电路定理-精品课件

第4章电路定理 4 1叠加定理4 2替代定理4 3戴维南定理和诺顿定理4 4特勒根定理4 5互易定理4 6对偶定理 目录 4 1叠加定理 线性函数f x 可加性 齐次性 4 1叠加定理 叠加定理 对于任一线性网络 若同时受到多个独立电源的作用 则这些共同作用的电源在某条支路上所产生的电压或电流 应该等于每个独立电源各自单独作用时 在该支路上所产生的电压或电流分量的代数和 4 1叠加定理 例 试用叠加定理计算3 电阻支路的电流I 4 1叠加定理 注意 只适用于线性电路中求电压 电流 不适用于求功率 也不适用非线性电路 某个独立电源单独作用时 其余独立电源全为零值 电压源用 短路 替代 电流源用 断路 替代 受控源不可以单独作用 当每个独立源作用时均予以保留 代数和 指分量参考方向与原方向一致取正 不一致取负 4 1叠加定理 例 试用叠加定理求U和Ix 4 1叠加定理 第1步 10V电压源单独作用 受控源须跟控制量作相应改变 4 1叠加定理 第2步 3A电流源单独作用 受控源须跟控制量作相应改变 4 1叠加定理 第3步 10V电压源和3A电流源共同作用 4 1叠加定理 例 电路如图所示 已知 当3A电流源移去时 2A电流源所产生的功率为28W U3 8V 当2A电流源移去时 3A电流源产生的功率为54W U2 12V 求当两个电流源共同作用时各自产生的功率 4 1叠加定理 解 利用叠加定理和所提供的已知条件可以得知 第1步 2A电流源单独作用 4 1叠加定理 第2步 3A电流源单独作用 4 1叠加定理 第3步 两个电流源共同作用 则 4 1叠加定理 例 电路如图所示 1 N仅含线性电阻 若Is1 8A Is2 12A时 Ux 80V 若Is1 8A Is2 4A时 Us1 0V 当Is1 Is2 20A时 Ux 2 若N中含一个独立源 Is1 Is1 0A时 Ux 40V 1 中数据仍有效 求当Is1 Is2 20A时 Ux 4 1叠加定理 解 1 由题意可知Ux应该是Is1和Is2共同作用所引起的响应 故Ux可以表示为 其中 aIs1可看作为是Is1单独作用时引起的分量Ux 注 不变 而bIs2可看作是Is2单独作用引起的分量Ux 根据已知条件即可得到一个二元一次方程组 即 故当Is1 Is2 20A时 4 1叠加定理 2 由于此时N中含有一个电源 则根据叠加定理有 故 当Is1 Is2 0A时 将 1 中条件代入 得 即 故当Is1 Is2 20A时 4 1叠加定理 例 电路如图所示 已知R1 R3 R5 60 R2 R4 80 R6 10 Us5 44V Us6 70V 求I5 I6 4 1叠加定理 第1步 Us5单独作用 电桥平衡 故 4 1叠加定理 第2步 Us6单独作用 电桥平衡 故 4 1叠加定理 第3步 Us5 Us6共同作用 显见 该电路采用叠加法是一种最简便的方法 4 2替代定理 替代定理 在任意的线性或非线性网络中 若已知第k条支路的电压和电流为Uk和Ik 则不论该支路是何元件组成的 总可以用下列的任何一个元件去替代 电流值为Ik的理想电流源 电阻值为的理想电阻元件Rk 替代后电路中全部电压和电流都将保持原值不变 4 2替代定理 替代定理如图所示电路说明 4 2替代定理 4 2替代定理 4 2替代定理 例 电路如图所示 已知Us 10V Is 4A时 I1 4A I3 2 8A Us 0V Is 2A时 I1 0 5A I3 0 4A 若将图 a 中Us换以8 电阻 在图 b 中当Is 10A时 求I1 I3 4 2替代定理 解 图 a 中 根据叠加定理得 4 2替代定理 图 b 中将8 电阻用电压源 8I1 替代 如图 c 4 3戴维南定理和诺顿定理 定理 对于任一含源线性二端网络 就其两个端钮而言 都可以用一条最简单支路对外部等效 以一条实际电压源支路对外部等效 其中电压源的电压值等于该含源线性二端网络端钮处开路时的开路电压uoc 其串联电阻值等于该含源线性二端网络中所有独立源令为零时 由端钮处看进去的等效电阻Req 此即 戴维南定理 2 以一条实际电流源支路对外部进行等效 其中电流源的电流值等于该含源线性二端网络端钮处短接时的短路电流isc 其并联电阻的确定同1 此即诺顿定理 4 3戴维南定理和诺顿定理 戴维南定理如图所示电路说明 4 3戴维南定理和诺顿定理 诺顿定理如图所示电路说明 4 3戴维南定理和诺顿定理 4 3戴维南定理和诺顿定理 例 求图所示电路的戴维南等效电路 4 3戴维南定理和诺顿定理 第1步 求Uoc 当1V电压源单独作用 利用分压公式 4 3戴维南定理和诺顿定理 当1A电流源单独作用 利用分流公式 4 3戴维南定理和诺顿定理 当1V电压源和1A电流源共同作用 由叠加法得 4 3戴维南定理和诺顿定理 第2步 求Req 4 3戴维南定理和诺顿定理 第3步 戴维南等效电路为 结论 与理想电流源串联的元件对外部电路不起作用 可短接 4 3戴维南定理和诺顿定理 例 求图所示电路的戴维南等效电路 解 本题可将原电路分成左右两部分 先求出左面部分的戴维南等效电路 然后求出整个电路的戴维南等效电路 4 3戴维南定理和诺顿定理 1 求左面部分电路的戴维南等效电路 4 3戴维南定理和诺顿定理 1 求左面部分电路的戴维南等效电路 4 3戴维南定理和诺顿定理 1 左面部分电路的戴维南等效电路 4 3戴维南定理和诺顿定理 2 原电路可等效为 注意 与理想电压源并联的电阻对外部电路不起作用 可以断开 当两条相同的实际电压源支路并联时 其戴维南等效电路应准确求取 4 3戴维南定理和诺顿定理 戴维南定理证明 4 3戴维南定理和诺顿定理 戴维南定理证明 4 3戴维南定理和诺顿定理 u u u uoc Reqi 关于诺顿定理的证明可采用相似的方法进行 戴维南定理证明 4 3戴维南定理和诺顿定理 注意 u与i的方向向内部关联 求等效电阻的一般方法 外加激励法 原二端网络中独立源全为零值 4 3戴维南定理和诺顿定理 注意 uoc与isc的方向在断路与短路支路上关联 求等效电阻的一般方法 开路短路法 4 3戴维南定理和诺顿定理 求等效电阻Req时 若电路为纯电阻网络 可以用串 并联化简时 直接用串 并联化简的方法求 说明 无法用串并联化简时 则用一般方法求 当电路中含受控源时 则一定要用一般方法求其戴维南等效电阻 4 3戴维南定理和诺顿定理 例 电路如图所示 求无限扩展线性电阻网络 由任一支路看进去的等效电阻 4 3戴维南定理和诺顿定理 解 若求ab两点看进去的等效电阻Req 可用外加激励法 在a b两点间加一个1A的电流源 设法求得其端电压U 则 4 3戴维南定理和诺顿定理 采用电流源的分裂法 取无穷远为过渡点 利用叠加定理 由于无限扩展网络 当仅有一个电流源单独作用时 其电流均匀地向与a b 点相联的四条支路分配 于是流过a b间的电流为 4 3戴维南定理和诺顿定理 可见 分析过程中使用了求等效电阻的一般方法 电流源的分裂方法及叠加定理三个知识点 4 3戴维南定理和诺顿定理 利用戴维南定理分析含受控源的电路 原则 被等效电路内部与负载内部不应有任何联系 控制量为端口U或I除外 2 求Req要用一般方法 4 3戴维南定理和诺顿定理 例 电路如图所示 用戴维南定理求电压U 4 3戴维南定理和诺顿定理 第1步 求Uoc 4 3戴维南定理和诺顿定理 第2步 求Req 法一 4 3戴维南定理和诺顿定理 第2步 求Req 法二 4 3戴维南定理和诺顿定理 第3步 作戴维南等效电路求电压U 4 3戴维南定理和诺顿定理 例 电路如图所示 试求电路的等效电路 解 对较简单的含受控源的电路 若要求出它的戴维南等效电路 可以先直接写出电路端口上电压 电流的伏安关系 再由伏安关系去作等效电路 由端口伏安关系可得 4 3戴维南定理和诺顿定理 最大功率传输 一个含源线性二端网络 总可以用一条戴维南等效电路对外部等效 当此含源线性二端网络外接一个负载电阻时 其中等效电源发出的功率将由等效电阻与负载电阻共同所吸收 在电子技术中 总希望负载电阻上所获得的功率越大越好 那么 在什么条件下 负载电阻方可获得最大功率 负载电阻的最大功率值Pmax 4 3戴维南定理和诺顿定理 最大功率传输 负载电阻的功率 而 故 利用数学中求极值的方法 4 3戴维南定理和诺顿定理 最大功率传输定理 当负载电阻RL与戴维南等效电阻Req相等时 负载电阻可从含源线性二端网络获得最大功率 此时最大功率为 而戴维南等效电路中电源UOC的效率 4 3戴维南定理和诺顿定理 可见此时等效电源Uoc的效率只达50 而Uoc所产生的功率有一半白白地损耗在等效电阻Req上 这在电力系统中是决不允许的 故电力系统中通常取RL Req 负载电阻吸收的功率和电源Uoc的效率随负载电阻变化的曲线如图所示 注意 此时是指可调负载RL可获最大功率的条件为RL Req 而不是Req可调 4 4特勒根定理 图论基础 某一个具体电路之所以具有某种电性能 除了取决于组成该电路的各个元件电性能以外 还取决于这些元件的互相连接 即该电路的结构 显然 结构确定以后 单纯描述这个电路结构所服从的KCL和KVL方程时 一个元件电路就可以抽象成一个线图 4 4特勒根定理 图论基础 例 图a所示电路就可抽象成图b 4 4特勒根定理 图论基础 另外 图c所示电路也就可以抽象成图b 与图a所示电路形成的线图一样 则图a所示电路与图b所示电路为同构电路 4 4特勒根定理 图论基础 图 将电路图中的支路用线条表示 节点保留 所得到的图称为原图的图 以G表示 支路 节点分属两个集合 支路必须落在节点上 当移去节点时 与该点相联的支路全部移去 当移去支路时 节点予以保留 4 4特勒根定理 图论基础 有向图 在图G中 标出原电路图中各支路电压 电流关联参考方向的图 4 4特勒根定理 图论基础 子图 若图G1的每个节点和每条支路也是图G的节点和支路 则称图G1为图G的一个子图 如图a 图b均为原图G的子图 4 4特勒根定理 图论基础 连通图 当图G中任意两个节点之间至少存在一条由支路所构成的路径时 称为连通图 反之称为非连通图 4 4特勒根定理 图论基础 关联矩阵 反映支路与节点的关联关系 如下图的有向图 假设流出节点的电流为正 流入的为负 则根据这个图 就可以列出KCL方程 4 4特勒根定理 若以矩阵形式来表达上述方程时 则有 Aai 0 KCL的矩阵形式 Aa 关联矩阵 4 4特勒根定理 Aai 0 Aa 关联矩阵 i 支路电流列向量 从矩阵Aa可见 其每一列元素只有两个非零元素 1 1 其余均为0 显然 根据独立节点道理 上述方程中有一个节点不独立 4 4特勒根定理 可见 矩阵A的某些列将只有一个 1 或一个 1 每一个这样的列一定对应于与划去节点相关联的一条支路 而且依据该列中非零元素的正负号就可以判断该支路的方向 若选节点3为参考节点 则有 Ai 0 A 降阶关联矩阵 4 4特勒根定理 同理 根据有向图也可以列出支路电压与节点电压之间的关系 仍以节点3作为参考节点 且令un3 0 则各支路电压与节点电压之间的关系为 4 4特勒根定理 若以矩阵形式来表达上述方程时 则有 ub ATun KVL的矩阵形式 4 4特勒根定理 特勒根定理 定理1 功率守恒定理 对于网络N共有n个节点 b条支路 所对应的支路电压 支路电流向量分别为u u1 u2 ub T i i1 i2 ib T 且各支路电流 电压的参考方向关联 则 uTi 0或iTu 0 即 4 4特勒根定理 特勒根定理 定理1证明 已知支路电压与节点电压之间的关系为 u ATun 则 同理可证 4 4特勒根定理 特勒根定理 定理2 似功率守恒定理 对于网络N和 可以由不同的元件构成 但它们具有相同的结构 即 其中各网络的支路电 支路电流向量分别为 且ik与uk 与的参考方向关联 则 4 4特勒根定理 特勒根定理 定理2证明 同理可证 4 4特勒根定理 例 已知图中N0为线性电阻无源网络 由图a中测得us1 20V i1 10A i2 2A 当图b中 4A时 试用特勒根定理求 解 4 4特勒根定理 4 4特勒根定理 由该例可见 若网络N为线性电阻无源网络时 仅需对其端口的两条外支路直接使用特勒根定理即可 在使用定理的过程中 一定要注意对应支路的电压 电流的参考方向要关联 4 5互易定理 互易定理适用的条件 线性电阻网络 互易定理 仅有一个独立源作用 对于单一激励的不含受控源的线性电阻电路 存在三种互易性质 4 5互易定理 互易定理 定理1 在图a与图b所示电路中 N0为仅由电阻组成的线性电阻电路 有 互易定理1表明 对于不含受控源的单一激励的线性电阻电路 互易激励 电压源 与响应 电流 的位置 其响应与激励的比值仍然保持不变 当激励us1 us2时 i2 i1 4 5互易定理 定理1证明 将图a 图b中各电路变量标出 如图c 图d所示 使用特勒根定理2 有 当us1 us2时 i2 i1 4 5互易定理 互易定理 定理2 在图a与图b所示电路中 N0为仅由电阻组成的线性电阻电路 有 互易定理2表明 对于不含受控源的单一激励的线性电阻电路 互易激励 电流源 与响应 电压 的位置 其响应与激励的比值仍然保持不变 当激励is1 is2时