高考数学 第十章 第三节 二项式定理课件 理 新人教A版.ppt

第三节二项式定理 1 二项式定理 1 定理 a b n 2 通项第k 1项为 tk 1 3 二项式系数二项展开式中各项的二项式系数为 2 二项式系数的性质 3 各个二项式系数的和 1 a b n的展开式的各个二项式系数的和等于 即 2 二项展开式中 偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和 即 2n 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 是二项展开式的第k项 2 通项中的a与b不能互换 3 二项展开式中 系数最大的项为中间一项或中间两项 4 a b n的展开式中某一项的二项式系数与a b无关 5 a b n某项的系数是该项中非字母因数部分 包括符号等 与该项的二项式系数不同 解析 1 错误 由二项展开式通项的定义可知 应是二项展开式的第k 1项 2 正确 通项中的a与b如果互换 则它将成为 b a n的第k 1项 3 错误 由二项展开式中某项的系数的定义知 二项展开式中系数最大的项不一定是中间一项或中间两项 而二项式系数最大的项则为中间一项或中间两项 4 正确 因为二项式 a b n的展开式中第k 1项的二项式系数为显然它与a b无关 5 正确 因为二项展开式中项的系数是由该项中非字母因数部分 包括符号构成的 一般情况下 不等于二项式系数 答案 1 2 3 4 5 1 2 x 9展开式的二项式系数之和为 a 29 b 39 c 1 d 210 解析 选a 因为 a b n展开式的二项式系数之和为2n 所以 2 x 9展开式的二项式系数之和为29 2 4x 2 x 6 x r 展开式中的常数项是 a 20 b 15 c 15 d 20 解析 选c tk 1 22x 6 k 2 x k 1 k 2x 12 3k k 4时 12 3k 0 故第5项是常数项 t5 1 4 15 3 x 1 8的展开式中x3的系数是 用数字作答 解析 x 1 8的展开式中x3的系数是 56 答案 564 在 1 x 3 1 3 1 3的展开式中 x的系数为 用数字作答 解析 由条件易知 1 x 3 1 3 1 3展开式中x的系数分别是即所求系数是3 3 1 7 答案 7 5 在 x y 10的展开式中 x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 解析 tr 1 1 rx10 ryr 所以有答案 240 考向1求二项展开式中的项或项的系数 典例1 1 2012 天津高考 在 2x2 5的二项展开式中 x的系数为 a 10 b 10 c 40 d 40 2 2012 安徽高考 x2 2 1 5的展开式的常数项是 a 3 b 2 c 2 d 3 思路点拨 1 可利用二项展开式的通项 求x的系数 2 先将 x2 2 1 5看作是两个因式相乘的形式 根据展开式中的每一项是由每个因式各取一项相乘得到的进行分类讨论 规范解答 1 选d tr 1 1 r 2x2 5 r x r 1 r 25 rx10 3r 令10 3r 1 则r 3 t4 22x 40 x x的系数为 40 2 选d 第一个因式取x2 第二个因式取得 1 1 4 5 第一个因式取2 第二个因式取 1 5得 2 1 5 2 展开式的常数项是5 2 3 互动探究 在本例题 1 中 x的整式项有几项 分别是第几项 解析 由本例题 1 的解析可知 tr 1 1 r 2x2 5 r x r 1 r 25 rx10 3r 又因为r 0 1 2 3 4 5 所以当r 0 1 2 3时 分别是x的整式项 共有4项 它们分别是第一项 第二项 第三项和第四项 拓展提升 求二项展开式中的项或项的系数的方法 1 展开式中常数项 有理项的特征是通项式中未知数的指数分别为零和整数 解决这类问题时 先要合并通项式中同一字母的指数 再根据上述特征进行分析 2 有关求二项展开式中的项 系数 参数值或取值范围等 一般要利用通项公式 运用方程思想进行求值 通过解不等式 组 求取值范围 提醒 二项展开式中各项的系数与二项式系数是不同的概念 一般地 某一项的系数是指该项中字母前面的常数值 包括正负符号 它与a b的取值有关 而二项式系数与a b的取值无关 变式备选 已知的展开式中各项系数的和是128 则展开式中x5的系数是 解析 因为的展开式中各项系数的和为128 所以令x 1 即得所有项系数和为2n 128 所以n 7 设该二项展开式中的第r 1项为tr 1 令即r 3时 x5的系数为 35 答案 35 考向2二项式系数和或各项系数和 典例2 1 x 2x 5的展开式中各项系数的和为2 则该展开式中常数项为 a 40 b 20 c 20 d 40 2 1 ax by n展开式中不含x的项的系数的和为243 不含y的项的系数的和为32 则a b n的值可能为 a a 2 b 1 n 5 b a 2 b 1 n 6 c a 1 b 2 n 6 d a 1 b 2 n 5 3 已知 1 x 1 x 2 1 x 3 1 x 8 a0 a1x a2x2 a3x3 a8x8 则a1 a2 a3 a8 思路点拨 1 先由各项系数的和 求出a的值 然后求出常数项 2 采用赋值法 依据题意分别令x 0 y 1与x 1 y 0即可得出a b n的值 3 采用赋值法 先求出a0 a1 a2 a3 a8的值 再求出a0的值即可 规范解答 1 选d 对于 x 2x 5 可令x 1得1 a 2 故a 1 2x 5的展开式的通项tk 1 2x 5 k k 25 k 1 k x5 2k 要得到展开式的常数项 则x 的x与 2x 5展开式中含的项相乘 x 的与 2x 5展开式中含x的项相乘 故令5 2k 1得k 3 令5 2k 1得k 2 从而可得常数项为 22 1 3 23 1 2 40 2 选d 令x 0 y 1得 1 b n 243 35 令x 1 y 0得 1 a n 32 25 因此 a 1 b 2 n 5 故选d 3 令x 1 则a0 a1 a2 a3 a8 2 22 28 510 令x 0 则a0 8 所以a1 a2 a3 a8 502 答案 502 拓展提升 赋值法的应用 1 形如 ax b n ax2 bx c m a b c r 的式子求其展开式的各项系数之和 常用赋值法 只需令x 1即可 2 对形如 ax by n a b r 的式子求其展开式各项系数之和 只需令x y 1即可 3 若f x a0 a1x a2x2 anxn 则f x 展开式中各项系数之和为f 1 奇数项系数之和为a0 a2 a4 偶数项系数之和为a1 a3 a5 变式训练 已知 1 3x 9 a0 a1x a2x2 a9x9 则 a0 a1 a2 a9 等于 a 29 b 49 c 39 d 1 解析 选b x的奇数次方的系数都是负值 所以 a0 a1 a2 a9 a0 a1 a2 a3 a9 所以已知条件中只需令x 1即可 故选b 考向3二项式定理的综合应用 典例3 1 2012 湖北高考 设a z 且0 a 13 若512012 a能被13整除 则a a 0 b 1 c 11 d 12 2 1 025精确到0 01的近似值为 3 已知n n 求证 1 2 22 23 25n 1能被31整除 思路点拨 1 把51分为52 1 再按二项式定理展开即可 2 把1 025转化为二项式 展开后 根据精确度的要求取必要的几项即可 3 先求和 再将和式化成含有31的二项式 展开即可证明 规范解答 1 选d 512012 52 1 2012能被52整除 即能被13整除 若512012 a能被13整除 则a 1能被13整除 又a z 且0 a 13 则a 12 2 1 025 1 0 02 5 1 0 02 0 022 0 023 0 024 0 025 0 022 0 004 0 023 8 10 5 当精确到0 01时 只要展开式的前三项和 1 0 10 0 004 1 104 近似值为1 10 答案 1 10 3 1 2 22 23 25n 1 25n 1 32n 1 31 1 n 1 31n 31n 1 31n 2 31 1 1 31 31n 1 31n 2 显然括号内的数为正整数 故原式能被31整除 互动探究 将本例题 2 中精确到0 01改为精确到0 001 如何求解 解析 由本例 2 知 当精确到0 001时 只要取展开式的前四项的和 即1 0 10 0 004 0 00008 1 10408 所以近似值为1 104 拓展提升 1 整除问题的解题思路利用二项式定理找出某两个数 或式 之间的倍数关系 是解决有关整除性问题和余数问题的基本思路 关键是要合理地构造二项式 并将它展开进行分析判断 2 求近似值的基本方法利用二项式定理进行近似计算 当n不很大 x 比较小时 1 x n 1 nx 变式备选 若能被7整除 则x n的值可能为 a x 4 n 3 b x 4 n 4 c x 5 n 4 d x 6 n 5 解析 选c 1 x n 1 当x 5 n 4时 1 x n 1 64 1 35 37 能被7整除 故选c 易错误区 混淆某项的系数与某项的二项式系数致误 典例 2012 福建高考 a x 4的展开式中x3的系数等于8 则实数a 误区警示 本题易出现的错误主要有两个方面 1 误以为x3的二项式系数是x3的系数 2 通项中字母颠倒造成失误 规范解答 因为 a x 4的展开式的通项为tk 1 a4 kxk 由题意知 当k 3时 a4 3 4a 8 所以 a 2 答案 2 思考点评 1 某项的二项式系数与某项的系数二项展开式中的二项式系数为 k 0 1 2 n 与其他字母数值无关 而展开式中项的系数是由该项中非字母因数部分 包括符号构成的 一般情况下 不等于二项式系数 2 二项展开式的通项 a b n展开式中的第k 1项为 tk 1 an kbk其中字母a b的顺序不能改变 否则会出现错误 1 2012 四川高考 1 x 7的展开式中x2的系数是 a 42 b 35 c 28 d 21 解析 选d 由二项式定理得t3 15 x2 21x2 所以x2的系数为21 故选d 2 2012 广东高考 x2 6的展开式中x3的系数为 用数字作答 解析 tr 1 x2 6 r r x12 3r 令12 3r 3 r 3 展开式中x3的系数为 20 答案 20 3 2012 湖南高考 的二项展开式中的常数项为 用数字作答 解析 设常数项为第r 1项 则由 0 解得r 3 常数项为第四项 t4 1 3 23 160 答案 160 4 2012 浙江高考 若将函数f x x5表示为f x a0 a1 1 x a2 1 x 2 a5 1 x 5 其中a0 a1 a2 a5为实数 则a3 解析 f x x5 x 1 1 5 则a3 1 2 10 答案 10 5 2012 陕西高考 a x 5展开式中x2的系数为10 则实数a的值为 解析 方法一 二项展开式的通项公式是tr 1 a5 rxr 当r 2时 t3 a3x2 10a3x2 所以10a3 10 所以a 1 方法二 根据杨辉三角 部分内容如图所示 展开式中x2的项是第3项 且第3项的系数是10a3 10a3 10 a 1 n 2121n 31331n 414641n 515101051答案 1 1 若 1 mx 6 a0 a1x a2x2 a6x6 且a1 a2 a6 63 则实数m的值为 a 1或3 b 3 c 1 d 1或 3 解析 选d 1 mx 6 a0 a1x a2x2 a6x6 令x 1得 1 m 6 a0 a1 a2 a6 令x 0得 1 a0 a1 a2 a6 a0 a1 a2 a6 a0 1 m 6 1 而a1 a2 a6 63