姜晓春论文浅谈二次函数在高中阶段的应用.doc

浅谈二次函数在高中阶段的应用姜晓春（安康学院数学系，陕西安康，725000） 摘 要 函数是初中数学的难点，是高中数学的基础与灵魂，尤其作为二次函数,贯穿于整个高中阶段. 二次函数是高中阶段考试的必考点，是教师教学的重、难点，并且二次函数与物理学等学科有着千丝万缕的联系，二次函数与实际生活应用中所涉及的数学思想方法以及数学思维对学生逻辑思维的成长有很大帮助.因此对于二次函数应用的研究在高中教学阶段有着重要的意义.关键词 二次函数 高中阶段 应用II1.引言二次函数是简单的非线性函数之一初中我们已经对二次函数进行了学习，但由于当时学生认识能力、理解能力以及知识水平的限制，很难得到本质上的理解因此，进入高中以后，我们将对二次函数的概念和基本性质作深入的研究因为它一直是高考中命题的重点也是学习好高中数学的基础2.二次函数的概念及其性质 2.1二次函数的概念 2.1.1 基本定义一般地，把形如（其中 是常数，可以为0）的函数叫做二次函数（quadratic function），其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项.为自变量，为因变量.等号右边自变量的最高次数是2.二次函数图像是轴对称图形.对称轴为直线.顶点坐标.2.1.2 从集合角度对二次函数概念的理解 初中对函数定义，是通过两个相关联的量的变化情况进行描述的.到了高中学习了集合之后，在集合的基础上对二次函数进行重新定义，主要是通过两个非空数集间的对应关系来解析函数，因此二次函数是从一个集合A（定义域）到另一集合B（值域）上的对应，使得集合A中的任意一个元素与集合B中唯一的元素 对应，记为 这里的表示其对应关系 从映射上理解函数的话可以从以下例题加深理解： 例1 已知求.解析：在这里不能将理解为是函数值，只能理解为自变量为的函数值. 解：= = 例2 设，求. 解析：求定义域中元素的象，其本质是求对应法则.有以下两种方法： (1)把所给表达式表示成的多项式： 在用得. (2)变量代换,这种方法可以通用，可以使用一般的函数.令则，所以 从而可以得出.2.2 二次函数的性质作出二次函数的图像，通过观察，可以发现二次函数的图像是一条抛物线.（1）二次函数是抛物线，但抛物线不一定是二次函数. 开口向上或者向下的抛物线才是二次函数. 抛物线是轴对称图形.对称轴为直线，对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点. 特别地，当时，抛物线的对称轴是轴 (即直线)（2）抛物线有一个顶点，坐标为 , 当时，在轴上； 当时，在轴上. （3）二次项系数决定抛物线的开口方向和大小. 当时，抛物线向上开口； 当时，抛物线向下开口. 越大，则抛物线的开口越小.（4）由系数和系数共同决定对称轴的位置. 当与同号时（即），对称轴在轴左侧； 当与异号时（即），对称轴在轴右侧. （5）常数项决定抛物线与轴交点.抛物线与轴交于 （6）抛物线与轴交点个数: 时，抛物线与轴有2个交点； 时，抛物线与轴有1个交点； 时，抛物线与轴没有交点； 的取值是虚数（的值的相反数，乘上虚数，整个式子除以）2.3二次函数的表达式二次函数表达式中有、三个系数，求二次函数解析式关键是根据已知求出这三个系数的值.我们可以根据化简、配方等方法获得二次函数的几种解析式. （1）一般式（2）顶点式（，、为常数）,顶点坐标对称轴为.例3 已知二次函数的顶点(2,3)和另一任意点(4,7），求的解析式.解析：顶点坐标(2,3)即抛物线顶点为(2,3).解：设， 因为顶点为(2,3)，所以； 把任意点(4,7）代入上式得：，解得; 所以解析式为 . （3）交点式 ，其中，是这个二次函数与轴两个交点的横坐标.3.二次函数的应用 3.1 二次函数基本性质的应用 3.1.1 二次函数的图像，对称轴及其单调性的应用 有关函数单调性的例题 例4 利用函数单调性定义证明函数在上是减函数. 证：取任意两个数且 因为 这里有三种解法.证法（一） 当时； 当时，； 又因为，所以 故在上是减函数.证法（二） 因为 ，这里与不会同时为， 否则 若且，则，这与矛盾 所以 ，得在上是减函数.证法（三） 令，其判别式， 若时，则，则，所以 若则 ，即， 从而 故在上是减函数. 说明： 要掌握利用单调性比较两个数的大小 注意对参数的讨论 对函数的单调性进行证明时，要将判别式法、配方法进行灵活运用 要分层讨论，逐步培养3.1.2 二次函数的最值与对称轴关系的应用 例5 设在区间上的最小值是，求. 解：，在时取最小值-2. 当 ， ，； 当时，； 当时，； 所以 注：关于值域的问题首先要清楚题意.一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最大值.但当定义发生变化时，取得的最大或最小值的情况也随着变化. 例如要求的值域与求的值域就会有所不同.学生切记定义域对于值域的限制作用.不要盲目的认为求出最大最小值就能得出正确答案.要认真审题，看清所给题目的条件. 3.2 二次函数在方程方面的综合应用二次函数与一元二次不等式有着重要联系，尤其在整个高中阶段.他们也是解决实际生活问题的重要工具 例6 设二次函数，方程的两个根是，满足.(1)当时，证明:；(2)设函数，关于对称，证明:.解题思路：(1)先证明，令，因为是方程的两个根，所以.因为，所以时，得又，因此，即.因此可得 .根据韦达定理，有 因为 ， 又 ,所以，根据二次函数的性质，曲线是开口向上的抛物线. 所以，函数在闭区间上的最大边界点或处达到，而且不可能在区域内部达到.由于，所以当时，即.(2) 因为，函数的图像的对称轴为直线，且是惟一的一条对称轴.因此，依题意得，因此是二次方程即的根. 根据韦达定理得 ， 因为， 所以，即.例7 已知二次函数,设方程的两个实根为.(1) 如果，设函数的对称轴为，求证：.(2)如果，求的取值范围.解：(1)设 由条件 得：，即，解得： 显然必有，得 ， 得： ，故，结论成立 (2)由方程 可得，所以同号. 若，则（负根舍去）所以 即 又所以 （因为，负根舍去）代入得 解得. 若，则（正根舍去） 所以，即又 代入上式的 解得综上可得： 当时，；当时，. 结束语 二次函数，它有丰富的内涵和外延.作为最简单、最基本的函数，通过它可以研究函数的单调性、奇偶性、周期性以及最值等性质；还可以建立起函数与方程及不等式之间的关系，建立起灵活多变的数学问题.不仅考察了学生的数学基础知识和综合应用能力，而且锻炼了学生的逻辑思维能力，提高了学生运用数学知识解决实际问题的能力. 8参考文献 1 罗增儒.数学解题学引论 M.陕西师范大学出版社，2004：2628. 2 薛金星.高中数学基础知识手册 M.北京教育出版社，2005: 4852. 3 华东师范大学数学系数学分析 M.高等教育出版社，2001：1015. 4 领跑中考.全程高校总复习 M.陕西人民教育出版社，2010: 3035. 5 朱贤良.付朝华 一类函数单调性问题的转化策略 中学数学教学 2012 （11）：41-42 6 优化设计.高中全程复习 M.学苑出版社，2007:1122.致 谢 我的大学生活即将划上一个句号，几年的求学生涯，在师长、亲友的大力支持下，走的辛苦却也收获多多.在论文即将完成之际，思绪万千，心情久久不能平静.伟人，名人为我所崇拜，可是我更急切地要把我的敬意和赞美献给一位平凡的人，我的导师刘琼教授.您学识渊博，思想深邃，平易近人，耐心指导，为我做了一个请教和学习的榜样.授人以鱼不如授人以渔，置身其中，耳濡目染，使我不仅接受了全新的思想观念，树立了宏伟的学术目标，领会了基本的思考方式.从论文题目的选定到论文写作的指导，经过您的细心点拨，再经思考后的领悟，常常让我有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的良好感觉.为了我的论文