【教学设计】《等比数列的前n项和》（人教）

等比数列的前n项和 教学目标1、知识与技能（1）掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；（2）会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的中知道三个数求另外两个数的问题；（3）理解等比数列的前n项和性质应用。2、过程与方法由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式，提高分析、解决问题能力。3、情感态度与价值观从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力，在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。 教学重难点【教学重点】等比数列的前n项和公式推导；学会用公式解决一些实际问题。【教学难点】灵活使用公式解决问题。 教学过程（一）新课导入 传说古代印度有一国王喜爱国际象棋，中国智者云游到此，国王得知智者棋艺高超，于是派人请来智者与其对弈，并傲慢地说：“如果你赢了,我将答应你的任何要求。”智者心想，我应该治一治国王的傲慢，当国王输棋后，智者说：“陛下只须派人用麦粒填满象棋盘上的所有空格，第1格1粒，第2格2粒，第3格4粒，依此下去，以后每格是前一格粒数的2倍。”国王听后：哈哈大笑，这个问题也太简单了罢！于是国王吩咐手下马上去办，可是过了好多天，手下惊慌地报到国王，大事不好了，即使我们印度近几十年来生产的所有麦子加起来也还不够啊！国王呆了！到底有多少麦粒呢？你认为国王有能力满足上述要求吗？每个格子里的麦粒数都是前一个格子里麦粒数的2倍，总共有63个格子：（二）新课讲授探究一：等比数列的前n项和设等比数列an的首项是a1，公比是q，前n项和Sn可用下面的“错位相减法”求得。Sna1a1qa1q2a1qn1。则qSna1qa1q2a1qn1a1qn。由得(1q)Sna1a1qn。说明：这种求和方法称为错位相减法当q1时，Sn。当q1时，由于a1a2an，所以Snna1。结合通项公式可得：等比数列前n项和公式：Sn一般地，使用等比数列求和公式时需注意：(1) 一定不要忽略q1的情况；(2) 知道首项a1、公比q和项数n，可以用；知道首尾两项a1，an和q，可以用；(3) 在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn。知道其中任意三个，可求其余两个。（三）例题探究例1求下列等比数列前8项的和：(1)，；(2)a127，a9，q0。解：(1)因为a1，q，所以S8。(2)由a127，a9，可得27q8。又由q0，可得q。所以S8。注：求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q1是否成立。跟踪训练1若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_。答案：22n12解析：设等比数列的公比为q，a2a420，a3a540，20q40，且a1qa1q320，解得q2，且a12。因此Sn2n12。探究二：等比数列前n项和公式与函数的关系当公比q1时，我们已经知道等比数列的前n项和公式Sn，它可以变形为Snqn，设A，上式可写成SnAqnA，即数列an是非常数列的等比数列的充要条件是前n项和公式为SnAqnA，(A0，q0，且q1，nN*)当公比q1时，因为a10，所以Snna1是n的正比例函数。例2若数列an的前n项和Sn2n1，那么数列an是不是等比数列？若数列an的前n项和Sn2n11呢？解析：当Sn2n1时，annN*是等比数列；当Sn2n11时，annN*，不是等比数列。例3若等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列吗？解析：设an的公比为q，则Sna1a2an，S2nSnan1an2a2na1qna2qnanqnqnSn，S3nS2na2n1a2n2a3nan1qnan2qna2nqnqn(S2nSn)，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，公比为qn。梳理：等比数列an前n项和的三个常用性质(1)数列an为公比不为1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍构成等比数列。(2)若an是公比为q的等比数列，则SnmSnqnSm(n，mN*)。(3)若an是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：在其前2n项中，q；在其前2n1项中，S奇S偶a1a2a3a4a2na2n1(q1)。跟踪训练2在等比数列an中，已知Sn48，S2n60，求S3n。解：因为S2n2Sn，所以q1，由已知得得1qn，即qn。将代入得64，所以S3n6463。探究三：错位相减法求和 例4求数列的前n项和。解：设Sn，则有Sn，两式相减，得SnSn，即Sn1。Sn22。一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法。跟踪训练3求和：Snx2x23x3nxn (x0)。解：当x1时，Sn123n；当x1时，Snx2x23x3nxn，xSnx22x33x4(n1)xnnxn1，(1x)Snxx2x3xnnxn1nxn1，Sn。综上可得Sn例5借贷10000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.0161.061,1.0151.051，精确到整数)解：（方法一）设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1n6，nN*)，则a010000，a11.01a0a，a21.01a1a1.012a0(11.01)a，a61.01a5a1.016a011.011.015a。由题意，可知a60，即1.016a011.011.015a0，a。因为1.0161.061，所以a1739(元)。故每月应支付1739元。（方法二）一方面，借款10000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1104(10.01)6104(1.01)6(元)，另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2a(10.01)5a(10.01)4aa1.0161102(元)。由S1S2，得a1739(元)。故每月应支付1739元。跟踪训练4一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%。这个热气球上升的高度能超过125m吗？解：用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an1an，因此，数列an是首项a125，公比q的等比数列。热气球在前n分钟内上升的总高度为Sna1a2an125125。故这个热气球上升的高度不可能超过125m。（四）课堂检测1、数列2n1的前99项和为 ()A、21001B、12100C、2991 D、1299解析：选C数列2n1为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S992991。2、等比数列an中，a33S22，a43S32，则公比q等于 ()A、2 B、 C、4 D、解析：a33S22，a43S32，等式两边分别相减得a4a33a3，即a44a3，q4。3、已知等比数列an中，q2，n5，Sn62，则a1_。解析：q2，n5，Sn62，62，即62，a12。答案：24、等比数列an的前5项和S510，前10项和S1050，则它的前15项和S15_。解析：由等比数列前n项和的性质知S5，S10S5，S15S10成等比数列，故(S10S5)2S5(S15S10)，即(5010)210(S1550)，解得S15210。答案：2105、在数列an中，an1can(c为非零常数)，且前n项和为Sn3nk，则实数k_。解析：当n1时，a1S13k，当n2时，anSnSn1(3nk)(3n1k)3n3n123n1。由题意知an为等比数列，所以a13k2，所以k1。答案：16、某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为_。解析：去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a,1.13a,1.14a,1.15a，1.1a1.12a1.13a1.14a1.15a11a(1.151)答案：11a(1.151)（五）课堂总结1、在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，