剧场演出安排问题.doc

中南民族大学2010年数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了数学建模竞赛的竞赛规则.我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（报名系统设置的报名组号）： 39 所属学院（请填写完整的全名）： 数学与统计学学院 参赛队员 (打印并签名) ：1.姓名 秦文钊 2.姓名 林豪 3.姓名 冯荣新 日期： 2010 年 04 月 26 日评阅编号：中南民族大学2010年数学建模竞赛编 号 专 用 页评阅编号：评阅记录：评阅人评分备注23剧场演出安排问题摘要本文首先分析影响演出安排的因素，确定出影响公司和剧团利益的主要因素有三个，即：加盟剧团数目、剧团演出场数、剧团演出安排路线（可用剧团演出总路程及等待演出时间表示）。在模型建立的过程中，首先定义了公司费用支出函数，接着采取分治思想，合理分析剧团每轮的演出天数和演出次数，确定出加盟剧团数，并运用多目标动态规划和倒推算法求出了距离最短的行程路线。 在线路安排模型的基础上我们分析了等待时间此因素，最终建立了符合约束条件：每家剧场每天均需安排一场演出、同一剧团不能在同一剧场多轮演出、同一剧团在同城的两家剧场演出时间间隔需不小于45天的合理方案，并利用钟盘原理具体的规划了每个加盟剧团的行程路线。为了进一步说明此模型的合理性，我们量化了影响因素，利用隶属函数确定主要影响因素的权值，给出了一个利弊评价指标-利弊指数，并利用计算按路线演出时各剧团的利弊指数值，从得到的结果看每个剧团的利弊指数相差不大，即对所有的剧团来说基本是公平的，从而总体上此模型对公司和剧团来说是双赢的。通过仔细分析各种因素以及公司总的用度支出，我们给出了公司剧场长期演出的安排方案，并撰写了一份公司前6个月内剧场演出安排方案供经理参考。针对热门问题，我们推广了模型中的思路与方案，并分析了各种突发情况，如：某剧团因故不能完成剩余演出，某剧团的节目不适合在某城市演出，某剧场另有专项演出任务等，我们针对不同的城市，给出了不同的应急预案。关键字：多目标动态规划 钟盘原理 倒推算法 一、 问题重述公司旗下有11家剧场，分别是山东青岛1家，江苏无锡2家，江苏扬州1家，浙江嘉兴1家，浙江杭州2家，浙江温州1家，浙江衢州1家，浙江东阳1家，浙江绍兴1家。每个剧场每天均需有一个剧团演出一场，每个剧团每轮（在一个剧场连续不间断的演出）都有一个上限，分别为：青岛14天，扬州7天，无锡14天，嘉兴7天，杭州14天，绍兴7天，东阳7天，衢州7天，温州7天。每个剧团可在不同城市之间巡回演出且在每个剧场至多演出1轮，且在同城的不同剧场的演出时间间隔不小于45天，即某个剧团在无锡或杭州的两家剧场的前后演出时间间隔（前次离开到下次重来）需不小于45天。公司财务有三项支出：（1）对加盟的剧团都需支付一笔固定的费用。 （2）依据每个剧团演出场次的不同需向剧团支付不同的费用。 （3）公司还需提供每个剧团在不同城市间往来的交通费用。其中（1）、（2）项所用费用占的比例较大。另对于每个加盟的剧团都希望演出较多的场次，每个剧团各轮演出的时间间隔不能太大，各个城市间的往来路线安排也尽量合理。问题：（1）为公司制定一个关于这11家剧场的演出团长期安排方案，使公司的财务用度尽可能少，方案切实可行，便于管理操作，且公司和剧团能实现合作双赢。（2）为公司经理拟一份小于2页的方案简要说明，并附有一份简明直观前6个月的方案安排。（3）将模型推广到更一般的情形。说明你的应急预案，如某剧团因故不能完成剩余的演出，某剧团的节目不适合在某城演出，某剧场另有专项演出任务等。二、 符号说明 公司在整个活动中所需的总费用（元） 公司需支付的总加盟费（元） 公司需支付的总演出费（元） 公司需支付的总交通费（元） 半年时间演出总天数即182（天） 剧团的整个加盟期内的演出场数 所加盟的剧团的数量 公司付给一个剧团一次的加盟费（元） 公司付给剧团每演出一场的演出费（元） 一个剧团走过单位距离的交通费（元） 第个剧团每轮演出天数 同一批加盟的剧团加盟期内的凭据等待时间 第条路线的长度（km）三、 基本假设1、 假设每个剧团在每个剧场演出时演出效果以及观众的上座率是一样的；2、 假设每个剧团都能按时到达演出地点完成演出任务；3、 假设公司给每个剧团的加盟费一样；4、 假设公司给剧团每场的演出费相同；5、 假设所有剧团的剧目适合在所有城市演出。四、 问题分析1、 第一问要求我们建立一个模型，使之能够清晰地描述出与公司加盟的剧团的演出日程，使公司的财务支出最小且每个剧团都能获得较多的演出次数。公司支付的加盟费与加盟的剧团数成正比，因而从此角度考虑可尽量减少加盟的演出团，且不同城市的演出时间长短差异会增加整体演出日程安排的复杂性，应尽量避免；公司付给剧团总的演出费与总的演出场数成正比；公司所承担的交通费与各个剧团往来的路线以及交通方式有关，需要根据图论的知识并考虑交通费用尽量少的前提下设计出针对每个剧团的行止方案。2、 第二问要我们为公司经理提供一份清晰明了的前6个月剧团演出日程安排，需要在第一问的基础上求出具体的结果并拟定一份具体的方案。3、 第三问要求我们在前两问的基础上结合实际情况，主要针对某个剧团不能按时完成演出任务，某些节目不适合在某城市演出，以及剧场临时专场演出等情况而制定一份应急预案。五、 模型的建立与求解1、 公司费用支出由题目知，公司所需支付的各类费用由如下关系：其中是公司所需支付的总加盟费，是公司需支付总演出费，是公司所需支付的总交通费。为简化模型，我们假设公司付给每个剧团的的加盟费均相同，则其中是所加盟的剧团的数量，是公司付给一个剧团一次的加盟费；我们假设每个剧团在每个剧院演出时演出效果和观众的上座率是一样的，在不考虑演出团的知名度等因素情况下，我们也假设公司付给每个剧团每场得演出费也相同，则其中是第 个剧团的整个加盟期内的演出场数，是公司付给剧团每演出一场的演出费；由于与具体的路线设计有关，我们会在后文给出答案。2、确定加盟的剧团数目公司所支付的加盟费与加盟剧团的数量成正比，因此每个剧团在每个剧场演出时尽可能的多演出可以使剧团的数量减到最少，这对公司和剧团都是有益的。因此假设每个剧团在每个城市演出时都达到该城市的演出时间上限，对于青岛，无锡，杭州3个城市五个剧场的演出时间上限是14天，其余的6个城市六个剧场的演出时间上限皆是7天，就假设剧团在青岛，无锡，杭州的演出时间是14天，在其余六个城市的演出时间均为7天。为了简化分析，我们先不考虑每个剧团在不同城市间往来所耗费的时间，并假设每个剧团都能按时到达指定剧场完成演出任务。以6个月（取182天）为例，11家演出团每天均需一场演出，因此总共需演出的场次为=11182=2002场，而青岛，无锡，杭州3个城市的5家剧场在半年182天的时间内接待的剧团数量=18214=13，而这些剧团和公司都希望多演出，假设每个剧团都去其余6个城市的每个剧场巡回演出，则其余这6家剧场在182天内的实际演出场数=137=91场，还有91天的空闲时间，还需要13个剧团来这些城市演出，而这新来的13家剧团要等到下半年才能到青岛，无锡，杭州这三个城市去演出，与此同时，下半年嘉兴，扬州，绍兴，衢州，温州，东阳六个城市需要的剧团数目，这26个剧团在青岛，无锡，杭州的巡回演出将排到下一年。现在用下面两个表分别举例说明，虽然由表可以看出表中城市的先后顺序实际上就是剧团演出的先后顺序，但下列2两个表只是为了说明剧团等待的时间的增加，故表中的城市先后顺序对之并无影响。无锡1杭州1青岛扬州嘉兴无锡2杭州2绍兴温州衢州东阳第1周ABCDEFGHIJK第2周ABCabFGcdef第3周BCDEFGHIJKL第4周BCDbcGHdefg第5周CDEFGHIJKLM第6周CDEcdHIefgh第7周DEFGHIJKLMA第8周DEFdeIJfghi第9周EFGHIJKLMAB第10周EFGefJKghij第11周FGHIJKLMABC第12周FGHfgKLhijk第13周GHIJKLMABCD第14周GHIghLMijkl第15周HIJKLMABCDE第16周HIJhiMAjklm第17周IJKLMABCDEF第18周IJKijABklma第19周JKLMABCDEFG第20周JKLjkBClmab第21周KLMABCDEFGH第22周KLMklCDmabc第23周LMABCDEFGHI第24周LMAlmDEabcd第25周MABCDEFGHIJ第26周MABmaEFbcde表1表1列出了第一批与公司签约加盟的13个剧团，分别用深色色背景下的A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L、M 表示，浅色背景下的a、b、c、d、e、f、g、h、i、j、k、l、m分别表示第二批与公司签约加盟的13家剧团，无锡1、无锡2与杭州1、杭州2分别表示位于无锡、杭州两家不同的剧场，其余城市分别代表了本城市的剧场。从表1中可以看出第一批与公司签约加盟的剧团在青岛、无锡、杭州的演出时间=14天，而在其余6个城市的演出时间=7天，因此嘉兴、扬州、温州、绍兴、衢州、东阳六个城市的6家剧场在前6个月的一半的空闲时间需要另外13个新签约加盟的剧团来演出。无锡1杭州1青岛扬州嘉兴无锡2杭州2绍兴温州衢州东阳第27周abcde第28周abcde第29周bcdef第30周bcdef第31周cdefg第32周cdefg第33周defgh第34周defgh第35周efghi第36周efghi第37周fghij第38周fghij第39周ghijk第40周ghijk第41周hijkl第42周hijkl第43周ijklm第44周ijklm第45周jklma第46周jklma第47周klmab第48周klmab第49周lmabc第50周lmabc第51周mabcd第52周mabcd表2表2列出了第二批与公司签约加盟的13个剧团，分别用蓝色背景下的a、b、c、d、e、f、g、h、i、j、k、l、m 表示，无锡1、无锡2与杭州1、杭州2分别表示位于无锡、杭州两家不同的剧场。从表1、表2中可以看出第二批与公司签约加盟的剧团在青岛、无锡、杭州的演出时间=14天，在其余6个城市的演出时间=7天，且在青岛、无锡、杭州的演出是在半年后进行的。第一批签约加盟的13支剧团6个月（按182天计算）内演出时间天，因而平均等待时间天，第二批签约加盟的13支剧团一年（按364天计算）内演出时间天，而平均等待时间天，即不同签约剧团的平均等待时间与签约加盟的批数有如下关系天，其中是某剧团签约加盟的批数由此可见随着剧团与公司签约加盟的时间往后推迟，剧团签约加盟的批数在不断增加，相应的剧团的等待时间也呈线性增加。依此类推，越往后加盟的城市在青岛，无锡，杭州巡回的演出时间将越往后推迟，这对并不希望多等时间而想尽量多演出的剧团来说是不愿发生的，也不符合公司与剧团合作双赢的标准。在此模型中，6个月（按182天计算）内，公司计需签约加盟的剧团数目在一年（按364天计算）内公司计需签约加盟的具体数目3、路线安排模型的建立（1）基本思路通过上网查找资料我们得到了以上9个城市任意两个之间的距离（见附录：城市间距里程表），分别将杭州、无锡、青岛、扬州、嘉兴、绍兴、温州、东阳、衢州这九个城市分别编号1、2、3、4、5、6、7、8、9。利用分而治之思想，由这些城市的相对地理位置和表中的所得数据可把表中的城市分为三群落分别是：1）中部城市：杭州、无锡；2）北方城市：青岛、扬州、嘉兴；3）南方城市：衢州、东阳、温州、绍兴。这样分的好处是剧团演出时尽量先在本城市群演出，然后到其他城市群演出，这样可保证路线行程最短。一般演出先从中部出发到南方（北方）去然后回到中部再到北方（南方）去，这样规划的路线比较合理。现在分别考虑从中部城市到北方城市和从中部城市到南方城市的路线安排。即1）（杭州或无锡）（青岛，扬州，嘉兴）（无锡或杭州），2）（杭州或无锡）（绍兴，温州，东阳，衢州）（无锡或杭州）以1为例考虑中部北方中部路线规划问题。则问题转化为图论中最短路径规划问题。这5个城市构成图G中的顶点，任意两个城市之间的距离可表示为边的权重。我们利用多目标动态规划策略求解，计算、（这里、是1、2、3、4、5的一个全排列）相邻两个结点的单源最短路径，即将求解G中每对结点之间的最短路径问题转化成一个多阶段决策过程。（2）倒推算法因为剧团演出的首尾城市必是杭州或无锡。中间3个北方城市可以任意排列，因此共有种方案，如下图所示，从无锡或杭州出发，按照与无锡或杭州的路径长度划分阶段。图1阶段1包含的出发城市有无锡，杭州；阶段2包含的出发城市有青岛，扬州，嘉兴；阶段3包含的出发城市有青岛，扬州，嘉兴；阶段4包含的出发城市有青岛，扬州，嘉兴；阶段5包含的出发城市有无锡，杭州；这种划分可以明确每个城市的顺序，因为阶段的划分具有如下性质：1) 阶段i的取值只于阶段i+1有关；2) 每个阶段的顺序是确定的，不能调换任意两个阶段的顺序；我们从阶段5的城市出发，按照阶段的顺序倒退至阶段1的城市，在求解的各个阶段，利用了k阶段与k+1阶段之间的如下关系：其中k=5,4,3,2,1，其中是k阶段的的城市x由此得出算法为：dis1,20;for kdownto 0 do 倒序枚举阶段for x取遍k阶段的所有城市dobegindixx; 初始化最短路径为最大for y取遍k+1阶段的所有城市doif disy+mapx,ydisxthen disx disy+mapx,y; 累计消耗更新为最短路径end;for输出disa;（3）求解最短路径根据上述算法思想，我们求得分别从杭州、无锡出发至杭州、无锡返回四种情况下的最短路径如表4所示：阶段1阶段2阶段3阶段4阶段5路程总长无锡青岛扬州嘉兴杭州2972无锡扬州青岛嘉兴杭州2972无锡青岛扬州嘉兴无锡3099无锡扬州青岛嘉兴无锡3099无锡嘉兴青岛扬州无锡3099无锡嘉兴扬州青岛无锡3099杭州青岛扬州嘉兴杭州3226杭州嘉兴扬州青岛杭州3226杭州嘉兴青岛扬州无锡2972杭州嘉兴扬州青岛无锡2972表3同理中部南方中部的路线安排也可根据上述倒推算法的思想来规划。剧团演出的首尾城市必是无锡或杭州，中间四个城市可以任意排列，因此共有种方案，共分6个阶段。我们求得分别从杭州、无锡出发至杭州、无锡返回四种情况的最短路径如表4所示：阶段1阶段2阶段3阶段4阶段5阶段6路程总长杭州绍兴温州东阳衢州无锡1653杭州衢州东阳温州绍兴无锡1653杭州绍兴温州东阳衢州杭州1325杭州衢州东阳温州绍兴杭州1325无锡绍兴温州东阳衢州无锡1981无锡衢州东阳温州绍兴无锡1981无锡绍兴温州东阳衢州杭州1653无锡衢州东阳温州绍兴杭州1653表4实际上表3与表4之间存在某些联系，如中部北方中部中选取无锡为演出的起点与终点，则剧团在中部南方中部演出时必选杭州为起点与终点，因此综合表3与表4分析计算，得到最终的最短路线共有8条，分别用表5列出：1234567891011路程总长无锡1青岛扬州嘉兴无锡2杭州1衢州东阳温州绍兴杭州24424无锡1扬州青岛嘉兴无锡2杭州1衢州东阳温州绍兴杭州24424无锡1嘉兴青岛扬州无锡2杭州1衢州东阳温州绍兴杭州24424无锡1嘉兴扬州青岛无锡2杭州1衢州东阳温州绍兴杭州24424无锡1青岛扬州嘉兴无锡2杭州1绍兴温州东阳衢州杭州24424无锡1扬州青岛嘉兴无锡2杭州1绍兴温州东阳衢州杭州24424无锡1嘉兴青岛扬州无锡2杭州1绍兴温州东阳衢州杭州24424无锡1嘉兴扬州青岛无锡2杭州1绍兴温州东阳衢州杭州24424表5表5中列出了最终的最短路径方案。4、 建立剧团分批模型 （1）剧团等待时间分析剧团到青岛，无锡，杭州三个城市演出时间都是14天，而去另外6个城市演出的时间都是7天，是前者的一半。单位时间内去青岛，无锡，杭州演出的剧团数目是其余6个城市的一半，这必然导致越往后加盟的剧团的等待时间越多。现改进模型，减少去青岛，无锡，杭州3个城市5家剧团的演出时间，可使每个剧团的平均等待时间减少。为了简化模型我们假设每个剧团去每个城市得演出时间=7天，则可得到6个月（按182天计算）内签约剧团的数目，这26家剧团在这11家剧场巡回演出，若同时签约26家剧团，则这26家剧团的平均等待时间天，若第一批有11家剧团，第二批有15家剧团。则第一批剧团的平均等待时间第二批剧团的平均等待时间天，为尽量使两批剧团的平均等待时间相等，我们把26家剧团平均分成2批，即每批有13家剧团。此时每家剧团的平均等待时间天，（2）钟盘原理安排演出顺序为了方便排列，我们引进钟盘原理，简而言之即一组元素的排列随着时间的变化，当某个元素像钟表上的指针一样依次扫过钟表上的每个刻度时，其他的元素跟随该元素也都能扫过所有的刻度。针对此方案我们在上述模型的基础上改进了剧团的等待时间，得出了新的分批演出方案用表6列出。杭州1无锡1青岛扬州嘉兴无锡2杭州2衢州温州东阳绍兴第1周abcdefghijk第2周bcdefghijkl第3周cdefghijklm第4周defghijklma第5周efghijklmab第6周fghijklmabc第7周ghijklmabcd第8周hijklmabcde第9周ijklmabcdef第10周jklmabcdefg第11周klmabcdefgh第12周lmabcdefghi第13周mabcdefghij第14周ABCDEFGHIJK第15周BCDEFGHIJKL第16周CDEFGHIJKLM第17周DEFGHIJKLMA第18周EFGHIJKLMAB第19周FGHIJKLMABC第20周GHIJKLMABCD第21周HIJKLMABCDE第22周IJKLMABCDEF第23周JKLMABCDEFG第24周KLMABCDEFGH第25周LMABCDEFGHI第26周MABCDEFGHIJ表6表6中分别用a、b、c、d、e、f、g、h、i、j、k、l、m和A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L、M代表这两批剧团。其中无锡1、无锡2，杭州1、杭州2是为了好区分这两个城市的四家剧场。上述路线际并未考虑在无锡、杭州演出时前后在这两个城市演出的时间间隔不能小于45天的限制条件。由于所有的具体都有两周时间未曾演出，因此考虑到所有的剧团平均等待时间天通过分析表6，我们计算得到所有剧团经过杭州与无锡前后的时间间隔都小于45天，因此上述方案还需继续改进。现在我们令这两批剧团交替演出，即每批剧团演出一周，歇息一周。理论上这两批剧团经过杭州与无锡前后时间间隔分别为天，与天，都大于45天，符合要求。根据上文分析我们得到如下表格：杭州1无锡1青岛扬州嘉兴无锡2杭州2衢州东阳温州绍兴第1周abcdefghijk第2周ABCDEFGHIJK第3周bcdefghijkl第4周BCDEFGHIJKL第5周cdefghijklm第6周CDEFGHIJKLM第7周defghijklma第8周DEFGHIJKLMA第9周efghijklmab第10周EFGHIJKLMAB第11周fghijklmabc第12周FGHIJKLMABC第13周ghijklmabcd第14周GHIJKLMABCD第15周hijklmabcde第16周HIJKLMABCDE第17周ijklmabcdef第18周IJKLMABCDEF第19周jklmabcdefg第20周JKLMABCDEFG第21周klmabcdefgh第22周KLMABCDEFGH第23周lmabcdefghi第24周LMABCDEFGHI第25周mabcdefghij第26周MABCDEFGHIJ表7分析表8可以得出如下结果：a、f、g、h、i、j、k、l、m、A、F、G、H、I、J、K、L、M先后经过无锡的时间间隔均为49天；b、c、d、e、B、C、D、E先后经过无锡的时间间隔均为119天；a、b、c、d、e、f、A、B、C、D、E、F先后经过杭州的时间间隔均为91天；g、h、i、j、k、l、m、G、H、I、J、K、L、M先后经过杭州的时间间隔均为77天；且考虑所有剧团的平均等待时间天。六、模型的检验 6.1 确定从哪几个方面检验模型 1）演出场数 即某个剧团半年时间内得到的演出场数，这一因素对剧团来说是最主要，直接决定了剧团的收入。 2）总路程 这里我们统计的是一个剧团按照公司的演出安排半年内所走的路程，这关系到剧团的利益和公司所付的路费。为便于说明影响因素的权重，我们统一取科学计数法表示时的有效数字作为总路程代表. 3）演出时间间隔的均匀度 每个剧团都有不同的演出安排，统计了26个剧团从一个城市到另一个城市演出的时间间隔，并定义如下计算公式：其中，表示到下一个剧场开始演出的日期表示前一个剧场演出完毕的日期。而平均演出时间间隔为其中，表示剧场数目。用方差来描述每个剧团演出时间间隔均匀度6.2演出格式转换及影响因素的权重 把表6转换为便于进行数学处理的数字格式，利用EXCEL对影响因素值进行统计得到表7：编号剧团演出场数总路线长编号剧团演出场数总路线长1a774.14753.5514A774.14753.552b773.22553.5515B773.22553.553c773.62553.5516C773.62553.554d773.96453.5517D773.96453.555e774.24053.5518E774.24053.556f774.14753.5519F774.14753.557g774.20253.5520G774.20253.558h774.37453.5521H774.37453.559i774.21153.5522I774.21153.5510j774.07753.5523J774.07753.5511k774.42432.8524K774.42432.8512l774.42432.8525L774.42432.8513m774.42432.8526M774.42432.85表8从表8我们可以看出各剧团的演出行程不尽相同，通过分析计算我们给出首先对所确定的主要影响因素进行量化处理，从而给出影响因素的量化值，不妨设强度集为很强，较强，强，稍强，不强，对应的数值为5，4，3，2，1.根据实际情况取偏大型分布隶属 （1）其中为待定系数，实际上强度为“很强”时则隶属度为1，即；当强度为“强”时则隶属度为0.8；当强度为“不强”时，则认为隶属度为0。01，即；于是可以确定出将其代入（1）式可得隶属函数 （2）经计算则强度集很强，强，较强，稍强，不强的量化值为。利用此量化值对影响因素进行赋权处理结果见下表；对于表中的赋予值，我们是根据对剧团的了解进行赋值，但实际中需要对每个剧团的调查进行赋值。 表8：隶属函数的确定影响因素演出场数总路程演出时间间隔均匀度赋予值很强强较强隶属值10.80.812归一后权值0.370.290.34表9 6.3 建立利弊数量指标 综合考虑以上影响因素，可以建立赛程对球队利弊的数量指标-利弊指数，记为；其中为某个剧团第个影响因素值，为第个影响因素权重。（3） 利用极差规范化后所得的值，建立各剧团各影响因素值的矩阵：，其中为第个剧团第个影响因素值。取上表归一后的权向量：，则赛程对每支球队利弊指数为 若的值越大则表示对剧团越有利，反之则越不利。利用Matlab软件计算，将计算的结果进行从小到大的排列，结果见下表利弊指数排名名次剧团名次剧团1k40.94214G47.8792K40.94215e47.8993l40.94216E47.8994L40.94217f47.8995m40.94218F47.8996M40.94219d47.9157j47.63220D47.9158J47.63221c47.9189i47.74822C47.91810I47.74823b47.92611h47.84624B47.92612H47.84625a47.96513g47.87926A47.965表10从表中可以直观的看出各个剧团的利弊指数，我们按照利弊指数值做了升序排列，利弊指数值越低说明演出安排对他们越有利，而相对的，指数值越高则越不利。当然，演出的安排是很难对每个剧团都公平的，因为在安排的过程只能考虑主要影响因素，所以对于剧团而言是不可能利弊一致的，即剧团与剧团之间存在一个量化差值，公司的演出安排就是尽可能的缩小各剧团之间的量化差值，分析表中的数据可知：每个剧团的值都存在差异（量化差值），从总体上看值波动不大，故演出安排对每个剧团而言比较公平。七、 模型的推广（1） 在体育赛事中，可以用此方案中的钟盘原理安排参赛队伍的比赛日程。（2） 在近几年出现的城市公交车调度方案中，也可采用此方案。八、 模型的优缺点评价（1）优点 1.模型应用型强，只要给出基本的约束条件，利用钟盘原理通过改变路线，运用模型就能得到理想的结果，而约束条件只随题目的基本情况而改变，便于修改； 2.在确定剧团加盟数时，我们通过仔细分析约束条件及演出可行性，从而推出最少需要剧团数，此结果比较理想；3.规划过程中对加盟的剧团采用“同时加盟,分批演出”的原则，这样既满足约束条件，也是每个剧团演出时有时间间隔，可以用于城市间的往来以及人员的休整，是安排方案更加人性化。4.模型检验时我们针对不同的剧团考虑了连续演出队此剧团的影响，并对利弊因素进行量化，直观明了； （2）缺点1.在统计路线的里程时数据采集只通过网络查询，并假设路费只于城市之间的距离成正比，考虑的因素较少；2.忽略了剧团在不同的剧场演出费用的影响因素，而是简单的认为所有的剧团的演出费用都一样；3.由于能力的局限，模型的建立忽略掉许多因素本该考虑的因素如：某个剧团在不同剧场的演出场数应是变化函数，不同剧团上座率的考虑等。九、 问题汇总回答1剧场演出长期安排方案由上文的分析知，每批与公司签约加盟的剧团数目至少为家。（1）这22个剧团分两批按钟盘原理在这9个城市之间的11家剧场巡回演出；（2）每个剧团每演出1轮（7天）就有一周的空余时间，恰好可以用在城市间往来和人员的休整，人性化的安排方案使剧团有好的演出效果；（3）在不出现意外的情况下尽量使每个剧团在每个城市都能演出，这样可以提高剧团的知名度；同时剧团可以替公司做宣传，扩大公司的影响，长久来说这对公司和剧团都是有利的；（4）公司可适当增加签约加盟的剧团数目，这样可以在出现意外时用额外的剧团来演出，并可提高公司的知名度，使剧团之间存在一种良性竞争关系，这对公司来说是有利的。图2图2中每个城市代表位于该城市的剧场，杭州1、杭州2与无锡1、无锡2分别代表位于杭州和无锡同城的不同剧场。剧场的长期演出安排可以用图2来形象的表示，即某剧团从图中某个城市开始演出，并在演出结束后按顺时针（图中箭头方向）到下一城市相应的剧场演出即可。2、公司经理参阅方案剧团的演出效果和剧场观众的上座率直接影响到了公司的效益，因此选择合适的剧团数目，规划针对每个剧团合理化、简洁化、人性化的演出路线是至关重要的。此外合理的路线可使公司在交通费用上的支出减到最少。仔细分析考虑约束条件，并通过具体定性定量的计算，我们发现若某剧团到无锡、青岛、杭州三个城市的任意一个剧场演出14天，一方面不容易得到使剧团到这无锡杭州的时间间隔大于45天的安排方案，一方面不便于整体安排剧团的演出行程，因此我们令每个剧团在每个剧场的演出时间都是7天。通过计算我们得出半年内公司需签约加盟的剧团数26支，并把这26支剧团分成两批，两批剧团交替演出。对同批内的剧团应钟盘原理，按图2所示从图中某个剧场开始演出，并在演出结束后按顺时针（图中箭头方向）到下一城市相应的剧场演出。这样分的好处是：（1） “同时签约，分批演出”产生的空余时间可用于人员的休整，演员有好的精神状态，可是演出效果达到最好。（2） 采用“同时签约，分批演出”的方案可以满足约束条件，并在某剧团此轮演出结束后，有至少一周的空余时间，这些空余时间可以用于城市间的往来。（3） 至少一周的空余时间可以使剧团由充裕的时间往来于城市之间。（4） 即使在在某剧团出现意外不能按时到达演出地点演出时，我们也可以让空余的剧团来演出。同时我们用倒推算法求出距离最短的路径，以节省公司的交通费开支。公司所需支付的各类费用及总费用关系如下：其中是公司所需支付的总加盟费，是公司需支付总演出费，是公司所需支付的总交通费。其中是所加盟的剧团的数量，是公司付给一个剧团一次的加盟费；其中是第 个剧团的整个加盟期内的演出场数，是公司付给剧团每演出一场的演出费；其中是所加盟的剧团的数量，是一个剧团走过单位距离的交通费；以下是前半年内剧团的演出日程安排。杭州1无锡1青岛扬州嘉兴无锡2杭州2衢州东阳温州绍兴第1周abcdefghijk第2周ABCDEFGHIJK第3周bcdefghijkl第4周BCDEFGHIJKL第5周cdefghijklm第6周CDEFGHIJKLM第7周defghijklma第8周DEFGHIJKLMA第9周efghijklmab第10周EFGHIJKLMAB第11周fghijklmabc第12周FGHIJKLMABC第13周ghijklmabcd第14周GHIJKLMABCD第15周hijklmabcde第16周HIJKLMABCDE第17周ijklmabcdef第18周IJKLMABCDEF第19周jklmabcdefg第20周JKLMABCDEFG第21周klmabcdefgh第22周KLMABCDEFGH第23周lmabcdefghi第24周LMABCDEFGHI第25周mabcdefghij第26周MABCDEFGHIJ3、方案推广及应急预案1方案推广（1）在近几年的城市公交车调度中，可以借鉴本文中的分治思想与钟盘原