高中数学 3.2简单的三角恒等变换（二）课件 新人教A版必修4.ppt

3 2简单的三角恒等变换 二 类型一角的变换 典型例题 1 的值为 2 求证 解题探究 1 根据题1式子的特点 首先应怎样变换找思路 2 题2中根据三角恒等式的特点 可采取何种证明方式 探究提示 1 根据式子的特点 首先应通分 再用常值代换的思路化简 2 可采取从左到右的证明方式 解析 1 原式 答案 42 左边右边 原题得证 拓展提升 角的三种常用变换技巧 1 常见的配角变换 2 2 辅助角变换 其中tan 3 注意常值的代换 用某些三角函数值代替某些常数 使之代换后能用相关公式 如1 sin2 cos2 1 sin90 sin30 cos30 等 变式训练 2013 新课标全国卷 设 为第二象限角 若则sin cos 解题指南 利用两角和的正切公式将展开化简 通过切化弦 得到目标式sin cos 然后利用三角函数的性质 求得sin cos 的值 解析 因为 为第二象限角 所以角 的终边落在直线y x的左侧 故sin cos 0 由得即所以设sin cos x 则cos sin 2x 将这两个式子平方相加得 即答案 类型二与三角函数性质有关的问题 典型例题 1 函数f x cos2x sinxcosx的最大值是 a 2b c d 2 函数f x 1 tanx cosx的最小正周期为 a 2 b c 3 d 3 使函数f x sin 2x cos 2x 为奇函数的 的一个值是 解题探究 1 本题应化成什么样的三角形式才更容易确定最值 2 函数f x asin x b的周期为多少 3 若函数f x asin x 为奇函数 则 应满足什么条件 探究提示 1 应转化成f x asin x b的形式更易求最值 2 3 k k z 解析 1 选c 所以当时 f x 取得最大值2 选a 因为f x 1 tanx cosx cosx sinx 所以f x 的最小正周期为2 3 选d f x sin 2x cos 2x 当时 f x 2sin 2x 2sin2x为奇函数 互动探究 题3中 若求使得f x 的图象关于对称的 值 正确答案为哪一个 解析 选d f x sin 2x cos 2x 当时 即故k 1时 拓展提升 运用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 1 运用和 差 倍角公式化简 2 统一化成f x asin x bcos x k的形式 3 利用辅助角公式化为f x asin x k的形式 研究其性质 变式训练 函数f x sinx cosx x 0 的单调递增区间是 解题指南 求函数的单调区间时 一定要关注函数的定义域 解析 选d 的单调递增区间为令k 0得增区间为又x 0 故选d 类型三三角函数的实际应用 典型例题 1 如图是半径为1的半圆 且pqrs是半圆的内接矩形 设 sop 则其值为 时 矩形的面积最大 最大面积的值为 2 如图所示 已知矩形abcd中 ab a ad b 试求其外接矩形efgh面积的最大值 解题探究 1 要确定矩形面积的最大值 需先确定哪些关键点 2 求解三角函数的最值问题应注意什么 探究提示 1 先确定好表示矩形面积的长和宽是关键点 2 求解三角函数的最值时 一般需利用三角函数的有界性来解决 此时应注意角的范围 解析 1 sop 则sp sin os cos 故s矩形pqrs sin 2cos sin2 故 为45 时 s矩形pqrs的面积最大 最大值为1 答案 45 1 2 设 cbf 则 eab eb asin bf bcos ae acos ha bsin 所以s矩形efgh bsin acos bcos asin b2sin cos absin2 abcos2 a2sin cos sin2 ab 由 sin2 1 知当 45 时 s矩形efgh取得最大值为 a2 b2 ab 拓展提升 应用三角函数解决实际问题的策略一般情况下 引入恰当的辅助角 建立有关辅助角的三角函数表达式 并利用和 差 倍 半角公式进行化简整理 由于引入辅助角的恰当与否直接影响该题的计算量 故求解时多注意分析题意 恰当引入 提高解题能力 变式训练 在 abc中 bac 45 bc边上的高ad把bc分成bd 2 cd 3两部分 则 abc的面积为 解析 设 cad bad 则 45 且又tan 所以解得ad 6 故 abc的面积s 5 6 15 答案 15 规范解答 关于三角函数性质的综合问题 典例 条件分析 规范解答 1 由sinx 0得x k k z 故f x 的定义域为 x r x k k z 2分因为f x 2cosx sinx cosx 4分所以f x 的最小正周期为t 6分 2 函数y sinx的单调递增区间为 k z 8分由 x k k z 得x k k z 10分所以f x 的单调递增区间为 k z 12分 失分警示 防范措施 1 熟记三角函数的性质对于三角函数的性质要记准 熟练地应用 如本例中求f x 的单调递增区间 必须利用函数y sinx的单调区间 2 熟练应用恒等变换公式对于倍角公式 两角和与差的三角公式 辅助角公式 不仅要熟练正用 还要逆用 变形应用 如本例中由sin2x cos2x 1到sin 2x 1的转化 类题试解 2012 天津高考改编 已知函数x r 1 求函数f x 的最小正周期 2 求函数f x 在区间上的最大值和最小值 解析 1 f x 所以函数f x 的最小正周期为t 2 因为函数y sinx的单调递增区间为故函数f x 的单调递增区间为 k z 由此可知函数f x 在区间上是增函数 故f x min 1 f x max 1 cos275 cos215 cos75 cos15 的值是 解析 选b 原式 sin215 cos215 sin15 cos15 2 若函数f x sin2x x r 则f x 是 a 最小正周期为的奇函数b 最小正周期为 的奇函数c 最小正周期为2 的偶函数d 最小正周期为 的偶函数 解析 选d f x 所以最小正周期为t 又x r 且f x cos 2x cos2x f x 所以f x 是最小正周期为 的偶函数 3 已知函数y sinx cosx x r 该函数的图象可由y 2sinx x r 的图象经过怎样的平移得到 a 向右平移个单位b 向左平移个单位c 向右平移个单位d 向左平移个单位 解析 选b 可由y 2sinx的图象向左平移个单位得到 4 在rt abc中 斜边ab的长为2 则 abc的面积的最大值为 解析 由题意 两直角边bc 2cosb ac 2sinb 故 abc的面积为s 2sinb 2cosb sin2b 所以最大值为1 答案 1 5 函数的值域为 解析 所以函数的值域是 2 2 答案 2 2 6 如图 屋顶的断面是等腰三角形abc