数学解题的“四种策略”.pdf

上海中学数学 2 0 1 4 年第7 8 期 2 5 数学解题的 四种策略 3 2 4 0 0 6浙江省衢州高级中学何数思维工作室何豪明 解题之所以成功 很大程度上依赖于选择最适 宜的方法 笔者在分析数学解题策略的总体原则基 础上 具体分析数学解题的四种策略 差异分析策 略 回归原理策略 寻找母体策略 哲学思考策略 1 高中数学解题策略的总体原则 数学解题 首先是用不同的数学语言理解题目 的已知条件 解题目标和解题过程 其次是在不同的 数学语言的转换与问题的化归过程中完成解题 例l非零向量n 6 满足ln 6l ln 一6I 一 生箬I 云1 求向量三 若与云一弓的夹角 1 用不同的数学语言理解已知条件 文字语言 非零向量丑 6 和的模等于差的模 并 且等于向量三的模的拿 倍 图形语言 表示非零向量口 6 为边的平行四边 形的两条对角线相等 矩形 且等于向量n 的模的 学倍 2 用不同的数学语言理解解题目标 符号语言 设向量n 6 与口一6 的夹角为目 则 口 6 n 一6 一In 6 II n 一6 Ic o s 目 图形语言 向量n 6 与口一6 的夹角表示以非零 向量口 6 为边的平行四边形的两条对角线的夹角 3 用不同的数学语言理解解题过程 寻找已知条件和解题目标之间的不同数学语言 之间的联系 这就是解题过程 解法1 已知条件的符号语言和解题目标的符 号语言之间的联系而产生 I 三 若I 一半 因为l 一 平方相加得I6 2 一 旧一若j 一挲 l o 寺In2 代人求得 口 6 口一6 一 ln2 因为 n 6 口一6 一Jn 6 lJ 口一6c o s 9 所 以c o 妇一 因为o 臼 丌 所以臼一号 解法2 已知条件的图形语言和解题目标的图 形语言之间的联系而产生 如图1 在矩形A B C D 中 设蕊一左 商 若 则前 一n 6 D 百一n 一6 因此向 量口 6 与口一6 的夹角就是 么口 在直角三角形O C E 中 设么C o E d 因为1O CI 一 厅 1 等Inl IE cI 一 l 口I 所以 图1 s i m 一等 得a 一号 目一丌一2 口一号 解法3 已知条件的文字语言和解题目标的文 字语言之间的联系而产生 1 i I 姻 横腰 B o c 帆 s 导一裂一譬 i I 口I 因为o 导 号 所以臼一号 波利亚认为对不理解的问题做出答复是愚蠢的 因此 要解决问题 首先得理解问题 而理解问题最好 的方法就是用不同的数学语言理解它所提供的信息 条件 现象过程 解题思路及应采用的规律方法等 2 高中数学解题策略的具体实施 基于高中数学解题策略的总体原则 针对不同 类型题目的不同特点 又可以分化出不同的解题策 略 下面整理出四种类型的题目 分别以差异分析策 略 回归原理策略 寻找母体策略和哲学思考策略加 以分析说明 2 1 差异分析策略 差异分析策略是指通过分析条件与结论之间的 差异 并不断减少目标差来完成解题的策略 它是 综合 分析法 的一种特殊形式 运用差异分析 策略解题可以同时回答 从何处下手 与 向何方前 进 这两个基本问题 在这里就从分析目标差入手 向着减少目标差的方向前进 全国教育科学十一五规划2 0 1 0 年教育部重点课题 中小学数学课程核心内容及其教学的研究 G O A l O o l o 研究成果 万方数据 2 6 上海中学数学 2 0 1 4 年第7 8 期 例2在 A B C 中 求证 c 及c o s B 一6 c o s A 一 n 2 6 2 解法1 应用余弦定理化角为边 消除目标差 略 解法2 应用正弦定理化边为角 消除目标差 略 解法3 作差等于o 消除目标差 同解法1 略 解法4 作差等于o 消除目标差 同解法2 略 从差异分析的观点看 解三角形一类的问题 如 果题目既涉及到角 又涉及到边 那么可以应用正弦 定理或余弦定理消除边角的差异 将其转化为边的 问题或角的问题进行求解 2 2 回归原理策略 例3 现有6 名同学去听同时进行的5 个课外 知识讲座 每名同学可以自由选择听其中的一个讲 座 求不同选法的种数 这是涉及重复排列问题的高考题 而在高中数 学人教A 版教材选修2 3 第一章计数原理中 重复 排列问题的渗透力度得以加大 其中有9 处涉及到 有重复排列的问题 因此在教学中 教师有必要提炼 出重复排列问题的一般原理 并加以应用 1 重复排列问题的一般原理 寄信原理 把咒封信投入m 个信箱 当且仅当 每次投出一封信 共有多少种不同的投信方法 解析 因为从集合A 一 口 口 口 口 到集 合B 一 6 6 6 3 巩 的不同映射的个数是m 所以把竹封信投入优个信箱共有优 种不同的投信 方法 2 重复排列问题的具体应用 根据寄信原理 例3 相当于把6 封信投入5 个 信箱 当且仅当每次投出一封信 共有5 6 种不同的 投信方法 再看下面5 个问题 答案均为5 3 它们的形式 各不相同 但其解题的思维本质是完全相同的 都是 把3 封信投人5 个信箱 当且仅当每次投出一封信 的问题 问题1 一辆公交车有5 个下客站 求车上3 名乘客不同的下车方式种数 问题23 名工人分别要在5 天中选择1 天休 息 求不同选择的方法种数 问题33 名同学分别报名参加学校的足球队 篮球队 排球队 乒乓球队和羽毛球队 每人限报其 中的1 个运动队 求不同报名方法的种数 问题45 名运动员参加体操的单杠 双杠和吊 环3 项单项决赛 冠军的获得共有多少种不同的 情况 问题53 名学生分别编入5 个班级 求不同的 编排方法种数 2 3 寻找母体策略 有一类立体几何问题 尽管题目涉及的图形各不 相同 但只要仔细分析可以发现 这些各不相同的图 形 其本质都源自大家熟悉的几何体 把这样的几何 体称作 母体 此处的 母体 是指正方体或三棱柱 例4如图2 在三棱柱A B C 一A B C 中 D E F 分别是A B A C A A 的中点 设三棱锥F A D E 的体积为V 三棱柱A B C 一A B C 的体积为 V 2 求V 1 v 2 解法l 以三棱柱为 母体 以 A D E 为底面 A F 为侧棱补成 一个三棱柱 则补成的三棱柱的体A 积是三棱锥F A D E 体积的3 倍 而 A B C 的面积是 A D E 面积的 4 倍 所以三棱柱A B C 一A B C 下面一半的体积是三棱锥F A D E 体积的1 2 倍 因此体积比为 1 2 4 c l 图2 解法2 以正方体为 母体 本题的三棱柱可 特殊化为直三棱柱 底面三角形特殊化为直角三角 形 角C 为直角 且斜边A B 与侧棱长相等 这样 可 以取同样的三棱柱4 个 拼成棱长与A B 相等的正 方体 不妨设正方体的棱长为2 则正方体的体积是 8 三棱柱的体积为2 半个 上下各半 三棱柱的体 积为1 半个三棱柱可以分割成4 个小三棱柱 每个 1 小三棱柱的体积为 而每个小三棱柱又可以分割 士 成3 个与三棱锥F A D E 体积相等的三棱锥 因而 1 119 三棱锥F A D E 的体积为去 所以体积比为等一 1 厶 厶 1 2 4 事实上 每年的高考数学题中 有一类试题涉及 到的图形 都可以转化为熟悉的几何体 简称 母 体 从而完成回归 母体 的解题目的 2 4 哲学思考策略 毛泽东说 不能把过程中所有的矛盾平均看 待 必须把它们区别为主要的和次要的两类 着重于 捉住主要的矛盾 同样地 在求解有限制条件的排 列组合问题时 不能把题目中的限制条件平均看待 必须把它们区别为主要的和次要的两类 并着重于 抓住主要的矛盾进行解题分析 这是正确解题的核 心方法 主要矛盾和次要矛盾 矛盾的主要方面和次要 方面辩证关系的原理要求 要坚持两点论和重点论 相统一的认识方法 坚持两点论 就是在认识复杂事 物的发展过程时 既要看到主要矛盾 又要看到次要 万方数据 上海中学数学 2 0 1 4 年第7 8 期 对高中数学答题规范性问题的思考 2 0 1 6 0 0上海师范大学附属外国语中学李庆兵 曾铮 2 0 1 6 0 0 上海市松江区教师进修学院 陈 萍 笔者有幸参与了高三数学学业水平测试的阅卷 工作 在本次阅卷中 笔者接触到来自不同学校 不 同层次学生的大量试卷 了解到他们的答题情况 在 数学答题的规范性方面产生了一些想法 本次阅卷笔者批阅的是第二道解答题 一道较 为常规的二次函数最值题 在按照评分标准进行批 阅的过程中 发现学生在答题的规范性方面问题较 大 能够扣住得分点进行答题的学生不到百分之五 因此而被扣分的大有人在 笔者结合学生答题过程 中的一些问题进行分析 期望引起同仁的重视 给莘 莘学子提个醒 考题 本题满分7 分 已知函数 厂 z 一z 2 4 z 日 r 一3 3 若 1 2 求y 厂 T 的最大值 和最小值 本题的标准答案为 由 1 1 4 n 一2 解 得以一5 所以 厂 T 一z 2 4 z 8 一 z 一2 2 1 或 对称轴z 一2 或等价的理由 当z 一一3 时 厂m z 一2 6 当z 一2 时 L T 一1 学生答题过程中出现了几个较为普遍的案例 案例一 解 厂 z 一 一4 z 口 厂 1 2 2 1 4 口一n 一3 厂 z 一T 2 4 r 5 一 z 一2 2 1 T 矛盾 既要看到矛盾的主要方面 又要看到矛盾的次 要方面 坚持重点论 就是在认识复杂事物的过程 时 要着重把握主要矛盾 在认识某一矛盾时要着重 把握矛盾的主要方面 要抓住主流 数学解题也要坚持两点论与重点论相结合的方 法 反对形而上学的一点论和均衡论 具体说 就是 在求解有多个限制条件的排列组合问题时 不能把 几个限制条件同等看待 必须抓住其中的一个限制 条件 把它作为主要的 其他的限制条件作为次要 的 以辅助它分析思考 牵牛要牵牛鼻子 说的就是 这个道理 例5 要排出某班一天中语文 数学 政治 英 语 体育 艺术6 堂课的课程表 上午4 节课 下午2 节课 求数学课不排在下午 体育课不排在第一节 和第四节的不同排法种数 解析 本题有多个限制条件 解题时 必须抓住 一3 3 令一3 T l z 2 2 厂 T 1 一厂 z 2 z 一z 4 T l z 2 一 z l z 2 z 1 z 2 4 0 厂 z 在 一3 2 令2 z I z 2 3 厂 T 1 一厂 z 2 一z 一z 一4 z l T 2 一 z 1 一z 2 r l T 2 4 o T 在 2 3 一3 一2 6 厂 3 一2 一3 2 6 厂 2 j 一1 答 了 厂 z 的最大值为2 6 最小值为1 案例二 解 厂 1 一2 z 一丁2 4 z 口 1 一1 4 口 2 口一5 厂 z z 2 4 z 5 T 一3 3 3 一 z 一 3 一2 y 厂 T 厂 一3 一2 6 案例三 厂 1 一2 2 1 4 n 乜 5 厂 z 一z 2 4 z 5 对称 轴为z 一2 一3 2 3 且z 一2 离T 一一3 较远 厂 一3 最大 最小值为 2 一1 最大值为 厂 一3 一2 6 如图1 y l 工 2 D 工 图1 其中的一个限制条件 把它作为主要的 而其他的限 制条件则作为次要的 帮助它分析思考 既要抓中 心 抓重点 又要统筹兼顾 学会 弹钢琴 如果抓住 数学课不排在下午 作为主要的条 件 而体育课不排在第一节和第四节则作为次要的