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专题58 正方形的性质【母题来源】2013年海南省第23题（13分）【母题原题】（1）如图（1）点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与点C，D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP，DE求证：BCPDCE；（2）直线EP交AD于F，连接BF，FC点G是FC与BP的交点若CD=2PC时，求证：BPCF；若CD=nPC（n是大于1的实数）时，记BPF的面积为S1，DPE的面积为S2求证：S1=（n+1）S2【试题答案】证明见解析。【试题解析】（1）在BCP与DCE中，BCPDCE（SAS）。（2）CP=CE，PCE=90，CPE=45。FPD=CPE=45。PFD=45。FD=DP。CD=2PC，DP=CP。FD=CP。在BCP与CDF中，BCPCDF（SAS）。FCD=CBP。CBP+BPC=90，FCD+BPC=90。PGC=90，即BPCF。设CP=CE=1，则BC=CD=n，DP=CDCP=n1，易知FDP为等腰直角三角形，FD=DP=n1。，S1=（n+1）S2。1.【2013年云南曲靖10分】如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CFDE于F，过点A作AGCF交DE于点G（1）求证：DCFADG（2）若点E是AB的中点，设DCF=，求sin的值2.【2013年四川资阳11分】在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MNDF于H，交AD于N（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t0）；判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由连结FM、FN，MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由3.【2013年云南红河7分】如图，过正方形ABCD的顶点D作DEAC交BC的延长线于点E（1）判断四边形ACED的形状，并说明理由；（2）若BD=8cm，求线段BE的长4.【2013年山东济宁6分】如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AFBE（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MPNQMP与NQ是否相等？并说明理由5.【2013年辽宁盘锦14分】如图，正方形ABCD的边长是3，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF（1）如图，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；（2）如图，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形
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