比萨斜塔斜而不倒的数学奥秘.pdf

第 32 卷增刊 2 岩 土 力 学 Vol 32 Supp 2 2011 年 8 月 Rock and Soil Mechanics Aug 2011 收稿日期 2011 04 18 基金项目 国家自然科学基金项目 No 11072016 No 10872016 No 50879001 第一作者简介 姚仰平 男 1960 年生 博士 教授 主要从事岩土本构理论方面的研究工作 E mail ypyao 文章编号 文章编号 1000 7598 2011 增刊 2 0036 06 比萨斜塔斜而不倒的数学奥秘 比萨斜塔斜而不倒的数学奥秘 姚仰平 祝恩阳 北京航空航天大学 土木工程系 北京 100191 摘摘 要 要 比萨斜塔从修建至今 800 余年缘何斜而不倒 这是一个颇具吸引力的问题 围绕这一问题 从土材料的变形机制入 手 介绍了其变形的加载次序相关性 经微分学中曲线积分路径无关的充分必要条件检验 证实了经典岩土本构模型 Cam clay 对土材料应变的加载应力路径相关性描述与试验相符 土材料变形与加载次序的相关性在应用增量本构模型计算中 实际就 体现在模型描述于数学上的曲线积分路径相关性上 完全一样的比萨斜塔 完全一样的地基 仅修建时间长短的不同便造就 了地基土中有效应力加载路径的显著差异 从而极大地影响了与加载应力路径相关的广义剪应变的发展情况 最终决定了地 基土的破坏与否 建筑物的倒塌与否 从这个角度 深刻巧妙地揭示出比萨斜塔数百年来斜而不倒的数学奥秘 在解释 Burland 等对比萨斜塔一次修建完工将会倒塌的观点同时提出猜想 如果进行更加缓慢的修建 地基土有效应力路径会更加远离临界 状态应力线 那么比萨斜塔今天的倾斜程度可能大为降低 关关 键键 词 词 土材料 比萨斜塔 沉降 积分路径 应力路径 相关性 中图分类号 中图分类号 TU 43 文献标识码 文献标识码 A Mathematical mystery for lean and stand of leaning Tower of Pisa YAO Yang ping ZHU En yang Department of Civil Engineering Beihang University Beijing 100191 China Abstract It is attractive to investigate why the leaning Tower of Pisa is leaning but not fallen Center on this subject deformation mechanisms of geomaterials and their loading order dependency are introduced at first After checking by the necessary and sufficient condition of path independency for curvilinear integration it is confirmed that the stress path dependency of strains in the particular Cam clay is consistent with the tests Exactly the same Tower of Pisa exactly the same foundation just the difference of construction speed makes a significant distinction of effective stress path in foundation then greatly affects the development of general shearing strain which is stress path dependent and finally determines whether or not the foundation is destroyed and whether or not the leaning Tower of Pisa is fallen over From this perspective the mathematical mystery for the lean and stand of the leaning Tower of Pisa is deeply and ingeniously revealed As soon as the viewpoint from Burland et al that the tower would have fallen over if had work continued is explained by stress path dependency it is confidently pointed out that if the leaning Tower of Pisa is built more slowly the effective stress path will be more farther to the critical state stress line and then the lean of the leaning Tower of Pisa today may be much little Key words soils leaning Tower of Pisa settlement integration path stress path dependency 1 引 言 闻名世界的比萨斜塔位于意大利托斯卡纳省北 面的奇迹广场上 如图 1 所示 除了其外表的洁白 华美 雕琢的精致古朴以及古罗马式的建筑风格令 人流连忘返外 更有意思的是塔身从建造之初直至 今天的 800 多年来一直处于主动缓慢倾斜与被动维 修纠偏两种力量的激烈对抗之中 这种较量令人们 对本来就有着浓郁神秘色彩的比萨斜塔产生出无限 的遐想和悠长的回味 比萨斜塔高约 60 m 始建于 1173 年 1178 年 当修建进行到第 4 层时 塔身开始产生倾斜 修建 工作中止 停顿近百年之后 修建工作于 1272 年再 次开始 又修建了 3 层 直至完成第 7 层修建后 再次于 1278 年停止 1360 年 比萨斜塔最后 1 层 的修建开始动工 并最终于 1370 年整体完工 前后 增刊 2 姚仰平等 比萨斜塔斜而不倒的数学奥秘 37 历经近 200 年 其修建历史过程 施工荷载及倾斜 状况如图 2 所示 1 图图 1 比萨斜塔比萨斜塔 Fig 1 The leaning tower of Pisa 图图 2 比萨塔的建造历史比萨塔的建造历史 1 Fig 2 Construction history for tower of Pisa 比萨斜塔为何虽塔身倾斜 但在不断的维修纠 偏中却依然屹立不倒 下面论文中简称斜而不倒 这一问题多年来吸引着来自世界各地各领域学者们 的思考 英国帝国理工大学的 Burland 教授 1 曾感 言 无可置疑 如果将比萨塔一次建成 塔身将倒 塌 那么比萨斜塔一次修建完成和历经近 200 年断 续修建完成 其间到底存在什么差异 又隐含着什 么本质规律呢 难道是上帝之手在起作用吗 既然 一次修建完成与历经近 200 年断续修建完成存在如 此大的差异 那么还有其他的可能性吗 例如历经 800 年修建完工又会怎样呢 本文将围绕该问题 以微积分学中曲线积分的路径相关性为理论基础 对土材料变形的加载次序相关性进行机制分析 以 此揭示比萨斜塔 800 余年斜而不倒的力学本质 2 土材料的变形及加载次序 讨论比萨斜塔斜而不倒 自然要从其地基的变 形说起 少不了对其基础下土材料的应力和应变进 行分析 材料力学中取图 3 所示的材料单元来分析 材料中某点的应力 应变状况 可以看出 在三维 空间直角坐标系中 材料单元受空间相互垂直 3 个 方向的主应力为 1 2 3 相应 3 个方向主应 变为 1 1 3 图图 3 土材料单元的应力与应变土材料单元的应力与应变 Fig 3 Stress and strain for soils 土材料是一种典型的弹塑性材料 故早期土力 学直接将金属塑性力学中的部分变量借用过来 并 一直沿用至今 依照塑性力学 土力学中将三向主 应力简化为平均主应力 p 与广义剪应力q 并用体 积应变 v 与广义剪应变 d 来分别描述土材料在加 载过程中的体积变化与形状改变 2 本文中所有应 力均指土材料内部 扣除孔隙水压力后 直接作用 于土骨架上的有效应力 123 1 3 p 1 222 122313 2 2 q 2 v123 3 222 d121323 2 3 4 然而 在土木工程中 尤其是处于广阔水平面 上的孤立建筑物而言 建筑物正下方地基土的应力 状态往往是常规三轴压缩状态 即 123 相 应的应变状态也有类似规律 即 123 如图 4所示 如果将竖向较大的主应力称为轴向应力 a 图图 4 地基土应力状态地基土应力状态 Fig 4 Stress condition of soil under the construction 38 岩 土 力 学 2011 年 相应方向的应变称为轴向应变 a 较小的水平主应 力称为径向主应力 r 相应方向的应变称为径向应 变为 r 那么 式 1 4 对p q v 与 d 的 表 述 就 分 别 被 简 化 为 ar 23p ar q var 2 dar 2 3 有意思的是 建筑物的沉降 倾斜等现象都归 咎于地基土的这两种应变 描述地基土材料的体积 因压缩而变小的体积应变 v 与描述地基土中沿潜 在滑动面相对滑动趋势大小的广义剪应变 d 任何 一种应变发生过大 都会导致地基土的破坏 造成 建筑物的倾斜 甚至倒塌 针对比萨斜塔数百年来 为何斜而不倒的问题 本文分别从该两种应变的产 生机制及发展特性开始分析 2 1 体积应变产生机制及其应力路径相关性体积应变产生机制及其应力路径相关性 与其他材料不同 土材料由土颗粒与孔隙组成 加载过程中 颗粒间孔隙大小的变化在宏观上就表 现为土材料的体积应变 为更直观地描述体积变化 土力学中定义一个新物理量孔隙比e e的含义是 土材料中孔隙体积与土颗粒体积的比值 以黏土为例 受等向应力 0p 0q 作 用的材料单元 其内部颗粒相互架立 使得颗粒间 有一定的孔隙 随着应力p的增加 土颗粒会产生 一系列破碎 扭曲 弯折等变化 e也就随之而减 小 黏土受等向应力加载过程中 将e随p增加而 减小的变化规律绘制在e p坐标中就得到黏土的正 常固结线 normal consolidated line 简称NCL 如 图5所示 3 图图 5 黏土的黏土的 NCL 与与 CSL Fig 5 NCL and CSL for clay 然而 并不仅仅是p的作用会导致黏土的体积 变化 早在1885年 Reynolds就通过试验发现剪 切作用会导致粒状材料发生宏观的体积改变 4 1958年 Roscoe Schofield和Wroth将Weald黏土 的大量排水剪切及不排水剪切试验汇总 将试样的 最终孔隙比绘制在e p坐标中发现 在经历不同的 方式加载剪切并达到最终破坏状态时 0q 0p d 各试样所达到的最终孔隙比在e p 坐标中大致成一线 Roscoe等将该线定义为这种黏 土的临界状态线 critical state line 简称CSL 更 有意思的是 e p坐标中 CSL位于NCL的下方 并且两线上各点的竖向距离相等 如图5所示 5 基于此 现在考虑图6所示的p q坐标中两种 加载应力路径AC与ABC 应力路径AC是将等向 加载固结至 A p的黏土进行常规三轴压缩排水剪切 试验 而应力路径ABC则是将已等向固结至 A p的 黏土再等向加载固结至 B p 而后进行等p排水剪 切 p q坐标中的C点表示当前应力状态q与p的 比值达到临界状态应力比M 此时黏土材料发生破 坏 按照Roscoe等总结的试验规律 黏土分别经历 AC与ABC两种应力路径加载剪切至破坏时 其孔 隙比e均达到图6中c所对应的孔隙比 据此可以 判断 位于NCL线上的黏土加载剪切直至破坏的 全过程中 体积应变 v 加载应力路径无关 图图 6 黏土体积应变应力路径无关黏土体积应变应力路径无关 Fig 6 Stress path independency of volume strain for clay 2 2 广义剪应变产生机制及其应力路径相关性广义剪应变产生机制及其应力路径相关性 2 1节讲到临界状态线的概念 本节在开始前有 必要再次明确一下临界状态的概念 先举一个简单 的例子 在粗糙水平桌面上有一重力为G的物体 物体与桌面间的摩擦系数为 如图7所示 图图 7 桌面上的物体桌面上的物体 Fig 7 Object on the table 有一水平力F作用于物体 其大小从0开始逐 渐增大 当比值F G达到摩擦系数 之前 物体与 桌面间只产生十分微小的错动 然而一旦比值F G 达到摩擦系数 物体与桌面间的错动将永远进行 增刊 2 姚仰平等 比萨斜塔斜而不倒的数学奥秘 39 下去 如果不考虑给物体加速的话 力F的大小也 不再增加 如同粗糙桌面上的物体在初始比值F G 0时 几乎不被拉动 到最终比值F G 时被永远拉动 黏土试样在经历剪切加载过程中也有类似现象发 生 当比值q p较小时 试样的广义剪应变 d 缓慢 发展 一旦q p达到某一数值 应力p q则都不 再改变 随即孔隙比e也不再减小 唯广义剪应变 d 无限地发展下去 Roscoe等将该种状态 即0p 0q v 0 且 d 称为黏土的临界状态 对 于同一种黏土 达到临界状态时应力比值q p恒 定 并定义该比值为该种黏土的临界状态应力比 M 5 应力比值q p达到M时 黏土试样将因达到临 界状态而产生无限发展的广义剪应变 d 从而破 坏 由于变形的连续性 在应力q p数值逐渐接近 M的过程中 试样也就已经开始产生越来越大的广 义剪应变 d 了 换句话说 广义剪应变 d 产生的多 少与数值q p直接相关 图图 8 黏土广义剪应变应力路径相关黏土广义剪应变应力路径相关 Fig 8 Stress path dependency of general shearing strain for clay 这里再来考虑图8所示p q坐标中两种加载应 力路径AC与ABC 路径AC将直接处于等向应力 状态的黏土加载剪切至应力状态C 而路径ABC将 粘土试样先等p剪切至q p数值接近M的B点 之后再在等q的情况下到达应力状态C 很明确 由于路径AC上q p数值远小于M 故路径AC产 生的广义剪应变 d 不会太大 而路径ABC所经的B 点处 q p数值接近M 将使试样产生较大的广 义剪应变 d 而在其后经历的路径BC上数值q p 逐渐变小 又不能抵消路径AB产生的 d 故总体 上 路径AC与ABC产生的广义剪应变 d 存在较大 的差别 因此 对于黏土 可以断言广义剪应变 d 加载应力路径相关 3 Cam clay 及其应力路径相关性 上节以黏土材料为例 从机制上分析了其体积 应变 v 与广义剪应变 d 的加载应力路径相关性 那 么 将黏土应变的这种加载应力路径相关性考虑应 用到对比萨斜塔地基土变形的分析时 必须首先明 确所应用的岩土本构模型能否按实际情况体现应变 的加载应力路径相关性规律 Cam clay是反映土材 料应力 应变关系的经典弹塑性增量本构模型 所谓 增量本构模型是指 模型直接描述的是应力增量与 应变增量的对应关系 而所求应变全量需由每一小 步计算出的应变增量累加得到 这样一来 如果将 整个加载应力路径看作应力空间的某条曲线 那么 用增量本构模型计算应变全量的过程就相当于沿该 应力路径的曲线坐标积分 这样 就可以应用微分 学 中 曲 线 积 分 路 径 无 关 的 充 分 必 要 条 件 对 Cam clay所表述应变的加载应力路径相关性进行 说明并予以验证了 3 1 Cam clay 1963年 Roscoe等在弹塑性力学的框架下 针 对正常固结黏土提出了描述其应力 应变关系的 Cam clay本构模型 5 Cam clay将体积应变增量 v d 与广义剪应变增量 d d 描述为 v d dd dd AB p q CD 5 式 中 pe 2 1Mpq Acc pMp p 1 BCc Mp pe 2 11 9 12 Dcc M Mpqp 为泊松比 M 为临界状态应力比 其中 p 0 1 c e 与 e 0 1 c e 均 为常量 可由重塑土等向压缩线在lnep 坐标下斜 率的绝对值 等向回弹线斜率的绝对值 以及初 始孔隙比 0 e计算得到 3 2 Cam clay 描述的应力路径相关性分析描述的应力路径相关性分析 微分学中曲线积分 d d L P x yxQ x yy 在 单连通开区域G内与积分路径无关的充分必要条 件为 P x yQ x y yx 6 式中 P x y Q x y在G内需具有一阶连续偏 导数 根据式 5 Cam clay对应变全量 v d 的 描述恰恰可写为式 7 8 所述的曲线积分形式 积分曲线 0L p q 即为加载应力路径 v 0 dd L p q ApB q 7 d 0 dd L p q CpD q 8 40 岩 土 力 学 2011 年 因此 可直接运用式 6 所述判据来分析 Cam clay对体积应变 v 与广义剪应变 d 描述的应 力路径相关性 由于 p 2 1AB c qpMp 9 故Cam clay将体积应变 v 描述为加载应力路 径无关 同理可求出 0 C q 10 pe 22 2 11 9 12 D cc pp Mpq 11 由于 CD qp 12 故Cam clay将广义剪应变 d 描述为加载应力 路径相关 式 5 所描述的体积应变增量 v d 经式 9 判断为积分路径无关 故此可以通过积分得到体积 应变全量 v 的表达 考虑初始条件为 0 pp 时有 v 0 这样 通过定积分可得 vpep 0 ln pq ccc pMp 13 式 13 对体积应变 v 的全量表达 恰与2 1 节中对体积应变 v 加载应力路径无关的机制分析 相符 值得考虑的是式 5 所描述广义剪应变 d 的 应力路径相关性与2 2节所述的试验结论一致吗 观察式 5 当应力状态逼近临界状态时 即 qMp 时 式 5 中 d d 表达式中dq系数的第1 项将逐渐趋于 从而使得计算出的广义剪应变 d 无限发展 与试验规律相符 Cam clay目前被公认为可以相对合理地反映 土材料在应力 应变关系上的物理规律 通过本节的 分析 Cam clay所描述的体积应变 v 与广义剪应变 d 的加载应力路径相关性规律也与实际相符 用 Cam clay对比萨斜塔地基中各点的应变进行分析 暗含了考虑加载应力路径对地基变形的影响 从而 可进一步从曲线积分路径相关性的角度揭示比萨斜 塔斜而不倒的数学奥秘 4 比萨斜塔斜而不倒的数学奥秘 比萨斜塔的基础为圆环形 其外径为19 58 m 内直径为4 5 m 基础下约7 37 m几乎均为黏土 其渗透系数大约在 10 10 m s数量级 6 排水性能较 差 这就意味着 基础在加载后 瞬间产生的孔隙 水压力需要很长的时间才能消散 由于有效应力q 的大小不受孔隙水压力的影响 而有效应力p却对 孔隙水压力很敏感 因此对于同样的外加荷载 孔 隙水压力的产生以及能否及时消散直接影响着地基 土中各点在p q坐标上的有效应力路径 在有效应 力q相同的情况下 有孔隙水压力时pq 坐标上的 有效应力状态 如图8中的点B 较没有孔隙水压 力时的有效应力状态 如图8中的点C 更靠左 也就是更靠近破坏时的临界应力状态 下面考虑比萨斜塔的3种修建方式 Burland 等假想的一次修建完工 实际中的断续修建完工 假想的极为缓慢的修建完工 3种快慢不同的修 建方式对地基土中孔隙水压力的产生和消散有着不 同影响 但是当孔隙水压力经漫长的时间而消散完 全后 3种不同修建方式所造成地基土中的最终有 效应力状态是完全相同的 地基土中各点的应力状 态是不相同的 为论述方便 取其中有代表性的某 一点进行分析 对应3种不同的修建方式 该点所 经历的不同应力路径由图9示意 图图 9 不同修建方式的有效应力路径不同修建方式的有效应力路径 Fig 9 Effective stress paths for different construction schemes 对于比萨斜塔基础下厚度约30 m的黏土 按 前文所述其体积应变 v 加载应力路径无关 不同的 修建方式虽影响地基土的有效应力路径 但由于地 基土中初 末应力状态是确定不变的 因此地基土 中各点的体积应变 v 不受加载有效应力路径的影 响 可根据地基中各点的初 末应力状态 由式 13 计算得到 对于3种修建方式 计算结果均相同 然而 对于黏土加载应力路径相关的广义剪应 变 d 就大不一样了 对黏土来说 产生过大的广义 剪应变 d 即意味着达到临界状态而破坏 导致建筑 物不能继续使用甚至倒塌 依此 图9所示的3种 快慢不同修建方式对应的有效应力路径恰可做如下 解释 如果比萨斜塔一次修建完工 其基础下黏土 的应力状态很可能逼近甚至达到临界状态应力比 M 随即产生极大的广义剪应变 d 而使塔身倒塌 增刊 2 姚仰平等 比萨斜塔斜而不倒的数学奥秘 41 实际中的比萨斜塔历经近200年断续修建完工 在 其停工阶段 地基土中孔隙水压力得以充分的消散 使其有效应力路径远离q pM 的临界应力状态 从而没有立刻产生相对较大的广义剪应变 d 而是 在常年的维护下仅仅发生微小倾斜 如果假想比萨 斜塔的修建速度很慢 慢到修建过程中 其地基土 中几乎不产生孔隙水压力 这样的话 广义剪应变 d 产生得就会更少 那么今天比萨斜塔的倾斜程度 甚至可能会小很多 5 结 论 本文由比萨斜塔为何800余年斜而不倒的原因 引入 分别从物理机理及微分学理论论述了土材料 变形与加载次序的相关性 最终从数学层面揭示了 比萨斜塔数百年来斜而不倒的本质规律 1 在对比萨斜塔历经200年分3次修建而 达到目前的倾斜状态以及Burland等所预言的一次 修建将倒塌两种情况解释说明的同时 作者提出第 3种猜想 采用极为缓慢的修建 塔身将可能倾斜 得很小 2 分别从3种快慢不同修建方式所导致地 基土中有效应力路径的显著差异入手 从变形加载 积分应力路径相关性层面解释了3种不同的地基变 形 并最终揭示出当前比萨斜塔斜而不倒的数学奥 秘 3 从物理机制上 分析了土材料应变的加载 应力路径相关性 通过曲线积分应力路径无关的充 分必要条件对经典Cam clay表述的加载应力路径 相关性进行检验 证实其与实际相符 参参 考考 文文 献献 1 BURLAND J B JAMIOLKOWSKI M VIGGIANI C The stability of the leaning tower of Pisa J Soils and Foundations 2003 43 5 63 80 2 谢定义 姚仰平 党发宁 高等土力学 M 北京 高等 教育出版社 2008 3 WOOD D M Soil behavior and critical state soil mechanics M Cambridge Cambridge University Press 1990 4 REYNOLDS O On the dilatancy of media composed of rigid particles in contact J Philosophical Magazine 1885 20 5 469 481 5 ROSCOE K H SCHOFIELD A N Mechanical behavior of an idealized wet clay C Proceedings of the 2nd European Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering Wiesbaden s n 1963 6 RAMPELLO S CALLISTO L A study on the subsoil of the Tower of Pisa based on results from standard and high quality samples J Canadian Geotechnical Journal 1998 35 6 1074 1092 Engineering Geology 2001 62 4 319 342 7 THEVANAYAGAM S MOHAN S Intergranular state variables and stress strain behavior of silty sands J Geotechnique 2000 50 1 23 8 XENAKI V C ATHANASOPOULOUS G A Liquefaction resistance of sand silt mixtures an experimental investigation of the