高中数学 第一章 数列之等差数列的前n项和性质及应用课件 北师大版必修5.ppt

等差数列的前n项和公式 形式1 形式2 复习回顾 等差数列的前n项和 1 将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数 这个函数有什么特点 当d 0时 sn是常数项为零的二次函数 则sn an2 bn 令 探究一 等差数列前n项和的函数特征 等差数列的前n项的最值问题 例1 已知等差数列 an 中 a1 13且s3 s11 求n取何值时 sn取最大值 解法1 由s3 s11得 d 2 当n 7时 sn取最大值49 等差数列的前n项的最值问题 例1 已知等差数列 an 中 a1 13且s3 s11 求n取何值时 sn取最大值 解法2 由s3 s11得 d 2 0 当n 7时 sn取最大值49 则sn的图象如图所示 又s3 s11 所以图象的对称轴为 等差数列的前n项的最值问题 例1 已知等差数列 an 中 a1 13且s3 s11 求n取何值时 sn取最大值 解法3 由s3 s11得 d 2 当n 7时 sn取最大值49 an 13 n 1 2 2n 15 由 得 a7 a8 0 等差数列的前n项的最值问题 例1 已知等差数列 an 中 a1 13且s3 s11 求n取何值时 sn取最大值 解法4 由s3 s11得 当n 7时 sn取最大值49 a4 a5 a6 a11 0 而a4 a11 a5 a10 a6 a9 a7 a8 又d 20 a7 0 a8 0 求等差数列前n项的最大 小 的方法 方法1 由利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值 方法2 利用an的符号 当a1 0 d0时 数列前面有若干项为负 此时所有负项的和为sn的最小值 其n的值由an 0且an 1 0求得 例 设等差数列的前n项和为sn 已知a3 12 s12 0 s13 0 1 求公差d的取值范围 2 指出数列 sn 中数值最大的项 并说明理由 解 1 由已知得 求等差数列前n项的最大 小 的方法 2 sn图象的对称轴为 由 1 知 由上得 即 由于n为正整数 所以当n 6时sn有最大值 sn有最大值 等差数列 an 前n项和的性质 探究二 在等差数列 an 中 其前n项的和为sn 则有sk s2k sk s3k s2k 是什么数列 k2d 为等差数列 公差为 kd kd kd kd kd kd 例 数列 an 为等差数列 前n项和为sn 已知s2 2 s4 10 求s6 解 法一 s6 s4 s4 s2 s2成等差数列所以s6 s4 14 所以s6 24 法二 设sn an2 bn s2 4a 2b 2 s4 16a 4b 10解得 解 探究三 等差数列数列的前n项和为则数列有什么特点 所以为等差数列 例 等差数列数列的前n项和为 探究四 两等差数列前n项和与通项的关系 结论 若数列 an 与 bn 都是等差数列 且前n项的和分别为sn和tn 则 例 两等差数列 an bn 的前n项和分别是sn和tn 且 求和 课堂小结 1 等差数列前n项和的函数特征 结合二次函数图象和性质求的最值 2 等差数列 an 前n项和的性质 1 在等差数列 an 中 其前n项的和为sn 则有sk s2k sk s3k s2k 为等差数列 2 若数列 an 与 bn 都是等差数列 且前n项的和分别为sn和tn 则 3 等差数列数列的前n项和为则数列为等差数列 作业 p46a组5t b组2t 4t 例 已知数列 an 与 bn 都是等差数列 且前n项的和分别为sn和tn 若 例1 设等差数列 an 的前n项和为sn 若s3 9 s6 36 则a7 a8 a9 a 63b 45c 36d 27 例2 在等差数列 an 中 已知公差d 1 2 且a1 a3 a5 a99 60 a2 a4 a6 a100 a 85b 145c 110d 90 b a 3 等差数列 an 前n项和的性质的应用 例3 一个等差数列的前10项的和为100 前100项的和为10 则它的前110项的和为 110 等差数列 an 前n项和的性质的应用 例5 一个等差数列的前12项的和为354 其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32 27 则公差为 例6 09宁夏 等差数列 an 的前n项的和为sn 已知am 1 am 1 am2 0 s2m 1 38 则m 例7 设数列 an 的通项公式为an 2n 7 则 a1 a2 a3 a15 5 10 153 等差数列 an 前n项和的性质的应用 2 sn图象的对称轴为 由 1 知 由上得 即 由于n为正整数 所以当n 6时sn有最大值 sn有最大值 练习1已知等差数列25 21 19 的前n项和为sn 求使得sn最大的序号n的值 练习2 求集合的元素个数 并求这些