高考数学 第十六章 第一节 不等式的基本性质、含有绝对值的不等式课件 理 苏教版.ppt

第十六章不等式选讲第一节不等式的基本性质 含有绝对值的不等式 1 不等式的基本性质 1 对于任意两个实数a b 有且只有以下三种情况之一成立 a b ab b c a b a b 0 a b 0 b a a c a c b c a b c d a b c 0 a b cb 0 c d 0 a b 0 n n 且n 1 a b 0 n n 且n 1 a c b d ac bc ac bd an bn ac bc 2 含绝对值不等式的解法 1 含一个绝对值的不等式的解集 x a x a x x a或x a x c ax b c x ax b c或ax b c 2 含两个绝对值的不等式的解集 x a x b c c 0 和 x a x b c c 0 型不等式的解法 利用绝对值不等式的几何意义求解 体现了数形结合的思想 利用 零点分段法 求解 体现了分类讨论的思想 通过构造函数 利用函数的图象求解 体现了函数与方程的思想 3 含有绝对值的不等式的性质 1 a b a b 2 a b a b 3 a b a b a b 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 对于两个实数a b 它们在数轴上对应的点分别为a b 那么 a b 的几何意义是点a b之间的距离 2 设a b 0 则 a b 是成立的充分不必要条件 3 当a b r时 不等式成立的充要条件是a2 b2 0 4 不等式在进行乘 除 运算时 乘 除 的数或式的符号不会影响不等号的方向 解析 1 正确 几何意义表示点a b之间的距离是正确的 2 错误 因为a b 0 且a b 故从而反之 若则而a b 0 故a b 所以是 充要条件 3 正确 因为 a b a b 故当 a b 0时 原式恒成立 充要条件是a2 b2 0 4 错误 当数或式小于0时 不等式两边同乘 除 此数或式 不等号要改变方向 答案 1 2 3 4 考向1不等式性质的简单应用 典例1 设实数x y满足3 xy2 8求的最大值 思路点拨 可以从结论开始 设所求的量为参数t 通过消元法求出参数的取值范围 也可以从已知条件出发 将条件中的整体设成参数t s 然后用其表示x y 从而求的取值范围 规范解答 方法一 设则代入已知条件得 即两式相乘得2 t 27 所以的最大值是27 方法二 设则从而由题设条件知 于是即所以的最大值是27 拓展提升 不等式性质求最值的步骤及注意问题 1 应用不等式的性质求最值时 首先将所求式子用已知的式子表示出来 再应用不等式的基本性质求解 2 不等式的性质是不等式变形的理论依据 运用不等式的性质时 应注意不等式成立的条件 切忌用似是而非的理由代替不等式的性质 变式训练 已知求的范围 解析 又 又 即 考向2含有绝对值不等式的解法 典例2 2012 新课标全国卷 已知函数f x x a x 2 1 当a 3时 求不等式f x 3的解集 2 若f x x 4 的解集包含 1 2 求a的取值范围 思路点拨 1 将a 3代入函数f x 然后通过绝对值零点分区间讨论得不等式f x 3的解集 2 解不等式f x x 4 得解集 由区间 1 2 是解集的子集确定a的取值范围 规范解答 1 当a 3时 当x 2时 由f x 3得 2x 5 3 解得x 1 当2 x 3时 f x 3无解 当x 3时 由f x 3得2x 5 3 解得x 4 所以f x 3的解集为 x x 1或x 4 2 f x x 4 x 4 x 2 x a 当x 1 2 时4 x 2 x x a 2 a x 2 a 由条件得 2 a 1且2 a 2 即 3 a 0 故满足条件的a的取值范围为 3 0 拓展提升 含有绝对值不等式的解法含有绝对值不等式的解法主要是转化为不含绝对值的不等式或不等式组处理 而去掉绝对值的方法主要有以下三种 1 利用常见的等价命题 2 对绝对值内的式子符号进行讨论 3 两边平方 必须保证两边都是正数 变式训练 设函数f x x a 3x a 0 1 当a 1时 求不等式f x 3x 2的解集 2 如果不等式f x 0的解集为 x x 1 求a的值 解析 1 当a 1时 不等式f x 3x 2可化为 x 1 2 x 1或x 3 所以不等式f x 3x 2的解集为 x x 1或x 3 2 因为f x 0 所以 x a 3x 0 可化为 或 即或因为a 0 所以该不等式的解集是再由题设条件得 a 2 考向3绝对值三角不等式的应用 典例3 2012 江苏高考 已知实数x y满足 x y 2x y 求证 y 思路点拨 从本题特征观察 可利用绝对值三角不等式证明 规范解答 由条件得由条件得从而 2x 2y y 2x 2x 2y y 2x 从而 拓展提升 1 解决含有绝对值的不等式的证明题的一般思路对于含有绝对值的不等式的证明 一是通过平方法 换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明题 二是直接应用绝对值三角不等式 通过适当的添 拆项证明 2 含有绝对值的不等式的最值问题的求解方法 1 利用绝对值几何意义去掉绝对值号求解 2 利用绝对值不等式定理 a b a b a b 求解 变式训练 对于实数x y 若 x 1 1 y 2 1 则 x 2y 1 的最大值为 解析 根据条件有 x 2y 1 x 1 2 y 2 2 x 1 2 y 2 2 x 1 1 y 2 1 x 2y 1 1 2 1 2 5 答案 5 1 若不等式 3x b 4的解集中的整数有且仅有1 2 3 求b的取值范围 解析 由 3x b 4得 4 3x b 4 即 不等式 3x b 4的解集中的整数有且仅有1 2 3 则得 5 b 7 2 设不等式f x f 1 t2 求实数t的取值范围 解析 的解集是 1 3 0且 1 3是的两根 得 函数图象的对称轴方程为且f x 在 1 上是增函数 又 7 t 7 1 1 t2 1 则由f 7 t f 1 t2 得7 t 1 t2 即 t 2 t 6 0 亦即 t 2 t 3 0 t 3 即 3 t 3 3 设函数 1 当a 5时 求函数f x 的定义域 2 若函数f x 的定义域为r 试求a的取值范围 解析 1 由题设知 x 1 x 2 5 0 如图 在同一坐标系中作出函数y x 1 x 2 和y 5的图象 知定义域为 2 3 2 由题设知 当x r时 恒有 x 1 x 2 a 0 即 x 1 x 2 a 又由 1 知 x 1 x 2 3 所以 a 3 即a 3 4 2013 苏州模拟 对于实数x y 若 x 1 1 y 2 1 求 x y 1 的最大值 解析 方法一 x 1 1 y 2 1 x y 1 x 1 y 2 x 1 y 2 1 1 2 当且仅当x 2 y 1 或x 0 y 3时取等号 故 x y 1 的最大值为2 方法二 x 1 1 y 2 1 1 x 1 1且 1 y 2 1 即 1 x 1 1且 1 2 y 1 相加可得 2 x y 1 2 即 x y 1 2 故 x y 1 的最大值为2 5 若f x x2 x c c为常数 x a 1 求证 f x f a 2 a 1 证明 f x f a x2 x c a2 a c x2 x a2 a x a x a 1 x a x a 1 x a 1 x a 2a 1 x a 2a 1 x a 2a 1 1 2 a 1 2 a 1 6 已知函数f x x 1 x 2 若不等式 a b a b a f x 对a 0 a b r恒成立 求实数x的范围 解析 由 a b a b a f x 且a 0得又因为则有2 f x 解不等式 x 1 x 2 2得 7 2013 淮阴模拟 已知函数f x x 1 g x x 3 a a r 1 解关于x的不等式g x 6 2 若函数y 2f x 的图象恒在函数y g x 的图象的上方 求实数a的取值范围 解析 1 x 3 a 6 x 3 a 6 当a 6时 6 a x 3 a 6 即3 a x a 9 当a 6时 a 6 0 原不等式无解 所以 当a 6时 原不等式的解集为 x 3 a x a 9 当a 6时 原不等式的解集为 2 依题意 得2 x 1 x 3 a 0恒成立 即2 x 1 x 3 a恒成立 又2 x 1 x 3 的最小值为4 所以a 4 8 关于实数x的不等式与x2 3 a 1 x 2 3a 1 0 a r 的解集分别为a b 求使a b的a