高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义互动课堂学案 新人教A版必修4.doc

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义互动课堂疏导引导1.力做功的计算如图2-4-1,一个力f作用于一个物体使物体发生位移s.由于图示的力f的方向与前进方向有一个夹角,真正使物体前进的力是f在物体前进方向上的分力,这个分力与物体位移距离的乘积才是力f做的功,即w=|s|f|cos.图2-4-1疑难疏引 f在物体前进方向上的分量,就是f在物体前进方向上的正射影的数量.2.向量积数量积(内积)定义(1)数量积(内积)定义|a|b|cosa,b叫做向量a和b的数量积(或内积),记作ab,即ab=|a|b|cosa,b.数量积定义中指明了平面向量数量积的运算程序和运算结果,即平面向量的数量积等于两向量模与其夹角的余弦的积,运算结果是一个实数,此数的符号由两向量夹角的余弦决定.疑难疏引 当a0时,由ab=0,不能推出b一定是零向量.以一个向量与单位向量的数量积为例,其几何意义就是向量在单位向量上的正射影的数量.(2)平面向量数量积的性质根据向量内积定义,可得数量积有如下重要性质:如果e是单位向量,则ae=ea=|a|cosa,e;abab=0且ab=0ab;aa=|a|2或|a|=;cosa,b=;|ab|a|b|. 以上是两个向量内积的五条性质,性质给出了两向量垂直的充要条件;性质求向量长度,在向量的内积运算中经常用到;性质求两向量夹角公式,体现了向量的内积与三角的联系.3.b在a方向上的投影如图2-4-2,=b, =a,过b作bb1,垂足为b1,则就叫b在a方向上的投影,且=|b|cos.图2-4-2当(0,)时,0;=时,=0;(,)时,0.活学巧用1.一个大小为10牛顿的力作用于物体a(如图2-4-3),使之前行了5米,则该力所做的功为_.图2-4-3解析：由题意有f在位移s方向上的正射影的数量为|f|cos60,即5牛顿,从而力所做的功为.w=|f|s|cos60=55=25(焦耳).答案：25焦耳2.已知|a|=4,|b|=5,当(1)ab,(2)ab,(3)a,b=时,分别求a与b的数量积.解析：已知|a|与|b|,求ab只需确定其夹角,需注意到ab时,有a,b=0和a,b=两种可能.解：(1)ab,a、b的夹角有两种情况,即a,b=0或a,b=.于是a,b=0时,ab=|a|b|cosa,b=45cos=20,a,b=时,ab=|a|b|cosa,b=45cos=-20.(2)ab时,a,b=,ab=|a|b|cos=0.(3)a,b=时,ab=|a|b|cosa,b=54cos=.3.已知|a|=,|b|=1,ab=-9,则a,b等于 ( )a.120 b.150 c.60 d.30解析：本题是已知向量的模及它们的数量积,求夹角,利用夹角公式及夹角范围求之.解:由题意有cosa,b=.又0a,b180,a,b=150.答案:b4.如图2-4-4所示,已知轴l,(1)|=5,l=60,求在l上的投影;(2)向量|=5,l=120,求在l上的投影.图2-4-4解析：向量