高中数学竞赛大纲.doc

【高中数学竞赛应该掌握的内容和知识点（共17大点，101小点，244小小点）】 1. *（set） 1.1*的阶，*之间的关系。 1.2*的分划 1.3子集，子集族 1.4容斥原理 2. 函数（function） 2.1函数的定义域、值域 2.2函数的性质 2.2.1单调性 2.2.2奇偶性 2.2.3周期性 2.2.4凹凸性 2.2.5连续性 2.2.6可导性 2.2.7有界性 2.2.8收敛性 2.3初等函数 2.3.1一次、二次、三次函数 2.3.2幂函数 2.3.3双勾函数 2.3.4指数、对数函数 2.4函数的迭代 2.5函数方程 3. 三角函数（trigonometric function） 3.1三角函数图像与性质 3.2三角函数运算 3.3三角恒等式、不等式、最值 3.4正弦、余弦定理 3.5反三角函数 3.6三角方程 4. 向量（vector） 4.1向量的运算 4.2向量的坐标表示，数量积 5. 数列（sequence） 5.1数列通项公式求解 5.1.1换元法 5.1.2特征根法 5.1.3不动点法，迭代法 5.1.4数学归纳法，递归法 6不等式（inequality） 6.1解不等式 6.2重要不等式 6.2.1均值不等式 6.2.2柯西不等式 6.2.3排序不等式 6.2.4契比雪夫不等式 6.2.5赫尔德不等式 6.2.6权方和不等式 6.2.7幂平均不等式 6.2.8琴生不等式 6.2.9 Schur不等式 6.2.10嵌入不等式 6.2.11卡尔松不等式 6.3证明不等式的常用方法 6.3.1利用重要不等式 6.3.2调整法 6.3.3归纳法 6.3.4切线法 6.3.5展开法 6.3.6局部法 6.3.7反证法 6.3.8其他 7.解析几何（analytic geometry） 7.1直线与二次曲线方程 7.2直线与二次曲线性质 7.3参数方程 7.4极坐标系 8立体几何（solid geometry） 8.1空间中元素位置关系 8.2空间中距离和角的计算 8.3棱柱，棱锥，四面体性质 8.4体积，表面积 8.5球，球面 8.6三面角 8.7空间向量 9.排列，组合，概率（permutations, combinatorics, probability） 9.1排列组合的基本公式 9.1.1加法、乘法原理 9.1.2无重复的排列组合 9.1.3可重复的排列组合 9.1.4圆排列、项链排列 9.1.5一类不定方程非负整数解的个数 9.1.6错位排列数 9.1.7 Fibonacci数 9.1.8 Catalan数 9.2计数方法 9.2.1映射法 9.2.2容斥原理 9.2.3递推法 9.2.4折线法 9.2.5算两次法 9.2.6母函数法 9.3证明组合恒等式的方法 9.3.1 Abel法 9.3.2算子方法 9.3.3组合模型法 9.3.4归纳与递推方法 9.3.5母函数法 9.3.6组合互逆公式 9.4二项式定理 9.5概率 9.5.1独立事件概率 9.5.2互逆事件概率 9.5.3条件概率 9.5.4全概率公式，贝叶斯公式 9.5.5现代概率，几何概率 9.6数学期望10.极限，导数（limits, derivatives） 10.1极限定义，求法 10.2导数定义，求法 10.3导数的应用 10.3.1判断单调性 10.3.2求最值 10.3.3判断凹凸性 10.4洛比达法则 10.5偏导数 11.复数（complex numbers） 11.1复数概念及基本运算 11.2复数的几个形式 11.2.1复数的代数形式 11.2.2复数的三角形式 11.2.3复数的指数形式 11.2.4复数的几何形式 11.3复数的几何意义，复平面 11.4复数与三角，复数与方程 11.5单位根及应用 12.平面几何（plane geometry） 12.1几个重要的平面几何定理 12.1.1梅勒劳斯定理 12.1.2塞瓦定理 12.1.3托勒密定理 12.1.4西姆松定理 12.1.5斯特瓦尔特定理 12.1.6张角定理 12.1.7欧拉定理 12.1.8九点圆定理 12.2圆幂，根轴 12.3三角形的巧合点 12.3.1内心 12.3.2外心 12.3.3重心 12.3.4垂心 12.3.5旁心 12.3.6费马点 12.4调和点列 12.5圆内接调和四边形 12.6几何变换 12.6.1平移变换 12.6.2旋转变换 12.6.3位似变换 12.6.4对称变换（反射变换） 12.6.5反演变换 12.6.6配极变换 12.7几何不等式 12.8平面几何常用方法 12.8.1纯几何方法 12.8.2三角法 12.8.3解析法 12.8.4复数法 12.8.5向量法 12.8.6面积法 13.多项式（polynomials） 13.1多项式恒等定理 13.2多项式的根及应用 13.2.1韦达定理 13.2.2虚根成对原理 13.3多项式的整除，互质 13.4拉格朗日插值多项式 13.5差分多项式 13.6牛顿公式 13.7单位根 13.8不可约多项式，最简多项式14.数学归纳法（mathematical induction） 14.1第一数学归纳法 14.2第二数学归纳法 14.3螺旋归纳法 14.4跳跃归纳法 14.5反向归纳法 14.6最小数原理 7. 初等数论（elementary number theory） 15.1整数，整除 15.2同余 15.3素数，合数 15.4算术基本定理 15.5费马小定理，欧拉定理 15.6拉格朗日定理，威尔逊定理 15.7裴蜀定理 15.8平方数 15.9中国剩余定理 15.10高斯函数 15.11指数，阶，原根 15.12二次剩余理论 15.12.1二次剩余定理及性质 15.12.2 Legendre符号 15.12.3 Gauss二次互反律 15.13不定方程 15.13.1不定方程解法 15.13.1.1同余法 15.13.1.2构造法 15.13.1.3无穷递降法 15.13.1.4反证法 15.13.1.5不等式估计法 15.13.1.6配方法，因式分解法 15.13.2重要不定方程 15.13.2.1一次不定方程（组） 15.13.2.2勾股方程 15.13.2.3 Pell方程 15.14 p进制进位制，p进制表示16.组合问题（combinatorics） 16.1组合计数问题（参见9.1,9.2） 16.2组合恒等式，不等式（参见9.3） 16.3存在性问题 16.4组合极值问题 16.5操作变换，对策问题 16.6组合几何 16.6.1凸包 16.6.2覆盖 16.6.3分割 16.6.4整点 16.7图论 16.7.1图的定义，性质 16.7.2简单图，连通图 16.7.3完全图，树 16.7.4二部图，k部图 16.7.5托兰定理 16.7.6染色与拉姆塞问题 16.7.7欧拉与哈密顿问题 16.7.8有向图，竞赛图 16.8组合方法 16.8.1映射法，对应法，枚举法 16.8.2算两次法 16.8.3递推法 16.8.4抽屉原理 16.8.5极端原理 16.8.6容斥原理 16.8.7平均值原理 16.8.8介值原理 16.8.9母函数法 16.8.10染色方法 16.8.11赋值法 16.8.12不变量法 16.8.13反证法 16.8.14构造法 16.8.15数学归纳法 16.8.16调整法 16.8.17最小数原理 16.8.18组合计数法 17.其他（others） （了解即可，不作要求） 17.1微积分，泰勒展开 17.2矩阵，行列式 17.3空间解析几何 17.4连分数 17.5级数，p级数，调和级数，幂级数 17.6其他1、平面几何 基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求：面积和面积方法。 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点-费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点-重心。三角形内到三边距离之积最大的点-重心。 几何不等式。 简单的等周问题。了解下述定理： 在周长一定的边形的集合中，正边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。 在面积一定的边形的集合中，正边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。 几何中的运动：反射、平移、旋转。 复数方法、向量方法。 平面凸集、凸包及应用。 2、代数 在一试大纲的基础上另外要求的内容： 周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。 三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。 第二数学归纳法。 递归，一阶、二阶递归，特征方程法。 函数迭代，求次迭代，简单的函数方程。 个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。 复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单位根的应用。 圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。 一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。 简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。 3、立体几何 多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。 正多面体，欧拉定理。 体积证法。 截面，会作截面、表面展开图。 4、平面解析几何 直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。 二元一次不等式表示的区域。 三角形的面积公式。 圆锥曲线的切线和法线。 圆的幂和