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江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）第1 章 静力学公理和物体的受力分析1.1 静力学公理定义：（1）作用于物体上的一群力称为力系。（2）如物体在某一力系作用下处于平衡，则此力系称平衡力系。（3）作用于物体上的某一力系可以用另一力系来代替而不致改变物体的原有状态，则称这四个力系等效。（4）如一力与某力系等效，则此力称为该力系的合力。静力学公理，是人们从长期的实践与经验中总结出来的而为人们所公认的客观真理。这些公理说明了作用于物体上力的基本性质。它们是研究力系简化与力系平衡条件的理论基础。公理：（1）二力平衡公理 作用于刚体上的二力平衡的必要和充分条件是，此二力大小相等、方向相反，旦沿同一直线(简称等值、反向、共线)，如图12。 图1-2这是最简单的力系的平衡条件。必须指出，对于变形体来说，上述二力平衡条件只是必要条件而非充分条件。如图13，为软绳受两个等值反向共线的拉力可以平衡，但如受两个等值反向共线的压力，就不能平衡了。只在两个力作用下处于平衡状态的构件，称为二力构件 (或二力杆)。这种构件在工程上经常遇到。二力构件所受力的特点是：两个力必沿作用点的连线。如图14和图l一5。当它们只在两点受力且不计自重时，就是二力构件。（2） 加减平衡力系公理 在作用于刚体的任意力系上，加上或取去任一平衡力系，第1页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）并不改变原力系对刚体的作用效应。（3） 力的平行四边形公理 作用于物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点仍在该点，合力的大小和方向是以这两个力为边所做的平行四边形的对角线来表示。（4） 作用与反作用公理 两物体间相互作用的力，总是大小相等、方向相反、沿同一直线，分别作用在两个互相作用的物体上。图1-3图1-4图1-51.2 约束和约束力1基本概念：自由体：可以在空间不受限制地任意运动的物体。例子！非自由体：运动受到了预先给定条件的限制的物体。例子！约束：事先对物体的运动所加的限制条件。约束力：约束对被约束物体的作用力，它是一种被动力。（主动力：使物体运动或有运动趋势的力。）约束力三要素：作用点：在相互接触处第 2页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）方向：与约束所能阻止的物体的运动方向相反。大小：不能事先知道，由主动力确定。2常见约束柔性约束： 概念：像由链条、绳索等柔软的、不可伸长的、不计重量的柔性连接物体构成的约束。限制的运动：限制物体沿着柔性伸长的方向运动。约束力方向：沿着绳索，背离物体，是拉力。其它例子：光滑接触面约束概念：两物体直接接触，不计接触处磨擦而构成的约束。限制的运动：限制了物体沿过接触点的公法线而趋向接触面方向的运动。约束力方向：沿过接触点的公法线而指向物体是压力。更多的例子： 第 3 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）光滑铰链约束 活动铰支座 固定铰支座概念：两个构件钻有同样大小的圆孔，并用与圆孔直径相同的光滑销钉连接而构成的约束。限制的运动：限制物体沿圆柱销的任意径向剀，而不能限制绕圆柱销轴线的转动和平行圆柱销轴线方向的移动。约束力分析图第 4 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等） 约束力三要素： 作用点：接触点，但此点不能事先确定。 方向：沿过接触点的公法线方向，垂直于轴线，是压力。但实际上由于接触点不能事先确定，因而约束力的方向也不能预先确定，通常用两个正交未知分力表示。大小：由主动力确定。方向：过轴心，垂直于轴，方向不变，通常用正交合力表示。辊轴支座概念：铰支座用几个辊轴支承在光滑的支承上，它是光滑接触面约束和光滑铰链约束的复合。限制的运动：限制了沿支承面法线方向的运动。约束力： 约束力方向：垂直于支承面，指向求知。第 5 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）1.3 物体的受力分析和受力图1. 解题步骤：1、解除约束原理：当受约束的物体在某些主动力的作用下处于平衡，若将其部分或全部的约束除去，代之以相应的约束力，则物体的平衡不受影响。2、画受力图步骤如下：1、根据题意，恰当的选取研究对象，划出研究对象的分离体图；2、在分离体图上，画出它所受的主动力，如重力、风力、已知力等。并标注上各主动力的名称；3、根据约束的类型，画出分离体所受的约束反力，并标注上各约束反力的名称；4、为了计算方便，在受力图上标上有关的尺寸、角度和坐标，并写上各力作用点的名称。画受力图不仅在静力学，而且在动力学中都是进行力学计算的重要步骤。错误的受力图必将导致错误的结果，只有正确的受力图才能得出正确的解答。因此必须正确熟练的掌握受力图的画法。2. 例题分析 图1-6第 6页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）第2 章 平面汇交力系与平面力偶系2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法汇交力系：是指各力的作用线汇交于同一点的力系。若汇交力系中各力的作用线位于同一平面内时，称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。1. 多边形法则先讨论3个汇交力系的合成。设汇交力系，汇交于O（图1），由静力学公理3：力的平行四边形法则（力的三角形）可作图2，说明如图和图所示，其中讨论：1）图2中的中间过程可不必求，去掉的图称为力多边形，由力多边形求合力大小和方向的方法称为合力多边形法则。2）力多边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折线链，合力矢是封闭边，合力矢的方向是从第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。3）上述求合力矢的方法可推广到几个汇交力系的情况。结论：汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过汇交点，合力的大小和方向即：用力多边形法则求合力的大小和方向的方法称为合成的几何法。第7页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）2. 平面汇交力系平衡条件 3. 几何法解题步骤a) 选取研究对象；b) 画受力图c) 作力的多边形；d) 求解未知量。 4. 例题分析例1 已知：简支梁AB，在中点作用力，方向如图，求反力解：1。取研究对象AB梁2受力分析如图3作自行封闭的力三角形如图 4求解 第 8 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）2.2 平面汇交力系的合成与平衡的解析法1. 解析法结论：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上的投影的代数和，这称为合力投影定理。2. 平衡方程由几何法知。汇交力系平衡 由式（*）知平面汇交力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系中各力在直角坐标系中每一轴上的投影的代数和都等于零。上式称为平面汇交力系的平衡方程，两个方程求两个未知量。3. 例题分析第 9 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）2.3 平面力对点之矩的概念及计算平面中力矩的概念（一）、力对点的矩的定义力使刚体绕O点转动的强弱程度的物理量称为力对O点的矩。用MO(F)表示，其定义式为MO(F)=Fd其中：点O称为矩心，d称为力臂。力矩的正负号表示力矩的转向，规定力使物体绕矩心逆时针转动取正，反之取负。力矩的单位为：牛顿米（N m）。由图可知：MO(F)=ABC的面积（二）、平面汇交力系的合力矩定理定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点的矩等于各个分力对同一点之矩的代数和。即第10页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）利用合力矩定理，可以写出力对坐标原点的矩的解析表达式，即例1支架如图所示，已知AB=AC=30cm,CD=15cm,F=100N, 。求 对A、B、C三点之矩。第 11 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）2.4 平面力偶1. 力偶与力偶矩力偶的两个要素：力偶矩的大小；力偶作用面的转向。2. 等效定理力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本的力学量。力偶既然是一个无合力的非平衡力系。因此：力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡。力偶只能与力偶平衡。力偶对刚体的作用效果不仅与力偶中两力的大小有关，而且与力偶臂有关，将力偶中力的大小和力偶臂的乘积冠以适当的正负号称为力偶矩，用m表示，即正负号表示力偶的转向。规定逆时针取正；顺时针取负。单位同力矩的单位。只要保持力偶矩不变，力偶可以改变力的大小和相应的力偶臂的大小，同时力偶可在其作用面内任意移转，而不改变其对刚体的作用。此性质是力偶系合成的基础。 由此可见，两力偶的等效条件是力偶矩相等。力偶在作用面内任一轴上的投影均为零。力偶对其作用面内任一点之矩与矩心的位置无关，恒等于力偶矩。两力偶等效的条件！3. 力偶系的合成与平衡条件逆时针方向取正，顺时针方向取负。4. 例题分析第 12 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）第3 章 平面任意力系3.1 平面任意力系向作用面内一点简化各力的作用线分布在同一平面内的任意力系称为平面任意力系，简称平面力系。平面力系的研究不仅在理论上而且在工程实际应用上都具有重要意义。首先，平面力系是工程中常见的一种力系。另外许多工程结构和构件受力作用时，虽然力的作用线不都在同一平面内，但其作用力系往往具有一对称平面，可将其简化为作用在对称平面内的力系。下面介绍的方法是力系向一点简化的方法。这种方法不但简便，易于分析简化结果，而且可以扩展到空间力系中去，力的平移定理是力系向一点简化的理论基础。1. 力的平移定理定理：可以把作用在刚体上点O的力平移到任一点O，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的力偶矩等于原力对新作用点O的力矩.证明：设一个力作用于刚体上的O点，如图（1）所示在刚体上任取一点O，此点到力作用线的距离为d，在O点加上大小相等、方向相反而且与力平行的两力，并使，根据加减平衡力系公理，显然力系。但在力系中力与构成了力偶，于是原作用在O点的力，被一个作用在O点的力和一个力偶所代替。而且的大小和方向与原力相同，因此可以把作用于O的力平移到O点，但必须同时附加一个力偶。因此力 对O点的力矩。第 13 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等） （3） (2) (1)所以附加力偶的力偶矩，又注意到O点的任意性，于是定理得证。2. 主矢与主矩设在刚体上作用一平面力系，各力的作用点如图所示。称简化中心主矢 主矩第14 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）3. 力系的简化结果1）简化结果（1）平面力系平衡（2）平面力系简化为一合力偶，力偶矩的大小和转向由主矩决定，与简化中心无关。（3）平面力系简化为一合力，此合力过简化中心，大小和方向由主矢确定。（4）平面力系简化为一合力，合力的作用线在点的哪一侧，应使得对之矩与主矩的转向相同。图中2）合力矩定理 即平面力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点矩的代数和，称为平面力系的合力矩定理。3）合力作用线方程由平面内力对点之矩的解析表达式可知其中是合力作用线上任一点。第15页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）例4.1 求如图，所示的作用在梁上的分布载荷的合力的大小和作用线位置。1） 梁上作用一均布载荷，载荷集度为2） 梁上作用一线形分布载荷，左端的载荷集度为零，右端的载荷集度为解：1）“均布载荷”的合力可当作均质杆的重力处理，所以合力的大小为，作用在梁的中心，如图第 16 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）3） 当载荷不均匀分布时，可以通过积分来 计算合力的大小和作用线位置。在梁上离端处取微元，由于载荷线性分布，在处的集度，于是在上作用力的大小为：合力的大小为利用合力矩定理计算合力作用线的位置。设合力的作用线离端的距离为，有 例2 已知：矩形板的四个顶点上分别作用四个力及一个力偶如图所示。其中,力偶矩，转向如图所示，图中长度单位为。试分别求:1)力系向点简化结果2)力系向点简化结果3)力系简化的最后结果解：1 计算力系的主矢：所以 向点简化的主矩第 17 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）3.2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程1） 基本形式： 平面力系是平面汇交力系和平面力偶系的组合，因而平面力系平衡的必要条件是 ， 解析式为：即平面力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系中各力在作用面内两个直角坐标轴上投影的代数和等于零，力系中各力对于平面内任意点之矩的代数和也等于零。2）二力矩式 且轴不垂直于、两点连线。证明：必要性，若平面力系平衡，则，易知成立。充分性：反证法，假定成立，而力系不平衡，则由前两式知力系不能简化为合力偶，所以必为一合力，且此合力必过，两点，由知此合力必垂直于轴，与已知矛盾，所以(4.11)成立，必有力系平衡。3）三力矩式 且、不共线例：平面平行力系的平衡方程。基本形式： 第 17 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）二力矩式：2、应用例1：图所示结构中，三处均为铰链约束。横杆在处承受集中载荷，结构各部分尺寸均示于图中，若已知和，试求撑杆的受力以及处的约束力。解：研究对象： 杆1 受力分析：易知是二力杆，所以点受力如图2 列平衡方程求解：3 研究对象： 杆4 受力分析：易知是二力杆，所以点受力如图5.列平衡方程求解：（1） 基本方程： 可得第 19 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）（2） 三力矩式： 可得3.3 物体系的平衡1. 静定与静不定问题的定义2. 例题分析3.4 平面简单桁架的内力计算桁架与节点的定义。1. 节点法2. 截面法作截面时，每次最好只截断三根内力未知的杆件，最好只有一根内力未知的杆件。3. 例题分析第20页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）第4 章 空间力系4.1 空间汇交力系空间汇交力系：是指各力的作用线汇交于同一点的力系，且汇交力系中各力的作用线不位于同一平面内的力系。1、 力在坐标轴上的投影 二次投影法：计算力在轴和轴上的投影时，先将力投影上平面上得（力在平面上的投影规定为矢量），然后再将投影到轴和轴上。此方法特为为的二次投影法。力矢与各投影有以下关系： 2、空间汇交力系的合成若某汇交力系由几个力组成，则合力第 21页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）于是 结论：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上的投影的代数和，这称为合力投影定理。合力的大小： *合力的方向： 3、空间汇交力系的平衡由几何法知。汇交力系平衡 由式（*）知汇交力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系中各力在直角坐标系中每一轴上的投影的代数和都等于零。上式称为空间汇交力系的平衡方程，三个方程求三个未知量。4.2 力对点之矩和力对轴之矩1. 点之矩已知矢径，力，则点之矩。第 22 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）1）概念实例：力对矩心O的力矩取决于下列三要素 力对矩心O所决定平面的方位，由法线表示，该平面称为力矩作用平面。力矩作用平面内，力绕矩心O的转向。 力矩的大小，力矩矢方位：沿过O点力矩作用面的法线，表示力矩作用的方位。模：等于力矩大小指向：用右手法则，表示力矩转向 （3.1）力矩矢是定们矢量。（此式不是力矩的大小，应解释清楚为什么能用表示力矩矢。2）解析式若第 23 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）则 （3.2）于是在、轴上的投影为 （3.3）2. 轴之矩实例: 门绕门轴转动设作用在刚体上的力的作用点为A，将力分解为两个力，其中，另一分力在过A且垂直于轴的平面内。由经验知：分力不会使刚体绕轴转动，正如作用在门上的重力不会使它绕铅垂的门轴转动一样，力对刚体绕轴的转动完全决定于分力对O点之矩，于是力对轴之矩为力在垂直于该轴的平面上的分力对于该轴与平面交点之矩 （3.6）正负号由右手螺旋法则确定第24 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等） 3. 点矩与轴矩的关系例1 ：如图所示，力通过点A(3,4,0)和点B(0,0,5),设，图中尺寸单位为m。 求：(1)力对直角坐标轴x,y,z之矩；(2)力对图中轴OC之矩，点C坐标为(3,0,5)。第 25 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）4.3 空间力偶1用矢量表示力偶矩空间力偶对刚体的作用效果决定于以下三个要素：（1）力偶矩的大小（2）力偶的转向（3）力偶作用面的方位空间力偶的三要素可用一个矢量表示：矢量的长短按选定的比例尺表示力偶矩的大小，矢量的指向与力偶转向间的关系按右手法则确定，矢量作用线的方位与力偶作用面的法线方位相同。包含空间力偶三要素的矢量成为力偶矩矢。由力偶的性质可知，力偶可在作用面内任意移转，并可移至作用面的平行平面中，即力偶矩矢不仅可以沿作用线滑动，而且可以平行移动，这说明力偶对刚体的作用与力偶矩矢的作用点无关。所以力偶矩矢是自由矢量。实例：攻螺丝2空间力偶等效条件根据平面力偶的性质，可得出空间力偶的等效条件是：力偶矩的大小相等，转向相同，作用面平行的两力偶等效，对于空间力偶的三要素，可以用一个矢量，一力偶矩矢表示。 方位：垂直于力偶作用面， 模：等于力偶的矩大小 指向：用右手法则表示第26 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等） 力偶矩矢是自由矢量。结论：力偶对刚体的作用用力偶矩矢表示；力偶矩矢相等的两力偶等效。3、空间力偶系的简化与平衡（1）简化： 空间力偶系： 2平衡： 空间力偶系平衡的必要与充分条件是： 解析表达式4.4 空间任意力系向一点的简化1. 简化结果第 27 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）刚体上作用空间力系，将力系中各力向任选的简化中心O简化。 主矢：，与O点选择无关。 （1）主矩：，与O点的选择有关。 （2）主矢和主矩的解析表达式 （3）， （4），结论：空间力系向任一点简化，一般可得到一力和一力偶，该力通过简化中心，其大小和方向等于力系的主矢，该力偶的力偶矩矢等于力系对简化中心的主矩2. 结果类型（1）主矢0，主矩不为0；（2）主矢不0，主矩0；（3）主矢不0，主矩不0；（4）主矢0，主矩0。第28 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）4.5 空间任意力系的平衡方程或者4.6 重心1. 平行力系的中心2. 重心3. 重心的确定（1）简单图形重心的确定（参见表4-2）（2）组合图形重心的确定分割法和负面积法（3）不规则图形重心的确定重物悬挂法第29页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）第5 章 摩擦5.1 滑动摩擦一滑动摩擦1概念：两个相互接触的物体，当接触面之见有相对滑动或相对滑动趋势时，彼此阻碍滑动的机械作用。2滑动摩擦力的性质和库仑摩擦定律演示质量为的物体静止地置于水平面上，设两者接触面都是非光滑面。现在物块上施加水平力并令其自零开始增加。.静滑动摩擦力的方向与物体相对运动趋势方向相反，大小在零与最大静摩擦力之间，即(4-1)一般静摩擦力又平衡条件确定，最大静摩擦力 称为库仑静摩擦定律，即静滑动摩擦定律，其中是静摩擦系数。.动滑动摩擦力的方向与相对滑动方向相反，大小称为库仑动摩擦定律，即动滑动摩擦定律，f是动摩擦系数。1. 静滑动摩擦2. 动滑动摩擦第 30页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）5.2 摩擦角和自锁现象1、摩擦角考察图中所示的物体受力，称为全反力，全反力与法向约束力的夹角用来表示。在保持物块静止的前提下，、随的增大而增大，当时，达到最大值，其作用点由移至，这时角度称为摩擦角。一般情形下该式表示全约束反力在二维空间的作用范围，(4-2)和(4-4)分别为静滑动摩擦力有最大限定值这一概念的解析与几何表达式，因而二者等价。当时，有故(4-5)第31页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）它表明，摩擦角的正切等于静摩擦系数。在图5.3中，若将作用线过点的力连续改变它在水平面内的方向，则全约束反力的方向也随之改变。假定两物体接触面沿任意方向的静摩擦系数均相同，这样，在两物体处于领结平衡状态时，全约束力的作用线将再空间形成一个顶角为的正圆锥面，称之为摩擦锥。摩擦锥是全约束力在三维空间内的作用范围。2、自锁如果作用在物体上的全部主动力的合力的作用线在摩擦锥之内，则无论这个力怎么大，物体总能保持平衡，这种现象称为摩擦自锁。反之，如果全部主动力的合力的作用线在摩擦锥外，无论这个力怎么小，物体一定不能平衡。演示：重为 的物体放在斜面上，当斜面倾角逐渐增大，物体与斜面的摩擦角为，物体的运动状态从图中可以看出， 物体保持平衡 物体发生运动 物体处于平衡与运动的临界状态第 32 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）由此可知：物体在有摩擦的斜面上的自锁条件是5.3 考虑摩擦时物体的平衡问题例1、的物体与倾角为的斜面间的静滑动摩擦系数，求当水平力时，摩擦力的大小，方向。解：取研究对象：物块受力分析：假定物体处于静止状态且有沿斜面向上的运动趋势，所以摩擦力方向如图，其它受力如图。当然也可以假定物体有沿斜面向下运动趋势，于是摩擦力方向与图示相反。列方程求解： 检验： 所以物体处于静止状态 第 33 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）5.4 滚动摩阻的概念1、滚动摩阻力偶：滚动摩阻是指一物体沿另一物体表面作相对滚动或有滚动趋势时，接触面间产生的一种阻碍滚动的机械运动。从实例分析，水平面有滚子处于平衡状态，滚子无运动趋势，接触面间无摩擦力。在滚子中心加一较小的力，滚子仍平衡。说明存在摩擦力，由：知力与形成一对力偶，使滚子滚动。由于滚子静止，所以接触面间产生一个阻碍滚子滚动的力偶，该力偶称为滚动摩阻力偶，简称滚阻力偶，它的转向与滚子滚动的趋势相反。2、滚动摩阻力偶的成因：滚子和路面有接触变形受到较小的水平拉力，约束力分布不均匀。将此分布力系向点简化，得到主矢和主矩，此即是滚动摩阻力偶，可分解为和，将和合成为点的一个力，偏离一段微小距离，第 34 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）当增大，增大，滚子处于临界状态时，滚子达到最大偏离量，这时滚动摩阻力偶也达到最大，可表示为，称为滚动摩阻系数一般情况下，3、 动摩擦力在滚动运动中的作用上述分析表明，物体滚动前后，除存在外，还存在，力阻碍轮与接触面在接触处的相互滑动，但不阻碍滑动，相反还是轮产生滚动的条件。如图5.13所示，只有足够大的与拉力形成足够大的主动力偶才能克服滚动摩阻力偶，使滚子滚动。下面说明为什么滚动比滑动省力。使重为的物块滑动所需拉力为 使重为的滚子滚动所需的拉力为一般情况下： 故有，上面两式说明，滚子在较小的主动力作用下产生滚动，其滑动摩擦力远远小于最大静摩擦力。第 35 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）运动学运动学引言运动学是研究物体运动的几何性质的科学。也就是从几何学方面来研究物体的机械运动。运动学的内容包括：运动方程、轨迹、速度和加速度。学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。 由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的物体称为参考体，固结于参考体上的坐标系称为参考坐标系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。时间概念要明确：瞬时和时间间隔。运动学所研究的力学模型为：点和刚体。第6 章 点的运动学本章将介绍研究点的运动的三种方法，即：矢径法、直角坐标法和自然法。 点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线，称为点的运动轨迹。点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当轨迹为圆时称为圆周运动。 表示点的位置随时间变化的规律的数学方程称为点的运动方程。 本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。6.1 矢量法如图，动点M沿其轨迹运动，在瞬时t，M点在图示位置。由参考点O向动点M作一矢量 =，则称 为矢径。于是动点矢径形式的运动方程为显然，矢径的矢端曲线就是点运动的轨迹。第 36 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）6.2 直角坐标法1、点的运动方程如图，在参考体上建立直角坐标系。则 这就是直角坐标形式的点的运动方程。由运动方程消去时间t可得两个柱面方程： 这两个柱面方程的交线就是点的运动轨迹，上式称为动点的轨迹方程2、点的速度在直角坐标轴上的投影由图可知，动点的矢径为第37页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）将上式两边对时间求导，可得将动点的速度表示为解析形式，则有比较上述两式，可得速度在各坐标轴上的投影 这就是用直角坐标法表示的点的速度。即：点的速度在直角坐标轴上的投影，等于点的对应坐标对时间的一阶导数。3、点的速度在直角坐标轴上的投影若已知速度的投影，则速度的大小为 其方向余弦为 4、点的加速度在直角坐标轴上的投影由于加速度是速度对时间的一阶导数，则将动点的加速度表示为解析形式，则有 比较上述两式，可得加速度在各坐标轴上的投影 第 38 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）这就是用直角坐标法表示的点的加速度。即：点的加速度在直角坐标轴上的投影等于该点速度在对应坐标轴上的投影对时间的一阶导数，也等于该点对应的坐标对时间的二阶导数。若已知加速度的投影，则加速度的大小为 其方向余弦为6.3 自然法1、运动方程前提：点的轨迹已知显示火车沿轨迹行驶的一段动画弧坐标的建立：在轨迹上确定O点，规定“+”，“-”点位置确定：弧坐标S设动点M的运动轨迹如图。 当动点运动时，弧坐标随时间t连续变化，且为时间t的单值连续函数，即这就是自然坐标形式的点的运动方程。第 39 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）2、曲率和曲率半径图示空间曲线，表明曲线在弧长内弯曲的程度。 称为的平均曲率。当M点趋近于M点时，平均曲率的极限值就是曲线在M点的曲率，即M点曲率的倒数称为曲线在M点的曲率半径，即3、自然轴系如图。由三个方向的单位矢量构成的坐标系称为自然轴系。且三个单位矢量满足右手法则，即 自然轴系不是固定的坐标系。第40页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）4、用自然法表示点的速度由点的速度的矢径法 由于 ，所以 即：动点沿已知轨迹的速度的代数值等于弧坐标s对时间的一阶导数，速度的方向沿着轨迹的切线方向，当为正时指向与相同，反之，与 相反。5、用自然法表示点的加速度由点的加速度的矢径法 由于 ， 所以 上式表明加速度矢量是由两个分矢量组成：分矢量 的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它表明速度代数值随时间的变化率；分矢量 的方向永远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方向随时间的变化率。加速度在三个自然轴上的投影为 全加速度位于密切面内，其大小为方向余弦为 第 41 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）第7 章 刚体的简单运动7.1 刚体的平动刚体上任意两点A、B，满足关系：，。研究刚体运动时：首先要了解每种运动形式的特征，并研究整个刚体的描述方法，然后再研究刚体上各点的运动。一、刚体平动先看几个实例：实例1 汽车沿直线行驶时车身的运动；实例2 推拉窗户的运动；实例3 游乐车车厢的运动； 1 定义：刚体运动时，其上任一直线始终与原位置平行。2 特征分析运动方程 是常矢量轨迹：形状相同速度：， 第 42 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）加速度：，结论：研究刚体的平动，可归结为研究其上任一点的运动。3 平动分类演示机构运动 、/，角不变并画出、点的轨迹，以为圆心 为半径的圆7.2 刚体绕定轴的转动已知定轴转动方程：，则角速度，角加速度。第 43 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）1、定义：刚体运动时，其上有一直线始终保持不动，其余各点均作圆周运动。1、 整体运动描述位置确定：转角转动方程：单值连续函数角速度： 角加速度：、均为代数量，其正负号表示刚体的转向，从轴正向往负向看逆时针为正，顺时针为负。开始平面与平面重合，然后刚体转动至图示位置，画出转角特例：（1）若，常量，称为匀速转动，此时，是时的转角 （2）若常量，称为匀变速转动，此时，、是时的转角和角速度7.3 转动刚体内各点的速度和加速度第 44 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）自然坐标法运动方程：速度：，指向如图所示。半径上各点速度分布如图加速度：切向加速度，指向如图所示法向加速度 ,方向，,任一半径上各点加速度分布如图。例1、荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示，钢索长为，长度单位为，当荡木摆动时，钢索的摆动规律为，其中以计，试求当和时荡木中点的速度，加速度。 ；第 45 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）7.4 轮系的传递比1. 齿轮传动或者2. 带轮传动7.5 以矢量表示角速度和角加速度描述转动刚体位置的转角虽然有三个要素：转轴在空间的方位，转角的大小和转角的转动方向，但实践证明转角不能用矢量表示。如图所示原来位置先绕轴正向转90 后绕轴正向转90先绕轴正向转90 后绕轴正向绕90 第46页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）第8 章 点的合成运动8.1 相对运动、牵连运动、绝对运动前面研究了动点对于一个参考坐标系的运动。而在不同的参考坐标系中对同一个点的运动的描述得到的结果是不一样的，例如：为了研究方便，把所研究的点称为动点，把其中一个坐标系称为静坐标系（一般固连于地球上）；而把另一个相对于静坐标系运动的坐标系称为动坐标系。为了区分动点对于不同坐标系的运动，规定：动点相对于静坐标系的运动称为绝对运动。动点相对于动坐标系的运动称为相对运动。动坐标系相对于静坐标系的运动称为牵连运动。动点的绝对运动和相对运动都是指点的运动，而牵连运动是指参考体的运动，实际上是刚体的运动。动点在绝对运动中的轨迹、速度和加速度称为绝对轨迹、绝对速度和绝对加速度。动点在相对运动中的轨迹、速度和加速度称为相对轨迹、相对速度和相对加速度。在某一瞬时，动坐标系上和动点相重合的点（瞬时牵连点）相对静坐标系的速度和加速度称为该瞬时的牵连速度和牵连加速度。第 47 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）用和分别表示绝对速度和绝对加速度。用和分别表示相对速度和相对加速度。用和分别表示牵连速度和牵连加速度。例1 如图杆长l，绕O轴以角速度 转动，圆盘半径为r，绕 O 轴以角速度 转动。求圆盘边缘 M1和 M2点的牵连速度和加速度。解：静系取在地面上，动系取在杆上，则 8.2 点的速度合成定理1. 合成公式第 48 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）下面研究点的绝对速度、牵连速度和相对速度的关系。如图，由图中矢量关系可得：将上式两端同除 t，并令t0，取极限，得由速度的定义：第 49 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等） 于是可得： 即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。这就是点的速度合成定理。例1、在凸轮顶杆机构中已知凸轮以速度直线平动，已知半径为，求图示角时顶杆AB的速度。解：1 选动点、动系：动点A，动系凸轮。2 三种运动分析： 绝对运动：直线 相对运动：圆周运动 牵连运动：直线平动3 速度分析：4 求解：思考：如选AB杆为动系，凸轮上的点为动点，怎样分析？第 50 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）8.3 点的加速度合成定理1. 加速度合成公式（1）牵连运动为平动时，科氏加速度；（2）牵连运动为平动转动时，科氏加速度。2. 例题分析1、加速度的概念绝对加速度：动点相对静系的加速度牵连加速度：牵连点相对静系的加速度相对加速度：动点相对动系的加速度2、牵连运动为平动时的加速度合成定理如图，设为平动参考系，动点M相对于动系的相对坐标为 ，则动点M的相对速度和加速度为相对运动方程：第 51页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）例1 图示曲柄滑杆机构，曲柄长OA=r，当曲柄与铅垂线成时，曲柄的角速度为，角加速度为，求此时BC的速度和加速度。解：以滑块A为动点，静系取在地面上，动系取在BC杆上，动点的速度合成矢量图如图。建立如图的投影坐标轴，由，将各矢量投影到投影轴上，得 即： 该速度即为BC的速度。动点的加速度合成矢量图如图。其中： 建立如图的投影坐标轴，由，将各矢量投影到 轴上，得 于是可得： 该加速度即为BC的加速度。第 52 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）例2 图示半径为r的半圆形凸轮在水平面上滑动，使直杆OA可绕轴O转动。OA=r，在图示瞬时杆OA与铅垂线夹角，杆端A与凸轮相接触，点O与O1在同一铅直线上，凸轮的的速度为，加速度为。求在图示瞬时A点的速度和加速度。并求OA杆的角速度和角加速度。解：以杆端A为动点，静系取在地面上，动系取在凸轮上，动点的速度合成矢量图如图。建立如图的投影坐标轴，由，将各矢量投影到投影轴上，得 ； 解得：OA杆的角速度为 动点的加速度合成矢量图如图。其中 第 53 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）建立如图的投影轴，由将各矢量投影到投影轴上，得 所以 故OA杆的角加速度 例3 铰接四边形机构中，杆 以匀角速度绕轴转动。AB杆上有一滑套C，滑套C与CD杆铰接，机构各部件在同一铅直面内。求当时，CD杆的速度和加速度。第 54 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）第9 章 刚体的平面运动9.1 刚体平面运动的概念和运动分解1. 概念平面运动、基点2. 基点描述法9.2 求平面图形内各点速度的基点法1基点法（合成法）平面运动随基点平动+相对基点的转动设已知A点速度和角度求图形上任一点B的速度。B点的速度为： （1）式中，其中 ,式（1）只能求2个求知量，通常的已知量为和的方向。式（1）也可用矢量求导得到， 其中是常量。第 55 页江苏工业学院教案教 学 内 容 （讲稿）备注（包括：教学手段、时间分配、临时更改等）式（1）也可用矢量求导得到， 其中是常量。其中，也即2速度投影法将式（10.3）向AB连线和AB连线的正垂向投影，有 （2） （3）式（2）称为速度投影定理，是刚体不变形的属性，式（3）中的正垂向投影过B点作逆时针转的射线为正方向，如图中的所指的方向。1. 速度基点法2. 速度投