高考数学 第七章 第四节 平面与平面平行课件 理 苏教版.ppt

第四节平面与平面平行 平面与平面平行 1 判定定理 相交直线 a b a b p a b 2 性质定理 相交 交线 a b 3 两个平行平面间的距离 公垂线与两个平行平面 的直线 叫做这两个平行平面的公垂线 两个平行平面间的距离两个平行平面的 叫做两个平行平面间的距离 两个平行平面的公垂线段都相等 都垂直 公垂线段的长度 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面 那么这两个平面平行 2 如果两个平面平行 那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面 3 如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 则这两个平面一定平行 4 已知平面 平面 直线a 则a与平面 内的无数条直线平行 5 若平面 平面 直线a 平面 则直线a 平面 解析 1 错误 当这两条直线为相交直线时 才能保证这两个平面平行 2 正确 如果两个平面平行 则在这两个平面内的直线没有公共点 则它们平行或异面 3 错误 不一定平行 如果这无数条直线互相平行 则这两个平面就可能相交 而不一定平行 4 正确 过a作平面 交平面 于直线b 则a b 故直线a平行于平面 内所有与直线b平行的直线 有无数条 5 错误 若平面 平面 直线a 平面 则a 或a 答案 1 2 3 4 5 1 若m n为两条不同的直线 为两个不同的平面 则以下命题正确的序号是 1 若 m 则m 2 若m n m 则n 3 若m 则m 4 若 m m n 则n 解析 1 中 m与 可平行 也可以在 内 3 中 m可以平行于 m也可以在 内 4 中 n也能在 内或n 或与 相交 答案 2 2 已知直线l m 平面 下列条件能得出 的是 1 l m 且l m 2 l m 且l m 3 l m 且l m 4 l m 且l m 解析 如图 在正方体ac1中 aa1 平面abcd bb1 平面a1b1c1d1且aa1 bb1 则平面abcd 平面a1b1c1d1 故 3 可推出 答案 3 3 已知正方体abcd a1b1c1d1 下列结论中 正确的结论是 只填序号 ad1 bc1 平面ab1d1 平面bdc1 ad1 dc1 ad1 平面bdc1 解析 借助图形可知ad1与dc1所在的直线为异面直线 故 错误 答案 4 设 是两个不重合的平面 a b是两条不同的直线 给出下列条件 都平行于直线a b a b是 内两条直线 且a b 若a b相交 且都在 外 a a b b 其中可判定 的条件的序号为 解析 中的平面可能平行 相交 故不正确 因为a b相交 可设其确定的平面为 根据a b 可得 同理可得 因此 故 正确 答案 考向1面面平行的判定 典例1 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 e f g h分别是ab ac a1b1 a1c1的中点 求证 1 b c h g四点共面 2 平面efa1 平面bchg 思路点拨 1 要证明b c h g四点共面 可证明直线gh与直线bc共面 2 可利用面面平行的判定定理证明 规范解答 1 g h分别是a1b1 a1c1的中点 gh是 a1b1c1的中位线 gh b1c1 又 b1c1 bc gh bc b c h g四点共面 2 e f分别是ab ac的中点 ef bc ef 平面bchg bc 平面bchg ef 平面bchg a1geb 四边形a1ebg是平行四边形 a1e gb a1e 平面bchg gb 平面bchg a1e 平面bchg a1e ef e 平面efa1 平面bchg 互动探究 在本例条件下 若d1 d分别为b1c1 bc的中点 求证 平面a1bd1 平面ac1d 证明 如图所示 连结a1c交ac1于点h 四边形a1acc1是平行四边形 h是a1c的中点 连结hd d为bc的中点 a1b hd a1b 平面a1bd1 dh 平面a1bd1 dh 平面a1bd1 又由三棱柱的性质知 d1c1bd 四边形bdc1d1为平行四边形 dc1 bd1 又dc1 平面a1bd1 bd1 平面a1bd1 dc1 平面a1bd1 又 dc1 dh d 平面a1bd1 平面ac1d 拓展提升 判定面面平行的方法 1 利用定义 即证两个平面没有公共点 2 利用面面平行的判定定理 3 利用垂直于同一条直线的两平面平行 4 利用平面平行的传递性 即两个平面同时平行于第三个平面 则这两个平面平行 变式备选 在正方体abcd a1b1c1d1中 求证 1 a1d 平面cb1d1 2 平面a1bd 平面cb1d1 证明 1 因为a1b1 cd 且a1b1 cd 所以 四边形a1b1cd是平行四边形 所以 a1d b1c 又b1c 平面cb1d1 且a1d 平面cb1d1 所以 a1d 平面cb1d1 2 由 1 知a1d 平面cb1d1 同理可证a1b 平面cb1d1 又a1d a1b a1 所以 平面a1bd 平面cb1d1 考向2面面平行的性质 典例2 2013 徐州模拟 如图 在六面体abcdefg中 平面efg 平面abcd ae 平面abcd ef eg ad bc ef ae ab ad 2 eg bc 1 1 求证 gd 平面bcf 2 求三棱锥b agd的体积 思路点拨 1 要证gd 平面bcf可转化为证明平面bcf 平面adge 2 求三棱锥的体积关键是选准底面 其面积易求 和高 易证 规范解答 1 平面efg 平面abcd 平面efg 平面abfe ef 平面abcd 平面abfe ab ef ab 同理eg ad 又 ef ab 四边形abfe为平行四边形 bf ae 又 ad bc ad ae a bc bf b 平面bcf 平面adge 又 gd 平面adge gd 平面bcf gd 平面bcf 2 平面efg 平面abcd 且ae 平面abcd ae 2 设点g到平面abd的距离为d 则d 2 ab ef ad eg ef eg ab ad 三角形abd为直角三角形 s abd ad ab 2 2 2 vb agd vg abd s abd d 2 2 拓展提升 1 面面平行的性质 1 两平面平行 则一个平面内的直线平行于另一平面 2 若一平面与两平行平面相交 则交线平行 2 面面平行的应用 1 面面平行常常用来作为判定线面平行或者是线线平行的依据 2 面面平行通常与平行公理 等角定理放在一起使用 3 如果结合线面垂直 可以通过面面平行得到线面距 点面距 并且常以长方体或者正方体为载体 变式训练 如图 在四棱锥p abcd中 abc acd 90 bac cad 60 pa 平面abcd e为pd的中点 ab 1 pa 2 1 证明 直线ce 平面pab 2 求三棱锥e pac的体积 解析 1 取ad中点f 连结ef cf 在 pad中 ef是中位线 可得ef pa ef 平面pab pa 平面pab ef 平面pab rt abc中 ab 1 bac 60 ac 2 又 rt acd中 cad 60 ad 4 结合f为ad中点 得 acf是等边三角形 acf bac 60 可得cf ab cf 平面pab ab 平面pab cf 平面pab ef cf是平面cef内的相交直线 平面cef 平面pab ce 平面cef ce 平面pab 2 pa 平面abcd cd 平面abcd pa cd 又 ac cd pa ac是平面pac内的相交直线 cd 平面pac cd 平面dpc 平面dpc 平面pac 过e点作eh pc于h 由面面垂直的性质定理 得eh 平面pac eh cd rt acd中 ac 2 ad 4 acd 90 cd e是pd中点 eh cd eh cd pa ac srt pac 2 2 2 因此 三棱锥e pac的体积 考向3平行关系的综合应用 典例3 如图所示 平面 平面 点a 点c 点b 点d 点e f分别在线段ab cd上 且ae eb cf fd 1 求证 ef 2 若e f分别是ab cd的中点 ac 4 bd 6 且ac bd所成的角为60 求ef的长 思路点拨 1 要证ef 可转化为证明ef与 内的某一直线平行或证明ef所在的平面与 平行 2 以ef为边构造三角形可求得ef的长 规范解答 1 当ab cd在同一平面内时 由 平面 平面abdc ac 平面 平面abdc bd ac bd ae eb cf fd ef bd 又ef bd ef 当ab与cd异面时 设平面acd dh 且dh ac 平面acdh ac ac dh 四边形acdh是平行四边形 在ah上取一点g 使ag gh cf fd 得gf hd 又 ae eb cf fd ag gh eg bh 又eg gf g 平面efg 平面 又ef 平面efg ef 综上 ef 2 如图所示 连结ad 取ad的中点m 连结me mf e f分别为ab cd的中点 me bd mf ac 且me bd 3 mf ac 2 emf为ac与bd所成的角 或其补角 emf 60 或120 在 efm中由余弦定理得 即ef 或ef 拓展提升 三种平行关系的转化方向及注意事项 1 转化方向如图所示 2 注意事项在应用线面平行 面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时 一定要注意定理成立的条件 严格按照定理成立的条件规范书写步骤 如把线面平行转化为线线平行时 必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交 则直线与交线平行 提醒 解题中既要注意一般的转化规律 又要看清题目的具体条件 选择正确的转化方向 变式训练 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 o为底面abcd的中心 p是dd1的中点 设q是cc1上的点 问 当点q在什么位置时 平面d1bq 平面pao 解析 当q为cc1的中点时 平面d1bq 平面pao 证明如下 q为cc1的中点 p为dd1的中点 qb pa p o分别为dd1 db的中点 d1b po 又 d1b 平面pao po 平面pao qb 平面pao pa 平面pao d1b 平面pao qb 平面pao 又d1b qb b d1b qb 平面d1bq 平面d1bq 平面pao 满分指导 平行关系证明题的规范解答 典例 14分 2012 山东高考 如图 几何体e abcd是四棱锥 abd为正三角形 cb cd ec bd 1 求证 be de 2 若 bcd 120 m为线段ae的中点 求证 dm 平面bec 思路点拨 规范解答 1 取bd的中点o 连结co eo 由于cb cd 所以co bd 1分又ec bd ec co c co ec 平面eoc 所以bd 平面eoc 所以bd oe 3分又o为bd的中点 所以be de 5分 2 方法一 取ab的中点n 连结dm dn mn 因为m是ae的中点 所以mn be 6分又mn 平面bec be 平面bec 所以mn 平面bec 7分又因为 abd为正三角形 所以 bdn 30 又cb cd bcd 120 因此 cbd 30 所以dn bc 9分 又dn 平面bec bc 平面bec 所以dn 平面bec 又mn dn n 故平面dmn 平面bec 13分又dm 平面dmn 所以dm 平面bec 14分 方法二 延长ad bc交于点f 连结ef 因为cb cd bcd 120 所以 cbd 30 7分因为 abd为正三角形 所以 bad abd 60 abc 90 所以 afb 30 所以ab af 9分 又ab ad 所以d为线段af的中点 11分连结dm 由点m是线段ae的中点 因此dm ef 又dm 平面bec ef 平面bec 所以dm 平面bec 14分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 苏州模拟 已知m n是两条不同直线 是三个不同平面 下列命题正确的是 1 若 则 2 若m n 则m n 3 若m n 则m n 4 若m m 则 解析 若 则 或 与 相交 故 1 错误 若m n 则m与n平行 相交 异面都有可能 故 3 错误 m m 则 与 可平行也可相交 故 4 错误 垂直于同一平面的两条直线平行 故 2 正确 答案 2 2 2013 徐州模拟 已知直线l m 平面 且l m 则 是 l m 的 条件 填 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 解析 当 l 时 有l 又m 故l m 反之 当l m m 时 不一定有l 故 不一定成立 因此 是 l m 的充分不必要条件 答案 充分不必要 3 2013 宿迁模拟 在空间中 有如下命题 互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线 若平面 平面 则平面 内任意一条直线m 平面 若平面 与平面 的交线为m 平面 内的直线l平行平面 则直线l m 若平面 内的三点a b c到平面 的距离相等 则 其中正确命题的个数为 解析 中 互相平行的两条直线的射影可能重合 错误 正确 由线面平行的性质定理知 正确 中 若平面 内的三点a b c在一条直线上 则平面 与平面 可以相交 错误 答案 2 4 2013 淮安模拟 已知a b l表示三条不同的直线 表示三个不同的平面 有下列三个命题 其中正确的是 若 a b且a b 则 若 a b a b 则b 若a b l a l b 则l 解析 错误 如图所示 a b且a b 但 与 相交 正确 由面面垂直的性质定理知正确 错误 若a