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中国石油大学（华东）第二十一届高等数学竞赛试卷 专业年级： 学 号： 姓 名： 成 绩： 页号一二三四五六七总分得分说明：1. 答案必须写在题目指定的空白处, 否则无效. 2. 题目所在页背面为草稿纸. 3. 试卷正文共7页.中国石油大学（华东）教务处、学生工作处、数学学院主办基础数学系承办2007年6月10日一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1. 若时，与是等价无穷小，则.解题过程是：2. .解题过程是：3. 曲线，渐近线的条数为： . 解题过程是：4. .解题过程是： 5. 微分方程 .解题过程是：6. .解题过程是：7. 解题过程是：8. 设函数的一个原函数是，则= .解题过程是：9. = .解题过程是：10. 设曲线， .解题过程是：二、计算题（每小题6分，本题共42分）：解题过程是：2. 设，计算曲面积分解题过程是：解题过程是：解题过程是：解题过程是：6. 设曲面，计算曲面积分.解题过程是：解题过程是：三、证明题（本题8分）：中国石油大学（华东）第二十一届高等数学竞赛试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1. 若时，与是等价无穷小，则.解题过程是：若时，与是等价无穷小， ，则，故.2. .解题过程是：.3. 曲线，渐近线的条数为： 3 .解题过程是：曲线渐近线有3条：垂直渐近线，水平渐近线，斜渐近线.4. .5. 微分方程 .解题过程是：6. .解题过程是：7. 解题过程是：解：令， 是奇函数，得= 8. 设函数的一个原函数是，则= .解题过程是：=.9. = 解题过程是：10. 设曲线， .解题过程是：.二、计算题（每小题6分，本题共42分）：解题过程是： 又故曲线L的方程为：.2. 设，计算曲面积分解题过程是：而故解题过程是：解题过程是：等式两边对t求导得 解题过程是：解：（1）的驻点 内的驻点为：.（2）构造拉格朗日函数： 条件极值驻点为：（3）比较最小值为0。最大值为8.6. 设曲面，计算曲面积分.解题过程是：解：由曲面的对称性和被积函数对称轮换性，=，=.解题过程是：三、证明题（本题8分）：证：构造辅助函数 则 证明思路使得再用两次罗尔定理得到结论.（1）则使得已知，用罗尔定理，与，使得，进而，使得，即（2）则与，。使得，由连
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