等比数列的判定或探索 典例2 2013 淮安模拟 数列 an 的前n项和记为sn a1 t an 1 2sn 1 n n 1 t为何值时 数列 an 是等比数列 2 在 1 的条件下 若等差数列 bn 的前n项和tn有最大值 且t3 15 又a1 b1 a2 b2 a3 b3为等比数列 求tn 思路点拨 1 先求n 2时an 1与an的关系 再根据 q 求t 2 根据tn有最大值知 公差d 0 规范解答 1 an 1 2sn 1 an 2sn 1 1 n 2 an 1 an 2an 即an 1 3an n 2 要使 an 是等比数列 当且仅当 3 即 3 t 1 2 设数列 bn 的公差为d 由t3 15 得b2 5 故b1 5 d b3 5 d 又a1 1 a2 3 a3 9 由题意知 5 d 1 5 d 9 82 解得d1 2 d2 10 又等差数列 bn 的前n项和tn有最大值 d 10 从而tn 5n2 20n 拓展提升 等差 等比数列的判定方法 1 等差数列的判定方法 定义法 对于n 2的任意自然数 验证an an 1为同一常数 等差中项法 验证2an 1 an an 2 n 3 n n 成立 通项公式法 验证an pn q 前n项和公式法 验证sn an2 bn 提醒 等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法 2 等比数列的判定方法 定义法 若 q q为非零常数 n n 或 q q为非零常数且n 2 n n 则 an 是等比数列 中项公式法 若数列 an 中 an 0且an 12 an an 2 n n 则数列 an 是等比数列 通项公式法 若数列通项公式可写成an c qn c q均是不为0的常数 n n 则 an 是等比数列 前n项和公式法 若数列 an 的前n项和sn k qn k k为常数且k 0 q 0 1 则 an 是等比数列 提醒 前两种方法是判定等比数列的常用方法 常用于证明某一数列为等比数列 变式训练 设数列 an 的前n项和sn n2 数列 bn 满足bn m n 1 若b1 b2 b8成等比数列 试求m的值 2 是否存在m 使得数列 bn 中存在某项bt满足b1 b4 bt t n t 5 成等差数列 若存在 请指出符合题意的m的个数 若不存在 请说明理由 解析 1 因为sn n2 所以当n 2时 an sn sn 1 2n 1 又当n 1时 a1 s1 1 适合上式 所以an 2n 1 n n 所以bn 则b1 b2 b8 由b22 b1b8 得 解得m 0 舍 或m 9 所以m 9 2 假设存在m 使得b1 b4 bt t n t 5 成等差数列 即2b4 b1 bt 则 化简得所以当m 5 1 2 3 4 6 9 12 18 36时 分别存在t 43 25 19 16 13 11 10 9 8符合题意 即存在这样的m 且符合题意的m共有9个 考向3等差 等比数列中的最值与范围 典例3 已知正项数列 an 其前n项和sn满足10sn an2 5an 6且a1 a3 a15成等比数列 1 求数列 an 的通项an 2 bn 20 an tn为数列 bn 的前n项和 求tn的最大值 思路点拨 1 先根据10sn an2 5an 6求出a1的值 再结合an sn sn 1 n 2 求an 2 根据 1 中数列 an 的通项an可得到bn 再由等差数列的前n项和公式可得到tn的表达式 进而求出tn的最大值 规范解答 1 10sn an2 5an 6 10a1 a12 5a1 6 解之得a1 2或a1 3 又10sn 1 an 12 5an 1 6 n 2 由 得10an an2 an 12 5 an an 1 即 an an 1 an an 1 5 0 an an 1 0 an an 1 5 n 2 当a1 3时 a3 13 a15 73 a1 a3 a15不成等比数列 a1 3 当a1 2时 a3 12 a15 72 有a32 a1a15 a1 2 an 5n 3 2 由 1 知bn 20 an 23 5n 所以tn 当n 4时 tn取得最大值42 拓展提升 求数列最值问题的技巧 1 将所求用其他变量表示 进而构造基本不等式的应用条件 利用基本不等式求最值 此时特别要注意因为n n 对等号能否取得的影响 2 利用条件转化为关于所求量的不等式 进而利用完全平方的非负性或放缩法求解 变式训练 已知 an 是公差为d的等差数列 它的前n项和为sn s4 2s2 4 bn 1 求公差d的值 2 若a1 求数列 bn 中的最大项和最小项的值 3 若对任意的n n 都有bn b8成立 求a1的取值范围 解析 1 s4 2s2 4 4a1 2 2a1 d 4 解得d 1 2 a1 数列 an 的通项公式为an a1 n 1 n 函数f x 在 和 上分别是单调减函数 b3 b2 b1 1 当n 4时 1 bn b4 数列 bn 中的最大项是b4 3 最小项是b3 1 3 由得bn 又函数f x 在 1 a1 和 1 a1 上分别是单调减函数 且x 1 a1时y 1 x 1 a1时y 1 对任意的n n 都有bn b8 7 1 a1 8 7 a1 6 a1的取值范围是 7 6 满分指导 解答数列综合问题 典例 14分 2013 无锡模拟 已知 an 是各项均为正数的等比数列 且a1 a2 2 a3 a4 a5 64 1 求 an 的通项公式 2 设bn an 2 求数列 bn 的前n项和tn 思路点拨 规范解答 1 设数列 an 的公比为q 则an a1qn 1 由已知得 2分化简得 又a1 0 故q 2 a1 1 所以an 2n 1 6分 2 由 1 知 bn an 2 an2 2 4n 1 2 8分所以数列 bn 的前n项和tn 1 4 4n 1 1 2n 2n 1 14分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 徐州模拟 若等比数列 an 满足anan 1 16n 则公比为 解析 因为等比数列 an 满足anan 1 16n 所以an 1an 2 16n 1 得q2 16 又因为anan 1 16n 0 所以q 4 答案 4 2 2013 无锡模拟 在等比数列 an 中 若a1 a4 4 则公比q a1 a2 an 解析 a4 q3 4 q 2 an 2 n 1 an 2n 2 a1 a2 an 答案 22n 1 3 2013 淮安模拟 已知等差数列 an 的公差d不为0 等比数列 bn 的公比q是小于1的正有理数 若a1 d b1 d2 且是正整数 则q等于 解析 由题意知a12 a22 a32 14d2 b1 b2 b3 d2 1 q q2 又q2 q 1 q 2 且是正整数 q是小于1的正有理数 q 2 1 即q 答案 4 2013 南京模拟 已知 an 是一个公差大于0的等差数列 且满足a3a6 55 a2 a7 16 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 an