高考数学 第十五章 第一节 坐标系与曲线的极坐标方程课件 理 苏教版.ppt

第十五章坐标系与参数方程第一节坐标系与曲线的极坐标方程 1 极坐标系一般地 在平面上取一个定点o 自点o引一条射线ox 同时确定一个长度单位和计算角度的正方向 通常取逆时针方向为正方向 这样就建立了一个极坐标系 其中 点o称为 射线ox称为 设m是平面上任一点 表示om的长度 表示以射线ox为始边 射线om为终边所成的角 那么 每一个有序实数对 确定一个点的位置 其中 称为点m的 称为点m的 有序数对 称为点m的 极点 极轴 极 径 极角 极坐 标 2 极坐标与直角坐标的互化当极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合 极轴与x轴的正半轴重合 两种坐标系中取相同的长度单位时 平面内任意一点p的直角坐标与极坐标分别为 x y 和 则有互化公式和通常情况下 将点的直角坐标化为极坐标时 取 0 0 2 3 简单图形的极坐标方程 1 直线的极坐标方程 经过点m 0 0 且与极轴成 角的直线的极坐标方程为 特别地 过极点且与极轴成 角的直线的极坐标方程为 与极轴垂直且经过点 a 0 其中a 0 的直线的极坐标方程为 sin 0sin 0 cos a 与极轴平行且在极轴上方 与极轴距离为b的直线的极坐标方程为 与极点距离为p 且与过极点与极轴成 角的直线oh垂直的直线的极坐标方程为 sin b cos p 2 圆的极坐标方程 圆心为m 0 0 半径为r的圆的极坐标方程为 特别地 以极点为圆心 半径为r的圆的极坐标方程为 圆心在极轴上且过极点 半径为r的圆的极坐标方程为 圆心在过极点与极轴成角的射线上 且过极点 半径为r的圆的极坐标方程为 2 2 0 cos 0 02 r2 0 r 2rcos 2rsin 圆心在 0 0 经过极点的圆的极坐标方程为 3 圆锥曲线的极坐标方程 设定点f到定直线l的距离为p e为离心率 则圆锥曲线的极坐标方程是当0 e 1时 方程表示 当e 1时 方程表示 当e 1时 方程表示 其中 r 2 0cos 0 抛物线 双曲线 椭圆 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 在极坐标系中 点的坐标表示不惟一 2 极坐标方程与直角坐标方程y x不表示同一曲线 3 极坐标方程 2cos 与 cos 2相同 4 圆的圆心的一个极坐标是 5 设点a的极坐标为直线l过点a且与极轴所成的角为则直线l的极坐标方程既能表示为又能表示为能表示 解析 1 正确 如直角坐标系中的点若以原点o为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 则点p的极坐标为 k z 2 错误 根据直线的极坐标方程规定 当直线l过极点 即 0 0时 直线l的极坐标方程即为 故与直角坐标方程y x都表示同一直线 3 错误 极坐标方程 2cos 表示的曲线是圆 而 cos 2表示直线 4 正确 因原方程可化为故其圆心的极坐标可表示为 5 正确 由条件可知 直线l的极坐标方程为 sin 2 0 可整理得或答案 1 2 3 4 5 考向1极坐标的有关概念 典例1 2012新课标全国卷改编 已知曲线l的极坐标方程是 2 正方形abcd的顶点都在l上 且a b c d依逆时针次序排列 点a的极坐标为求其余各点b c d的极坐标 思路点拨 因正方形与圆既是轴对称图形 又是中心对称图形 故通过旋转来直接写出b c d三点坐标 规范解答 因曲线l的方程是 2 表示以极点为圆心 以2为半径的圆 故正方形的中心也是极点 将点a逆时针旋转即可得 互动探究 本题中的点b c d的极坐标还可表示成其他形式吗 解析 可以 若按顺时针次序考虑 则分别旋转后 得若按中心对称考虑 则求得点后 即可得 拓展提升 极坐标系与点的极坐标 1 极坐标有四个要素 极点 极轴 长度单位 角度单位及它的方向 2 如果 是点m的极坐标 那么 2k 或 2k 1 k z 都可以作为点m的极坐标 但这样建立的极坐标系 平面上的点与它的极坐标之间就 不是一一对应关系 由极径的意义可知 0 当极角 的取值范围是 0 2 时 平面上的点 除去极点 就与极坐标 0 建立一一对应的关系 我们约定 极点的极坐标是极径 0 极角 可以取任意角 变式备选 已知 abc的三个顶点的极坐标分别为试判断 abc的形状 并求出它的面积 解析 在极坐标系中 设极点为o 由已知得 又oa ob 5 由余弦定理得所以同理 于是ac bc 所以 abc为等腰三角形 又ab oa ob 5 所以 abc中ab边上的高所以 考向2直角坐标与极坐标的互化 典例2 2012 辽宁高考 在直角坐标xoy中 圆c1 x2 y2 4 圆c2 x 2 2 y2 4 在以o为极点 x轴正半轴为极轴的极坐标系中 分别写出圆c1 c2的极坐标方程 并求出圆c1 c2的交点坐标 用极坐标表示 思路点拨 将直角坐标方程化为极坐标方程 联立 求得交点的极坐标 规范解答 由条件知 在直角坐标系中 圆c1的圆心是原点 半径为2 故极坐标方程为 2 同理在直角坐标系中 圆c2的圆心是 2 0 半径为2 故极坐标方程为 4cos 联立方程组得故圆c1 c2的交点极坐标为 拓展提升 极坐标与直角坐标互化公式的特点在极坐标与直角坐标相互转化的两组公式中 把极坐标化为直角坐标得到的点的坐标是惟一的 但在把直角坐标化为极坐标时 所得的极坐标就不惟一 为了避免这一麻烦 通常在没有特别说明时 可取 0 0 2 最小非负角 有时也可取 绝对值最小角 变式训练 若曲线的极坐标方程为 2sin 4cos 以极点为原点 极轴为x轴正半轴建立直角坐标系 则曲线的直角坐标方程是什么 解析 根据已知方程 在方程两边都乘以 得 2 2 sin 4 cos 从而得解析式为 x2 y2 4x 2y 0 考向3极坐标的应用 典例3 2012 江苏高考 在极坐标中 已知圆c经过点圆心为直线与极轴的交点 求圆c的极坐标方程 思路点拨 根据圆c圆心为直线与极轴的交点求出圆心坐标 根据圆c经过点p求出圆c的半径 从而得到圆c的极坐标方程 规范解答 在直线中 当 0时 由得 1 从而圆心坐标为c 1 0 又圆c经过点故半径为故圆c经过极点 从而圆c的极坐标方程为 2cos 拓展提升 求曲线的极坐标方程的基本步骤第一步 建立适当的极坐标系 第二步 在曲线上任取一点p 第三步 根据曲线上的点所满足的条件写出等式 第四步 用极坐标 表示上述等式 并化简得极坐标方程 第五步 证明所得的方程是曲线的极坐标方程 通常 第五步的过程不必写出 只要对方程进行检验 最后加以确认即可 变式训练 过原点的一动直线交圆x2 y 1 2 1于点q 在直线oq上取一点p 使p到直线y 2的距离等于pq 用极坐标法求动直线绕原点一周时点p的轨迹方程 解析 以o为极点 ox为极轴 建立极坐标系 如图所示 过p作pr垂直于直线 sin 2 则有pq pr 设p q 0 则有 0 2sin 因为pr pq 所以 2 sin 2sin 所以 2或sin 1 即为点p的轨迹的极坐标方程 化为直角坐标方程为x2 y2 4或x 0 1 2013 盐城模拟 已知 o1和 o2的极坐标方程分别是 2cos 和 2asin a是非零常数 1 将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程 2 若两圆的圆心距为 求a的值 解析 1 由 2cos 得 2 2 cos 所以 o1的直角坐标方程为x2 y2 2x 即 x 1 2 y2 1 由 2asin 得 2 2a sin 所以 o2的直角坐标方程为x2 y2 2ay 即x2 y a 2 a2 2 o1与 o2的圆心之间的距离为 解得a 2 2 过点且和极轴成角的直线 解析 设m 为直线上一点 b为直线与极轴的交点 oa 3 由已知所以所以 又在 moa中 根据正弦定理得又将展开化简可得所以过且和极轴成角的直线为 3 2013 常州模拟 在极坐标系 0 2 中 求曲线 2sin 与 cos 1的交点q的极坐标 解析 以极点为坐标原点 极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系 则曲线 2sin 可化为 x2 y 1 2 1 曲线 cos 1可化为x 1 由可得交点坐标为 1 1 所以交点q的极坐标是 4 从原点o引直线交直线2x 4y 1 0于点m p为om上一点 已知op om 1 求p点的轨迹的极坐标方程 解析 以o为极点 x轴正方向为极轴建立极坐标系 直线方程化为2 cos 4 sin 1 0 设m 0 0 p 则2 0cos 0 4 0sin 0 1 0 又知代入得 2cos 4sin 5 2013 扬州模拟 在极坐标中 圆c的方程为以极点为坐标原点 极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系 直线l的方程为y 2x 1 判断直线l与圆c的位置关系 解析 两边同乘以 得 2 2 sin 2 cos 得圆c的直角坐标方程为 x 1 2 y 1 2 2 圆心 1 1 到直线l的距离所以直线l与圆c相交 6 已知圆o1和圆o2的极坐标方程分别为 2 1 把圆o1和圆o2的极坐标方程化为直角坐标方程 2 求经过两圆交点的直线的极坐标方程 解析 1 2 2 4 即x2 y2 4 x2 y2 2x 2y 2 0 2 将两圆的直角坐标方程相减 得经过两圆交点的直线方程为x y 1 化为极坐标方程为 cos sin 1 即 7 在极坐标系下 已知圆o cos sin 和直线l 1 求圆o和直线l的直角坐标方程 2 当 0 时 求直线l与圆o公共点的一个极坐标 解析 1 圆o cos sin 即 2 cos sin 圆o的直角坐标方程为x2 y2 x y 即x2 y2 x y 0 直线l 即 sin cos 1 则直线l的直角坐标方程为y x 1 即x y 1 0 2 由得 0 故直线l与圆o公共点的一个极坐标为 8 点a在直线x 4上移动 opa为等腰