610有趣的数阵图.doc

新六年级 姓名 等级 第十次课程数学小测试：1、 有一条公路长1000米，在公路的一侧每隔10米栽一棵垂柳，可种植垂柳多少棵?如果在公路的两侧每隔10米栽一棵垂柳，可种植垂柳多少棵?2、某人要到一座高层楼的第10层办事，不巧停电，电梯停开。如果他从1层走到3层需要48秒，请问以同样的速度走到10层，还需要多少秒？3、 一条直圆柱形的铁条，如果锯成5段需要1.2小时，今天把同样的铁条锯成若干等长的小段，共用去90分钟，这样共锯了几段？4、南京路小学四年级学生有120人参加运动会入场式，他们每6人一行，前后每行间隔为2米，主席台长42米，他们以每分钟40米的速度通过主席台需要多少分钟?有趣的数阵图 我们在三年级已经学习过辐射型和封闭型数阵，其解题的关键在于“重叠数”。本讲，我们学习三阶方阵，就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图，解题的关键仍然是“重叠数”。我们先从一道典型的例题开始。例1把19这九个数字填写在右图正方形的九个方格中，使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。例1中的数阵图，我国古代称为“纵横图”、“九宫算”。一般地，将九个不同的数填在33（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，那么这样的图称为三阶幻方。在例1中如果只要求任一横行及任一竖列的三数之和相等，而不要求两条对角线上的三数之和也相等，则解不唯一，这是因为在例1的解中，任意交换两行或两列的位置，不影响每行或每列的三数之和，故仍然是解。例2用11，13，15，17，19，21，23，25，27编制成一个三阶幻方。分析与解：给出的九个数形成一个等差数列，对照例1，19也是一个等差数列。不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数，即应填19；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数，即13，17，21，25，而且对角两数的和相等，即1325=1721；余下各数就不难填写了（见右图）。与幻方相反的问题是反幻方。将九个数填入33（三行三列）的九个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，这样填好后的图称为三阶反幻方。例3将前9个自然数填入右图的9个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻。分析与解：题目要求相邻的两个自然数在图中的位置也相邻，所以这9个自然数按照大小顺序在图中应能连成一条不相交的折线。经试验有下图所示的三种情况：按照从1到9和从9到1逐一对这三种情况进行验算，只有第二种情况得到下图的两个解。因为第二种情况是螺旋形，故本题的解称为螺旋反幻方。例4：将九个数填入右图的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有请证明。证明：设中心数为d。由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d。由此计算出第一行中间的数为2db，右下角的数为2d-c（见下图）。根据第一行和第三列都可以求出上图中处的数由此得到3d-c-（2d-b）3d-a-（2d-c），3d-c-2db3d-a-2dc，dcbdac，2cab，abc2。二、巩固训练 1. 将16分别填在图中,使每条边上的三个内的数的和相等. 2. 把18个数分别填入中,使每条边上三个数的和相等.3. 把19个数分别填入中,使每条边上四个数的和相等.4、在下页右上图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90。思路导航：由上一讲例4知，中心数为90330；由本讲例2知，右上角的数为（2357）240（见左下图）。其它数依次可填（见右下图）。5、在右图的每个空格中填入个自然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等。思路导航：由例2知，右下角的数为（810）2=9；由上一讲例4知，中心数为（59）2=7（见左下图），且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于73=21。由此可得如图的填法。新六年级 姓名 等级 回家作业：1.将九个连续自然数填入33的方格内，使得每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都等于66。2.将1，3，5，7，9，11，13，15，17填入33的方格内