高考数学 第二章 第九节 函数模型及其应用课件 理 新人教A版.ppt

第九节函数模型及其应用 1 三种函数模型之间增长速度的比较 单调递增 单调递增 单调递增 logax xn ax 2 常见的几种函数模型 1 直线模型 y 型 图象增长特点是直线式上升 x的系数k 0 通过图象可以直观地认识它 特例是正比例函数模型y 2 反比例函数模型 y 型 图象增长特点是y随x的增大而减小 kx b k 0 kx k 0 3 指数函数模型 y a bx c b 0 b 1 a 0 型 图象增长特点是随着自变量的增大 函数值增大的速度越来越快 底数b 1 a 0 常形象地称为指数爆炸 4 对数函数模型 y mlogax n a 0 a 1 m 0 型 图象增长特点是随着自变量的增大 函数值增大的速度越来越慢 底数a 1 m 0 5 幂函数模型 y a xn b a 0 型 其中最常见的是二次函数模型 a 0 图象增长特点是随着自变量的增大 函数值先减小 后增大 a 0 y ax2 bx c 6 分段函数模型 图象特点是每一段自变量变化所遵循的规律不同 可以先将其当作几个问题 将各段的变化规律分别找出来 再将其合到一起 要注意各段自变量的取值范围 特别是端点 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 函数y 2x的函数值比y x2的函数值大 2 指数爆炸 是指数型函数y a bx c a 0 b 0 b 1 增长速度越来越快的形象比喻 3 幂函数增长比直线增长更快 4 不存在x0 使 解析 1 错误 当x 2 4 时 x2 2x 2 错误 增长越来越快的指数型函数是y a bx c a 0 b 1 3 错误 幂函数y xn 0 n 1 x 1 的增长速度比直线y x x 1 的增长速度慢 4 错误 当0 a 1时 存在x0 有答案 1 2 3 4 1 某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44 若每年的平均增长率相同 设为x 则以下结论正确的是 a x 22 b x 22 c x 22 d x的大小由第一年的产量确定 解析 选b 设第一年的产量为a 则a 1 x 2 a 1 44 1 x 2 1 44 解得x 20 2 一根蜡烛长20cm 点燃后每小时燃烧5cm 燃烧时剩下的高度h cm 与燃烧时间t h 的函数关系用图象表示为图中的 解析 选b 由题意知h 20 5t 0 t 4 故选b 3 拟定甲地到乙地通话m分钟的电话费f m 0 5 m 1 单位 元 其中m 0 m 表示不大于m的最大整数 如 3 62 3 4 4 当m 0 5 3 2 时 函数f m 的值域是 a 1 2 3 4 b 1 1 5 2 2 5 c 1 1 5 2 5 3 d 1 5 2 2 5 解析 选b 当m 0 5 3 2 时 m 所有可能值为0 1 2 3共4个 故f m 的值域为 1 1 5 2 2 5 4 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本 某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为 万元 一万件售价是20万元 为获取更大利润 该企业一个月应生产该商品数量为 a 35万件 b 18万件 c 22万件 d 9万件 解析 选b 利润当x 18时 l x 有最大值 考向1一次函数与二次函数模型 典例1 西部山区的某种特产由于运输原因 长期只能在当地销售 当地政府对该项特产的销售投资收益为 每年投入x万元 可获得利润 万元 当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售 其规划方案为 在规划前后对该项目每年都投入60万元的销售投资 在未来10年的前5年中 每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路 5年修成 通车前该特产只能在当地销售 公路通车后的5年中 该特产既在本地销售 也在外地销售 在外地销售的投资收益为 每年投入x万元 可获利润 万元 问从10年的总利润看 该规划方案是否具有实施价值 思路点拨 计算实施规划前后10年的总利润 通过比较总利润的大小 判断规划方案是否具有实施价值 规范解答 在实施规划前 由题设 万元 知 每年只需投入40万 即可获得最大利润100万元 则10年的总利润为w1 100 10 1000 万元 实施规划后的前5年中 修建公路的费用为30 5 150 万元 又由题设知 每年投入30万元时 利润 万元 前5年的利润和为 万元 设在公路通车后的5年中 每年用x万元投资于本地的销售 而用剩下的 60 x 万元投资于外地的销售 则其总利润为 5 x 30 2 4950 当x 30时 w2 max 4950 万元 从而10年的总利润为故该方案有极大实施价值 拓展提升 求解一次函数与二次函数模型问题的关注点 1 二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决 但一定要密切注意函数的定义域 否则极易出错 2 确定一次函数模型时 一般是借助两个点来确定 常用待定系数法 3 解决函数应用问题时 最后要还原到实际问题 变式训练 某企业生产a b两种产品 根据市场调查与预测 a产品的利润与投资成正比 其关系如图1 b产品的利润与投资的算术平方根成正比 其关系如图2 注 利润和投资单位 万元 1 分别将a b两种产品的利润表示为投资的函数关系式 2 已知该企业已筹集到18万元资金 并将全部投入a b两种产品的生产 若平均投入生产两种产品 可获得多少利润 问 如果你是厂长 怎样分配这18万元投资 才能使该企业获得最大利润 其最大利润约为多少万元 解析 1 设a b两种产品分别投资x万元 x万元 x 0 所获利润分别为f x 万元 g x 万元 由题意可设根据图象可解得f x 0 25x x 0 2 由 1 得 总利润y 8 25万元 设b产品投入x万元 a产品投入 18 x 万元 该企业可获总利润为y万元 则令则 当t 4时 此时x 16 18 x 2 当a b两种产品分别投入2万元 16万元时 可使该企业获得最大利润 约为8 5万元 考向2指数函数模型 典例2 一片森林原来面积为a 计划每年砍伐一些树 且每年砍伐面积的百分比相等 当砍伐到面积的一半时 所用时间是10年 为保护生态环境 森林面积至少要保留原面积的 已知到今年为止 森林剩余面积为原来的 1 求每年砍伐面积的百分比 2 到今年为止 该森林已砍伐了多少年 3 今后最多还能砍伐多少年 思路点拨 1 根据10年的砍伐面积为原来的一半 列方程求解 2 根据到今年为止 森林剩余面积为原来的列方程求解 3 求出第n年后森林剩余面积 根据森林面积至少要保留原面积的列不等式求解 规范解答 1 设每年砍伐面积的百分比为x 0 x 1 则解得 2 设经过m年剩余面积为原来的则解得m 5 故到今年为止 已砍伐了5年 3 设从今年开始 以后砍了n年 则n年后剩余面积为令解得n 15 故今后最多还能砍伐15年 拓展提升 应用指数函数模型应注意的问题 1 指数函数模型 常与增长率相结合进行考查 在实际问题中有人口增长 银行利率 细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决 2 应用指数函数模型时 关键是对模型的判断 先设定模型 再将已知有关数据代入验证 确定参数 从而确定函数模型 3 y a 1 x n通常利用指数运算与对数函数的性质求解 提醒 解指数不等式时 一定要化为同底 且注意对应函数的单调性 变式训练 现有某种细胞100个 其中有占总数的细胞每小时分裂一次 即由1个细胞分裂成2个细胞 按这种规律发展下去 至少经过多少小时 细胞总数可以超过1010个 参考数据 lg3 0 477 lg2 0 301 解析 现有细胞100个 先考虑经过1 2 3 4个小时后的细胞总数 1小时后 细胞总数为2小时后 细胞总数为3小时后 细胞总数为 4小时后 细胞总数为可见 细胞总数y与时间x 小时 之间的函数关系为 由两边取以10为底的对数 得 x 45 45 答 至少经过46小时 细胞总数超过1010个 考向3分段函数模型 典例3 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 在一般情况下 大桥上的车流速度v 单位 千米 小时 是车流密度x 单位 辆 千米 的函数 当桥上的车流密度达到200辆 千米时 造成堵塞 此时车流速度为0千米 小时 当车流密度不超过20辆 千米时 车流速度为60千米 小时 研究表明 当20 x 200时 车流速度v是车流密度x的一次函数 1 当0 x 200时 求函数v x 的表达式 2 当车流密度x为多大时 车流量 单位时间内通过桥上某观测点的车辆数 单位 辆 小时 f x x v x 可以达到最大 并求出最大值 精确到1辆 小时 思路点拨 1 当20 x 200时 利用待定系数法求v x 的表达式 进而确定当0 x 200时 分段函数v x 2 根据 1 求出f x 再根据函数的单调性与基本不等式求最值 规范解答 1 由题意 当0 x 20时 v x 60 当20 x 200时 设v x ax b 由已知得故函数v x 的表达式为 2 依题意并由 1 可得当0 x 20时 f x 为增函数 故当x 20时 其最大值为60 20 1200 当20 x 200时 当且仅当x 200 x 即x 100时 等号成立 所以当x 100时 f x 在区间 20 200 上取得最大值 综上 当x 100时 f x 在区间 0 200 上取得最大值即当车流密度为100辆 千米时 车流量可以达到最大 最大值约为3333辆 小时 拓展提升 应用分段函数模型的关注点 1 实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出 而是由几个不同的关系式构成 如出租车票价与路程之间的关系 应构建分段函数模型求解 2 构造分段函数时 要力求准确 简洁 做到分段合理 不重不漏 3 分段函数的最值是各段的最大 或最小 者的最大者 最小者 变式训练 据气象中心观察和预测 发生于m地的沙尘暴一直向正南方向移动 其移动速度v km h 与时间t h 的函数图象如图所示 过线段oc上一点t t 0 作横轴的垂线l 梯形oabc在直线l左侧部分的面积即为t h 内沙尘暴所经过的路程s km 1 当t 4时 求s的值 2 将s随t变化的规律用数学关系式表示出来 3 若n城位于m地正南方向 且距m地650km 试判断这场沙尘暴是否会侵袭到n城 如果会 在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到n城 如果不会 请说明理由 解析 1 由图象可知 当t 4时 v 3 4 12 2 当0 t 10时 当10 t 20时 当20 t 35时 t 20 2 t 20 t2 70t 550 综上 可知 3 沙尘暴会侵袭到n城 t 0 10 时 t 10 20 时 smax 30 20 150 450 650 当t 20 35 时 令 t2 70t 550 650 解得t1 30 t2 40 20 t 35 t 30 沙尘暴发生30h后将侵袭到n城 满分指导 函数建模在实际问题中的应用 典例 12分 2012 江苏高考 如图 建立平面直角坐标系xoy x轴在地平面上 y轴垂直于地平面 单位长度为1千米 某炮位于坐标原点 已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上 其中k与发射方向有关 炮的射程是指炮弹落地点的横坐标 1 求炮的最大射程 2 设在第一象限有一飞行物 忽略其大小 其飞行高度为3 2千米 试问它的横坐标a不超过多少时 炮弹可以击中它 请说明理由 思路点拨 规范解答 1 令y 0 得 由实际意义和题设条件知x 0 k 0 2分故当且仅当k 1时取等号 所以炮的最大射程为10千米 5分 2 因为a 0 所以 炮弹可击中目标 存在k 0 使成立 8分即关于k的方程a2k2 20ak a2 64 0有正根 10分 判别式 20a 2 4a2 a2 64 0 解得a 6 所以当a不超过6千米时 可击中目标 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 江门模拟 小孟进了一批水果 如果他以每千克1 2元的价格出售 那他就会赔4元 如果他以每千克1 5元的价格出售 一共可赚8元 现在小孟想将这批水果尽快出手 以不赔不赚的价格卖出 那么每千克水果应定价为 a 1 2元 b 1 3元 c 1 4元 d 1 45元 解析 选b 设水果的成本价为x元 千克 共有a千克 由题意知解得x 1 3 则每千克水果应定价1 3元 故选b 2 2013 阳江模拟 某市原来居民用电价格为0 52元 kw h 换装分时电表后 峰时段 早上八点到晚上九点 的电价0 55元 kw h 谷时段 晚上九点到次日早上八点 的电价为0 35元 kw h 对于一个平均每月用电量为200kw h的家庭 换装分时电表后 每月节省的电费不少于原来电费的10 则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为 a 110kw h b 114kw h c 118kw h d 120kw h 解析 选c 设在峰时段的平均用电量为xkw h 由题意知 0 52 200 0 55x 0 35 200 x 0 52 200 10 解得x 118 故选c 3 2013 惠州模拟 在一次数学实验中 运用计算器采集到如下一组数据 则y关于x的函数关系与下列最接近的函数 其中a b c为待定系数 是 a y a bx b y a bx c y ax2 b d 解析 选b 由x 0时 y 1 排除d 由f 1 0 f 1 0 排除c 由函数值增长速度不同 排除a 故选