高考数学 第六章 第六节 直接证明与间接证明课件 理 苏教版.ppt

第六节直接证明与间接证明 1 直接证明 1 定义 直接从 逐步推得命题成立的证明方法 2 一般形式本题条件已知定义已知公理已知定理 原命题的条件 a b c 本题结论 3 综合法与分析法 结论成立的条件 2 间接证明 1 反证法定义反证法是要证明某一结论q是正确的 但不直接证明 而是先去假设q不成立 即q的反面非q是正确的 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明假设非q是错误的 从而断定结论q是正确的证明方法 2 反证法的基本步骤第一步 假设命题的 不成立 即假定原结论的反面为真 第二步 从 和 出发 经过一系列正确的逻辑推理 得出 结果 第三步 由 结果 断定 不真 从而肯定原结论成立 反设 结论 归谬 反设 已知条件 矛盾 存真 矛盾 反设 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 综合法是直接证明 分析法是间接证明 2 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻找使结论成立的充要条件 3 用反证法证明结论 a b 时 应假设 a b 4 反证法是指将结论和条件同时否定 推出矛盾 5 在解决问题时 常常用分析法寻找解题的思路与方法 再用综合法展现解决问题的过程 6 证明不等式最合适的方法是分析法 解析 1 错误 综合法和分析法都是直接证明的方法 2 错误 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻找使结论成立的充分条件 不必是充要条件 3 错误 应假设 a b 4 错误 反证法只是将结论进行否定 然后将这个反设作为条件 推出矛盾 5 正确 用分析法可以发现解决问题的思路 然后用综合法写出证明的步骤 6 正确 欲证的不等式两边都含有根号 且都大于0 因此可用分析法 通过平方等逐步寻求使其成立的条件 答案 1 2 3 4 5 6 1 用分析法证明 欲使 a b 只需 c d 这里 是 的 条件 解析 分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立 即 所以 是 的必要条件 答案 必要 2 用反证法证明命题 三角形的内角中至少有一个不大于60 时 应假设 解析 至少有一个不大于 的否定为 都大于 答案 三角形的三内角都大于60 3 已知a b x均为正数 且a b 则的大小关系是 解析 答案 4 设a b是两个实数 给出下列条件 1 a b 2 2 a2 b2 2 其中能推出 a b中至少有一个大于1 的条件的是 填上序号 解析 取a 2 b 1 则a2 b2 2 从而 2 推不出结论 1 能够推出结论 即若a b 2 则a b中至少有一个大于1 可用反证法证明如下 假设a 1 且b 1 则a b 2与a b 2矛盾 因此假设不成立 所以a b中至少有一个大于1 答案 1 考向1综合法的应用 典例1 对于定义域为 0 1 的函数f x 如果同时满足以下三条 对任意的x 0 1 总有f x 0 f 1 1 若x1 0 x2 0 x1 x2 1都有f x1 x2 f x1 f x2 成立 则称函数f x 为理想函数 试判断g x 2x 1 x 0 1 是否为理想函数 如果是 请予证明 如果不是 请说明理由 思路点拨 根据理想函数的定义 分析判断g x 是否满足理想函数的三个条件即可 规范解答 g x 2x 1 x 0 1 是理想函数 证明如下 因为x 0 1 所以2x 1 2x 1 0 即对任意x 0 1 总有g x 0 满足条件 g 1 21 1 2 1 1 满足条件 当x1 0 x2 0 x1 x2 1时 g x1 x2 g x1 g x2 于是g x1 x2 g x1 g x2 由于x1 0 x2 0 所以于是g x1 x2 g x1 g x2 0 因此g x1 x2 g x1 g x2 满足条件 故函数g x 2x 1 x 0 1 是理想函数 互动探究 本例中条件不变 问题变为 若函数f x 是理想函数 证明f 0 0 如何求解 证明 令x1 x2 0 则满足x1 0 x2 0 x1 x2 1 于是有f 0 0 f 0 f 0 得f 0 0 又由条件 知f 0 0 故必有f 0 0 拓展提升 综合法证题的思路 变式备选 设a 0 b 0 a b 1 求证 证明 方法一 a 0 b 0 a b 1 又 当且仅当时取等号 方法二 a b 1 故等号成立的条件是 考向2分析法的应用 典例2 2013 淮安模拟 设y f x 为定义在区间i上的函数 若对i上任意两个实数a b都有成立 则称f x 为i上的凹函数 1 判断函数 x 0 是否为凹函数 并给出证明 2 定义在r上的函数h x 满足对于任意实数a b都有h a b h a h b 求证 h x 为r上的凹函数 思路点拨 1 用分析法证明 从要证明的不等式出发 将要证明的不等式逐步简化 直至得出明显成立的不等式 2 利用凹函数的定义证明即可 规范解答 1 要证明f x 是凹函数 即证明 a b 0 也就是因此只需证明 两边同乘以ab a b 得4ab b a b a a b 也就是a2 b2 2ab 上式显然成立 故f x 是凹函数 2 h a h b 2h所以有故函数h x 为r上的凹函数 拓展提升 分析法证题的技巧 1 逆向思考是用分析法证题的主要思想 通过反推 逐步寻找使结论成立的充分条件 正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键 2 在求解实际问题时 对于较复杂的问题 可以采用两头凑的办法 即通过分析法找出某个与结论等价 或充分 的中间结论 然后通过综合法由条件证明这个中间结论 使原命题得证 变式训练 已知a 0 求证 证明 要证只要证 a 0 故只要证 即从而只要证只要证即而该不等式显然成立 故原不等式成立 考向3反证法的应用 典例3 已知数列 an 满足a1 an 1 n n 其中 为实数 求证 数列 an 不是等比数列 思路点拨 先假设数列 an 是等比数列 则其前3项构成等比数列 由此推出矛盾 规范解答 由已知可得a1 假设存在实数 使 an 是等比数列 则必有a22 a1a3 即于是可得9 0 矛盾 所以数列 an 不是等比数列 互动探究 本题条件不变 问是否存在实数 使得 an 是等差数列 解析 假设存在实数 使得 an 是等差数列 由已知得a1 所以解得 18 于是an 18 3 n 1 3n 21 因此an 1 3n 18 代入中检验 成立 所以存在实数 18 使得 an 是等差数列 拓展提升 反证法证明问题的特点一般地 当一个命题的结论是以 至多 至少 惟一 或以否定形式出现时 宜用反证法来证 反证法关键是在正确的推理下得出矛盾 矛盾可以是与已知条件矛盾 与假设矛盾 与定义 公理 定理矛盾 与事实矛盾等 变式备选 已知非零实数a b c构成公差不为0的等差数列 求证 不能构成等差数列 证明 假设能构成等差数列 则由于是得bc ab 2ac 而由于a b c构成等差数列 即2b a c 所以 a c 2 4ac 即 a c 2 0 于是得a b c 这与a b c构成公差不为0的等差数列矛盾 故假设不成立 因此不能构成等差数列 满分指导 分析法与综合法的综合应用 典例 14分 2013 长沙模拟 已知函数f x ln x 2 a b c是两两不相等的正实数 且a b c成等比数列 试判断f a f c 与2f b 的大小关系 并证明你的结论 思路点拨 规范解答 f a f c 2f b 2分证明如下 因为a b c是两两不相等的正实数 所以由基本不等式可得 5分又因为a b c成等比数列 所以b2 ac 于是a c 2b 7分而f a f c ln a 2 c 2 ln ac 2 a c 4 2f b 2ln b 2 ln b2 4b 4 9分 由于ac 2 a c 4 b2 2 a c 4 b2 4b 4 12分且函数f x ln x 2 是单调递增函数 因此ln ac 2 a c 4 ln b2 4b 4 故f a f c 2f b 14分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 常州模拟 对于函数f x 在使f x m成立的所有常数m中 我们把m的最大值称为f x 的 下确界 则函数f x 的 下确界 等于 解析 5 4x 0 f x 当且仅当x 1时取等号 m的最大值为6 即函数f x 的 下确界 等于6 答案 6 2 2013 南京模拟 已知二次函数f x ax2 4x c 1的值域是 1 则的最小值是 解析 由题意得函数g x ax2 4x c的值域为 0 16 4ac 0 ac 4 a 0 当且仅当时取等号 答案 3 3 2013 扬州模拟 用反证法证明命题 若a b n ab可被5整除 那么a b中至少有一个能被5整除 时 假设的内容应该是 解析 a b中至少有一个能被5整除 的否定是 a b都不能被5整除 答案 a b都不能被5整除 4 2013 无锡模拟 数列 an 是公比大于1的等比数列 a2 6 s3 26 1 求数列 an 的通项公式 2 在an与an 1之间插入n个数 使这n 2个数组成公差为dn的等差数列 设第n个等差数列的前n项和是an 求关于n的多项式g n 使得an g n dn对任意n n 恒成立 3 对于 2 中的数列d1 d2 d3 dn 这个数列中是否存在不同的三项dm dk dp 其中正整数m k p成等差数列 成等比数列 若存在 求出这样的三项 若不存在 说明理由 解析 1 设公比为q 由a2 6 s3 26知 解得q 3或由题意q 1 得q 3 则有a1 2 an 2 3n 1 2 dn 要使an g n dn 则g n n2 3 对于 2 中的数列 dn 若存在不同的三项dm dk dp 其中正整数m k p成等差数列 成等比数列 则dk2 dmdp 即 2k m p 即k2 mp 由 可得m k p 与dm dk dp是不同的三项矛盾 不存在不同的三项dm dk dp 其中正整数m k p成等差数列 成等比数列 1 已知集合p 1 4 9 16 25 若当a p b p时 有a b p