高考数学 第二章 第十一节 导数与函数的单调性、极值、最值课件 文 北师大版.ppt

第十一节导数与函数的单调性 极值 最值 1 函数的单调性与导数的关系 1 函数y f x 在 a b 内可导 常数函数 2 单调性的应用若函数y f x 在区间 a b 上单调 则y f x 在该区间上 不变号 2 函数的极值 1 极大值在包含x0的一个区间 a b 内 函数y f x 在任何一点的函数值都 x0点的函数值 称 为函数y f x 的极大值点 其函数值 为函数的极大值 小于或等于 点x0 f x0 2 极小值在包含x0的一个区间 a b 内 函数y f x 在任何一点的函数值都 x0点的函数值 称 为函数y f x 的极小值点 其函数值 为函数的极小值 与 统称为极值 与 统称为极值点 大于或等于 点x0 f x0 极大值 极小值 极大值点 极小值点 3 导数与极值 3 函数极值与最值的求法 1 求可导函数y f x 极值的步骤 求出导数f x 解方程f x 0 对于方程f x 0的每一个解x0 分析f x0 在x0左 右两侧的符号 即f x 的单调性 确定极值点 若f x 在x0两侧的符号 则x0为极大值点 若f x 在x0两侧的符号 则x0为极小值点 若f x 在x0两侧的符号 则x0不是极值点 左正右负 左负右正 相同 2 求函数在闭区间 a b 上的最值可分两步进行 求y f x 在 a b 内的 将函数y f x 的各极值与区间 a b 端点处的函数值f a f b 比较 其中 为最大值 为最小值 极值 最大的一个 最小的一个 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 f x 0是f x 为增函数的充要条件 2 函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的 3 函数的极大值不一定比极小值大 4 对可导函数f x f x0 0是x0点为极值点的充要条件 5 函数的最大值不一定是极大值 函数的最小值也不一定是极小值 解析 1 错误 f x 0能推出f x 为增函数 反之不一定 如函数f x x3在 上单调递增 但f x 0 所以f x 0是f x 为增函数的充分条件 但不是必要条件 2 错误 一个函数在某区间上或定义域内极大值可以不止一个 3 正确 一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系 极大值可能比极小值大 也可能比极小值小 4 错误 对可导函数f x f x0 0只是x0点为极值点的必要条件 如y x3在x 0时f 0 0 而函数在r上为增函数 所以0不是极值点 5 正确 当函数在区间端点处取得最值时 这时的最值不是极值 答案 1 2 3 4 5 1 函数f x lnx ax a 0 的递增区间为 a b c d a 解析 选a 由得 f x 的递增区间为 2 设f x x ax2 bx c a 0 在x 1和x 1处均有极值 则下列点中一定在x轴上的是 a a b b a c c b c d a b c 解析 选a f x 3ax2 2bx c 由题意知1 1是方程3ax2 2bx c 0的两根 b 0 3 函数f x x3 3x x 1 1 a 有最大值 但无最小值 b 有最大值 也有最小值 c 无最大值 也无最小值 d 无最大值 但有最小值 解析 选c f x 3x2 3 x 1 1 f x 0 f x 在 1 1 上是减少的 故f x 无最大值 也无最小值 4 已知f x x3 ax在 1 上是增加的 则a的最大值是 a 0 b 1 c 2 d 3 解析 选d f x 3x2 a 0在 1 上恒成立 即a 3x2在 1 上恒成立 而 3x2 min 3 12 3 a 3 故amax 3 5 已知y f x 是定义在r上的函数 且f 1 1 f x 1 则f x x的解集是 a 0 1 b 1 0 0 1 c 1 d 1 1 解析 选c 令f x f x x 则f x f x 1 0 所以f x 是增函数 故易得f x f 1 的解集 即f x x的解集是 1 考向1利用导数研究函数的单调性 典例1 1 2012 辽宁高考 函数的递减区间为 a 1 1 b 0 1 c 1 d 0 2 2012 北京高考改编 已知函数f x ax2 1 a 0 g x x3 bx 若曲线y f x 与曲线y g x 在它们的交点 1 c 处具有公切线 求a b的值 当a2 4b时 求函数f x g x 的单调区间 思路点拨 1 保证函数有意义的前提下 利用y 0求解 2 利用交点既在f x 上 也在g x 上 在公切点处导数相等 构造方程组求解 构造函数f x f x g x 再利用导数求单调区间 规范解答 1 选b 由 1 x 1 且x 0 又函数的定义域为 0 故递减区间为 0 1 2 f x 2ax g x 3x2 b 由已知可得解得a b 3 令令f x 0 得 a 0 x10得 或由f x 0得 递增区间是递减区间为 互动探究 在本例题 2 中 若条件不变 讨论函数f x g x 当a 0时 在区间 1 上的单调性 解析 由本例解析知 当a 0时 函数的递增区间是递减区间为当即0 a 2时 f x g x 在 1 上为增加的 当即2 a 6时 f x g x 在上是增加的 在上是减少的 当即a 6时 f x g x 在上是增加的 在上是减少的 在上是增加的 综上 当0 a 2时 f x g x 在 1 上是增加的 当2 a 6时 f x g x 在上是增加的 在上是减少的 当a 6时 f x g x 在上是增加的 在上是减少的 在上是增加的 拓展提升 求函数的单调区间的 两个 方法 1 方法一 确定函数y f x 的定义域 求导数y f x 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为递增区间 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为递减区间 2 方法二 确定函数y f x 的定义域 求导数y f x 令f x 0 解此方程 求出在定义区间内的一切实根 把函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来 然后用这些点把函数f x 的定义区间分成若干个小区间 确定f x 在各个区间内的符号 根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性 变式备选 1 函数y xlnx的递减区间是 解析 令y 0 解得又x 0 y xlnx的递减区间是答案 2 已知函数且f 1 0 试用含a的代数式表示b 求f x 的单调区间 解析 依题意 得f x x2 2ax b 由f 1 1 2a b 0得b 2a 1 由 得故f x x2 2ax 2a 1 x 1 x 2a 1 令f x 0 则x 1或x 1 2a i 当a 1时 1 2a 1 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 由此得 函数f x 的递增区间为 1 2a 和 1 递减区间为 1 2a 1 ii 由a 1时 1 2a 1 此时 f x 0恒成立 且仅在x 1处f x 0 故函数f x 的递增区间为r iii 当a 1时 1 2a 1 同理可得函数f x 的递增区间为 1 和 1 2a 递减区间为 1 1 2a 综上 当a 1时 函数f x 的递增区间为 1 2a 和 1 递减区间为 1 2a 1 当a 1时 函数f x 的递增区间为r 当a 1时 函数f x 的递增区间为 1 和 1 2a 递减区间为 1 1 2a 考向2已知函数的单调性求参数的范围 典例2 1 若函数y a x3 x 的递减区间为则a的取值范围是 a a 0 b 1 a 0 c a 1 d 0 a 1 2 2013 厦门模拟 若函数f x x3 ax2 1在 1 2 上是减少的 求实数a的取值范围 思路点拨 1 由y 0的解集为确定a的取值范围 2 先求出导函数 再利用导数与单调性的关系或转化为恒成立问题求解 规范解答 1 选a 当时 因为函数y a x3 x 在上是减少的 所以y 0 即a 0 经检验a 0不合题意 a 0 2 f x 3x2 2ax x 3x 2a 方法一 由f x 在 1 2 上减少知f x 0 即3x2 2ax 0在 1 2 上恒成立 即在 1 2 上恒成立 故只需故a 3 综上可知 a的取值范围是 3 方法二 当a 0时 f x 0 故y f x 在 上为增函数 与y f x 在 1 2 上减少不符 舍去 当a 0时 由f x 0得即f x 的递减区间为与f x 在 1 2 上减少不符 舍去 当a 0时 由f x 0得即f x 的减区间为由f x 在 1 2 上减少得得a 3 综上可知 a的取值范围是 3 拓展提升 已知函数单调性 求参数范围的两个方法 1 利用集合间的包含关系处理 y f x 在 a b 上增加或减少 则区间 a b 是相应区间的子集 2 转化为不等式的恒成立问题 即 若函数递增 则f x 0 若函数递减 则f x 0 来求解 提醒 f x 为增加的充要条件是对任意的x a b 都有f x 0且在 a b 内的任一非空子区间上f x 0 应注意此时式子中的等号不能省略 否则漏解 变式训练 已知a r 函数f x x2 ax ex x r e为自然对数的底数 1 当a 2时 求函数f x 的递增区间 2 函数f x 是否为r上的减函数 若是 求出a的取值范围 若不是 请说明理由 解析 1 当a 2时 f x x2 2x ex f x 2x 2 ex x2 2x ex x2 2 ex 令f x 0 即 x2 2 ex 0 ex 0 x2 2 0 解得 函数f x 的递增区间是 2 f x 不是r上的减函数 若函数f x 在r上递减 则f x 0对x r都成立 即 x2 a 2 x a ex 0对x r都成立 ex 0 x2 a 2 x a 0对x r都成立 a 2 2 4a 0 即a2 4 0 这是不可能的 故函数f x 不可能是r上的减函数 考向3利用导数研究函数的极值 最值 典例3 1 2013 芜湖模拟 已知函数f x x3 12x 8在区间 3 3 上的最大值与最小值分别为m m 则m m 2 2013 宝鸡模拟 若f x x3 3ax2 3 a 2 x 1没有极值 则a的取值范围是 3 2012 江苏高考改编 已知a b是实数 1和 1是函数f x x3 ax2 bx的两个极值点 求a和b的值 设函数g x 的导函数g x f x 2 求g x 的极值点 思路点拨 1 先求f x 的极值点 再与端点值比较大小 从而求出最值 2 函数无极值 等价于f x 0无实根 或存在两相等实根 3 求出f x 的导数 根据1和 1是函数f x 的两个极值点 代入列方程组求解即可 由 得 f x x3 3x 求出g x 令g x 0 求解讨论即可 规范解答 1 因为f x 3x2 12 3 x 2 x 2 所以令f x 0得x 2或x 2 又f 3 3 3 12 3 8 17 f 2 2 3 12 2 8 24 f 2 23 12 2 8 8 f 3 33 12 3 8 1 所以m 24 m 8 故m m 32 答案 32 2 f x 3x2 6ax 3 a 2 由f x 没有极值点得 36a2 36 a 2 0 即 1 a 2 答案 1 2 3 由f x x3 ax2 bx得f x 3x2 2ax b 又因为1和 1是函数f x x3 ax2 bx的两个极值点 所以3x2 2ax b 0的两个根分别为1和 1 由根与系数的关系得 a 0 1 1 b 3 所以a 0 b 3 此时f x x3 3x 由 得 f x x3 3x g x f x 2 x3 3x 2 x 1 2 x 2 0 解得x1 x2 1 x3 2 当x 2时 g x 0 当 2 x 1时 g x 0 x 2是g x 的极值点 当 2 x 1或x 1时 g x 0 x 1不是g x 的极值点 g x 的极值点是 2 拓展提升 最值 与 极值 的区别和联系 1 最值 是整体概念 是比较整个定义域或区间内的函数值得出的 具有绝对性 而 极值 是个局部概念 是比较极值点附近函数值得出的 具有相对性 2 从个数上看 一个函数在其定义域上的最值是唯一的 而极值不唯一 3 函数在其定义区间上的最大值 最小值最多各有一个 而函数的极值可能不止一个 也可能一个没有 4 极值只能在区间内部取得 而最值可以在区间的端点处取得 5 有极值的未必有最值 有最值的未必有极值 极值有可能成为最值 最值只要不在端点必定是极值 变式训练 已知函数f x ax3 6ax2 b 是否存在实数a b 使f x 在 1 2 上取得最大值3 最小值 29 若存在 求出a b的值 若不存在 请说明理由 解析 显然a 0 f x 3ax2 12ax 3a x2 4x 令f x 0 得x 0或x 4 舍去 1 当a 0时 如下表 当x 0时 f x 取得最大值 f 0 3 b 3 又f 1 7a 3 f 2 16a 3 最小值f 2 16a 3 29 a 2 2 当a 0时 如下表 当x 0时 f x 取得最小值 b 29 又f 1 7a 29 f 2 16a 29 最大值f 2 16a 29 3 a 2 综上 或 满分指导 导数在函数中的综合应用题的规范解答 典例 12分 2012 江西高考 已知函数f x ax2 bx c ex在 0 1 上单调递减且满足f 0 1 f 1 0 1 求a的取值范围 2 设g x f x f x 求g x 在 0 1 上的最大值和最小值 思路点拨 1 将f x 用含a的代数式表示出来 根据已知条件转化为恒成立问题求解 2 化简g x f x f x 通过对g x 求导 然后分类讨论求最值 规范解答 1 由f 0 1 f 1 0 得c 1 a b 1 则f x ax2 a 1 x 1 ex f x ax2 a 1 x a ex 2分依题意对于任意x 0 1 有f x 0 当a 0时 因为二次函数y ax2 a 1 x a的图像开口向 上 而f 0 a 0 所以需f 1 a 1 e 0 即0 a 1 3分 当a 1时 对于任意x 0 1 有f x x2 1 ex 0 且只在x 1时f x 0 f x 符合条件 当a 0时 对于任意x 0 1 f x xex 0 且只在x 0时 f x 0 f x 符合条件 当a0 f x 不符合条件 故a的取值范围为0 a 1 5分 2 因g x 2ax 1 a ex g x 2ax 1 a ex 当a 0时 g x ex 0 g x 在x 0处取得最小值g 0 1 在x 1处取得最大值g 1 e 6分 当a 1时 对于任意x 0 1 有g x 2xex 0 g x 在x 0处取得最大值g 0 2 在x 1取得最小值g 1 0 7分 当0 a 1时 由g x 0得若即时 g x 在 0 1 上是增加的 g x 在x 0处取得最小值g 0 1 a 在x 1处取得最大值g 1 1 a e 9分若即时 g x 在处取得最大值在x 0或x 1处取得最小值 而g 0 1 a g 1 1 a e 10分 由g 0 g 1 1 a 1 a e 1 e a 1 e 0 得则当时 g 0 g 1 0 g x 在x 0处取得最小值g 0 1 a 当时 g 0 g 1 0 g x 在x 1处取得最小值g 1 1 a e 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2012 陕西高考 设函数则 a 为f x 的极大值点 b 为f x 的极小值点 c x 2为f x 的极大值点 d x 2为f x 的极小值点 解析 选d 令f x 0 即解得x 2 当0 x2时 f x 0 所以x 2为f x 的极小值点 2 2012 福建高考 已知f x x3 6x2 9x abc a b c 且f a f b f c 0 现给出如下结论 f 0 f 1 0 f 0 f 1 0 f 0 f 3 0 f 0 f 3 0 其中正确结论的序号是 a b c d 解析 选c f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 函数f x 在 1 上是增加的 在 1 3 上是减少的 在 3 上是增加的 又因为f a f b f c 0 所以f x 0有三个实数根 故f x 的极大值f 1 0 f x 的极小值f 3 0 又f 0 abc f 3 故f 0 0 故 正确 3 2013 合肥模拟 已知函数f x x2 3x 2lnx 则函数f x 的递减区间为 a b c 2 d 解析 选d 函数f x x2 3x 2lnx的定义域为 0 因为令2x 3 0 即2x2 3x 2 0 解得又x 0 所以故函数f