高考数学一轮复习 5.3 等比数列及其前n项和课件 文 新人教A版.ppt

第三节等比数列及其前n项和 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 等比数列及其相关概念 前面 一项 同一个常数 常数 g2 ab 2 等比数列的通项公式 若等比数列 an 的首项是a1 公比是q 则其通项公式为 n n 3 等比数列的前n项和公式 当公比q 1时 sn 当公比q 1时 sn an a1qn 1 na1 2 必备结论教材提炼记一记等比数列的常见性质 1 项的性质 an amqn m am kam k am2 m k m k n a 若m n p q 2k m n p q k n 则am an ak2 ap aq b 若数列 an bn 项数相同 是等比数列 则 an an an2 an bn 0 仍然是等比数列 c 在等比数列 an 中 等距离取出若干项也构成一个等比数列 即an an k an 2k an 3k 为等比数列 公比为qk 2 和的性质 sm n sn qnsm 若等比数列 an 共2k k n 项 则 公比不为 1的等比数列 an 的前n项和为sn 则sn s2n sn 仍成等比数列 其公比为qn 当公比为 1时 sn s2n sn 不一定构成等比数列 s3n s2n s3n s2n 3 等比数列 an 的单调性 满足时 an 是 数列 满足时 an 是 数列 当时 an 为 数列 当q 0时 an 为摆动数列 递增 递减 常 4 其他性质 an 为等比数列 若a1 a2 an tn 则 成等比数列 当数列 an 是各项都为正数的等比数列时 数列 lgan 是公差为lgq的等差数列 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 基本量运算中的消元法 待定系数法 整体代入法 等比数列的四个判定方法 2 数学思想 函数与方程 分类讨论 转化与化归 3 记忆口诀 等差等比两数列 通项公式n项和 数列问题多变幻 方程化归整体算 归纳思想非常好 编个程序好思考 一算二看三联想 猜测证明不可少 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数 则这个数列是等比数列 2 满足an 1 qan n n q为常数 的数列 an 为等比数列 3 g为a b的等比中项 g2 ab 4 如果 an 为等比数列 bn a2n 1 a2n 则数列 bn 也是等比数列 5 如果数列 an 为等比数列 则数列 lnan 是等差数列 6 数列 an 的通项公式是an an 则其前n项和为sn 解析 1 错误 根据等比数列的定义可知 把 常数 改为 同一非零常数 后结论正确 2 错误 q 0时 an 不是等比数列 3 错误 g为a b的等比中项 g2 ab 反之不真 如a 0 b 0 g 0 4 错误 如数列 an 为1 1 1 1 则数列 bn 为0 0 0 0 不是等比数列 5 错误 等比数列 an 中可能有小于零的项 而当an 0时lnan无意义 6 错误 当a 1时结论不成立 答案 1 2 3 4 5 6 2 教材改编链接教材练一练 1 必修5p53t1 2 改编 已知 an 是等比数列 a4 4 a7 则公比q a b 2c 2d 解析 选d 因为 an 是等比数列 a4 4 a7 所以 解得公比q 故选d 2 必修5p62t2改编 设等比数列 an 的前n项和为sn 若则 解析 s3 s6 s3 s9 s6成等比数列 则 s6 s3 2 s3 s9 s6 由则 s3 s9 s6 所以所以答案 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 北京高考 设 an 是公比为q的等比数列 则 q 1 是 an 为递增数列 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选d 当a11时 an 是递减数列 当 an 为递增数列时 a10 q 1 因此 q 1 是 an 为递增数列 的既不充分也不必要条件 2 2014 天津高考 设 an 是首项为a1 公差为 1的等差数列 sn为其前n项和 若s1 s2 s4成等比数列 则a1 解析 选d 因为s1 s2 s4成等比数列 所以s22 s1 s4 即 a1 a1 1 2 解得 3 2014 安徽高考 数列 an 是等差数列 若a1 1 a3 3 a5 5构成公比为q的等比数列 则q 解析 设等差数列 an 的公差为d 则 a3 3 2 a1 1 a5 5 即 a1 2d 3 2 a1 1 a1 4d 5 解得d 1 所以a3 3 a1 1 a5 5 a1 1 所以q 1 答案 1 4 2014 广东高考 等比数列 an 的各项均为正数 且a1a5 4 则log2a1 log2a2 log2a3 log2a4 log2a5 解析 方法一 各项均为正数的等比数列 an 中a1a5 a2a4 a32 4 则a1a2a3a4a5 25 log2a1 log2a2 log2a3 log2a4 log2a5 log2 a1a2a3a4a5 log225 5 方法二 各项均为正数的等比数列 an 中a1a5 a2a4 a32 4 设log2a1 log2a2 log2a3 log2a4 log2a5 s 则log2a5 log2a4 log2a3 log2a2 log2a1 s 2s 5log2 a1a5 10 s 5 答案 5 考点1等比数列的基本运算 典例1 1 等比数列 an 的前n项和为sn 已知s3 a2 10a1 a5 9 则a1 2 2014 福建高考 在等比数列 an 中 a2 3 a5 81 求an 设bn log3an 求数列 bn 的前n项和sn 解题提示 1 利用s3 a1 a2 a3 求出q2 再解方程求得a1 2 利用等比数列通项公式求出首项和公比 由an求出bn的通项公式 得出 bn 为等差数列 利用等差数列前n项和公式求前n项和 规范解答 1 选c 由s3 a2 10a1 得a1 a2 a3 a2 10a1 即a3 9a1 即a1q2 9a1 解得q2 9 又因为a5 9 所以a1q4 9 解得 2 设 an 的公比为q 依题意得解得因此 an 3n 1 因为bn log3an n 1 所以数列 bn 为等差数列 其前n项和 互动探究 若本例题 1 已知条件不变 求其前n项和sn 解析 由本例 1 知q 3 所以当q 3时 当q 3时 因此 规律方法 解决等比数列有关问题的常见思想方法 1 方程的思想 等比数列中有五个量a1 n q an sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 求关键量a1和q 问题可迎刃而解 2 数形结合的思想 通项an a1qn 1可化为因此an是关于n的函数 点 n an 是曲线上一群孤立的点 3 分类讨论的思想 等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论 当q 1时 an 的前n项和sn na1 当q 1时 an 的前n项和 4 整体思想 应用等比数列前n项和公式时 常把qn或当成整体进行求解 5 等比数列设项技巧对称设元法 一般地 连续奇数个项成等比数列 可设为 x xq 连续偶数个项成等比数列 可设为 xq xq3 注意 此时公比q2 0 并不适合所有情况 这样即可减少未知量的个数 也使得解方程较为方便 变式训练 已知等比数列 an 中 a2 2 a5 128 1 求通项an 2 若bn log2an 数列 bn 的前n项和为sn 且sn 360 求n的值 解析 1 设 an 的公比为q 由a2 2 a5 128及a5 a2q3 得128 2q3 所以q 4 所以an a2qn 2 2 4n 2 22n 3 2 因为bn log222n 3 2n 3 所以数列 bn 是以 1为首项 2为公差的等差数列 所以sn n 1 2 n2 2n 令n2 2n 360得n1 20 n2 18 舍 故n 20为所求 加固训练 设数列 an 的前n项和为sn 已知a1 1 且数列 sn 是以2为公比的等比数列 1 求数列 an 的通项公式 2 求a1 a3 a2n 1 解析 1 因为s1 a1 1 且数列 sn 是以2为公比的等比数列 所以sn 2n 1 又当n 2时 an sn sn 1 2n 2 2 1 2n 2 故 2 因为a3 a5 a2n 1是以2为首项 4为公比的等比数列 所以a3 a5 a2n 1 所以a1 a3 a2n 1 考点2等比数列的判定与证明 典例2 1 2013 福建高考 已知等比数列an的公比为q 记bn am n 1 1 am n 1 2 am n 1 m cn am n 1 1 am n 1 2 am n 1 m m n n 则以下结论一定正确的是 a 数列 bn 为等差数列 公差为qmb 数列 bn 为等比数列 公比为q2mc 数列 cn 为等比数列 公比为d 数列 cn 为等比数列 公比为 2 2015 镇海模拟 已知数列 an 和 bn 满足 a1 an 1 bn 1 n an 3n 21 其中 为实数 n为正整数 对任意实数 证明 数列 an 不是等比数列 试判断数列 bn 是否为等比数列 并证明你的结论 解题提示 1 判定一个数列是等差或等比数列 可利用作差法或作商法 看看结果是不是常数 2 只要证明这个数列中有连续的三项不是等比数列即可 若判断 bn 为等比数列 则必须证明对任意的正整数n 这个数列都符合等比数列的定义 规范解答 1 选c 因为bn am n 1 q q2 qm 所以 常数 bn 1 bn不是常数 又因为cn am n 1 mq1 2 m 所以 常数 cn 1 cn不是常数 故选c 2 假设存在一个实数 使 an 是等比数列 则有a22 a1a3 即故即9 0 矛盾 所以 an 不是等比数列 因为bn 1 1 n 1 an 1 3 n 1 21 又b1 18 所以当 18时 bn 0 n n 此时 bn 不是等比数列 当 18时 b1 18 0 由可知bn 0 所以 n n 故当 18时 数列 bn 是以 18 为首项 为公比的等比数列 易错警示 解答本例第 2 题容易出现忽略对等比数列各项均不为零的讨论而致误 规律方法 等比数列的判定方法 1 定义法 若 q q为非零常数 n n 或 q q为非零常数且n 2 n n 则 an 是等比数列 2 中项公式法 若数列 an 中 an 0且an 12 an an 2 n n 则数列 an 是等比数列 3 通项公式法 若数列通项公式可写成an c qn 1 c q均是不为0的常数 n n 则 an 是等比数列 4 前n项和公式法 若数列 an 的前n项和sn k qn k k为常数且k 0 q 0 1 则 an 是等比数列 提醒 1 前两种方法是判定等比数列的常用方法 常用于证明 而后两种方法常用于选择题 填空题中的判定 2 若要判定一个数列不是等比数列 则只需判定存在连续三项不成等比数列即可 变式训练 设数列 an 的前n项和为sn 已知a1 1 sn 1 4an 2 设bn an 1 2an 1 证明 数列 bn 是等比数列 2 求数列 an 的通项公式 解析 1 由a1 1及sn 1 4an 2 有a1 a2 s2 4a1 2 所以a2 5 所以b1 a2 2a1 3 又 得an 1 4an 4an 1 所以an 1 2an 2 an 2an 1 因为bn an 1 2an 所以bn 2bn 1 故 bn 是首项b1 3 公比为2的等比数列 2 由 1 知bn an 1 2an 3 2n 1 所以故是首项为 公差为的等差数列 所以得an 3n 1 2n 2 加固训练 已知单调递增的正项等比数列 an 中 a5 a1 15 a4 a2 6 1 求an sn 2 求证 s7 s14 s7 s21 s14成等比数列 3 若数列 bn 满足bn 2an 在直角坐标系中作出bn f n 的图象 4 若数列 cn 满足其前n项和为tn 试比较tn与2的大小 解析 1 设递增的正项等比数列 an 的公比为q 依题设有a5 a1 a1 q4 1 15 a4 a2 a1q q2 1 6 两式相除 得即2q2 5q 2 0 解得q 2或因为 an 是递增的正项等比数列 故q 2 代入a1 q4 1 15 得a1 1 所以an a1qn 1 2n 1 所以an 2n 1 sn 2n 1 2 由 1 知s7 27 1 s14 214 1 s21 221 1 所以s14 s7 27 27 1 s21 s14 214 27 1 这样有 s14 s7 2 214 27 1 2 s7 s21 s14 故s7 s14 s7 s21 s14成等比数列 3 f n 2n 则bn f n 的图象是函数f x 2x的图象上的一列孤立的点 如图所示 4 cn 则tn c1 c2 cn 考点3等比数列性质的应用知 考情等比数列的性质是高考重点考查的内容之一 题型有选择题 填空题 近几年也与方程 不等式 三角函数等内容交汇考查 主要考查通项公式的变式 等比中项的变形 前n项和公式的变形等求值运算或判断证明等问题 明 角度命题角度1 根据等比数列的性质求基本量 典例3 1 2015 济南模拟 在各项均为正数的等比数列 an 中 则a32 2a2a6 a3a7 本题源于教材必修5p58t2 a 4b 6c 8d 2 2015 衡水模拟 各项均为正数的等比数列 an 的前n项和为sn 若sn 2 s3n 14 则s4n等于 a 80b 30c 26d 16 解题提示 1 利用等比数列的性质 将所求式中的a2a6替换为a3a5 a3a7替换为a52 然后将所求式配方转化为 a3 a5 2求值 2 利用等比数列中sn s2n sn s3n s2n s4n s3n仍成等比数列的性质解方程求值 规范解答 1 选c 在等比数列中 a3a7 a52 a2a6 a3a5 所以a32 2a2a6 a3a7 a32 2a3a5 a52 a3 a5 2 2 选b 由等比数列性质得 sn s2n sn s3n s2n s4n s3n成等比数列 则 s2n sn 2 sn s3n s2n 所以 s2n 2 2 2 14 s2n 又s2n 0 得s2n 6 又 s3n s2n 2 s2n sn s4n s3n 所以 14 6 2 6 2 s4n 14 解得s4n 30 命题角度2 根据等比数列的性质判断单调性 求最大 小 项 典例4 2013 天津高考 已知首项为的等比数列 an 的前n项和为sn n n 且 2s2 s3 4s4成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 2 证明 n n 解题提示 1 利用 2s2 s3 4s4成等差数列 求出 an 的公比 可得通项公式 2 利用等比数列前n项和公式求出的表达式 再分n为奇数 偶数两种情况证明 规范解答 1 设等比数列 an 的公比为q 因为 2s2 s3 4s4成等差数列 所以s3 2s2 4s4 s3 即s4 s3 s2 s4 可得2a4 a3 于是q 又a1 所以等比数列 an 的通项公式为 2 当n为奇数时 随n的增大而减小 所以 当n为偶数时 随n的增大而减小 所以故对于n n 有 悟 技法应用等比数列性质解题的类型及思路 1 求基本量的值灵活运用等比数列的定义 通项公式 前n项和公式与性质 以及函数与方程的思想 整体思想 分类讨论思想等思想方法求解 2 判断单调性 求最大 小 项根据题目条件 认真分析 确定首项与公比 发现具体的变化特征 利用数列相邻两项的大小关系 从而判断单调性或利用不等式组求解最大 小 项问题 通 一类1 2015 潍坊模拟 设等比数列 an 中 前n项和为sn 已知s3 8 s6 7 则a7 a8 a9 解析 选a 因为a7 a8 a9 s9 s6 在等比数列中s3 s6 s3 s9 s6也成等比 即8 1 s9 s6成等比 所以有8 s9 s6 1 2 s9 s6 即a7 a8 a9 2 2015 太原模拟 已知等比数列 an 满足an 0 n n 且a5 a2n 5 22n n 3 则当n 1时 log2a1 log2a3 log2a2n 1 a n 2n 1 b n 1 2c n2d n 1 2 解析 选c 设等比数列 an 的公比为q 因为a5 a2n 5 22n n 3 所以a1q4 a1q2n 6 22n 即a12 q2n 2 22n a1 qn 1 2 22n an 2 2n 2 因为an 0 所以an 2n 所以a2n 1 22n 1 所以log2a1 log2a3 log2a2n 1 log22 log223 log222n 1 1 3 2n 1 n n2 3 2015 重庆模拟 在各项均为正数的等比数列 an 中 a1 a3 a5 a7 4a42 则下列结论中正确的是 a 数列 an 是递增数列b 数列 an 是递减数列c 数列 an 是常数列d 数列 an 有可能是递增数列也有可能是递减数列 解析 选c 各项均为正数的等比数列 an 中 因为 a1 a3 a5 a7 4a42成立 即a1a5 a1a7 a3a5 a3a7 4a42成立 利用等比数列的定义和性质化简可得a32 a42 a42 a52 4a42 进一步化简得a32 a52 2a42 设公比为q 则得a12q4 a12q8 2a12q6 化简可得1 q4 2q2 即 q2 1 2 0 所以q2 1 故q 1 由于各项均为正数的等比数列 故q 1舍去 故此等比数列是常数列 规范解答7函数在研究数列问题中的应用 典例 12分 2015