高中数学 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质复习课件 新人教A版选修23.ppt

1 3 2 杨辉三角 与二项式系数的性质 1 了解杨辉三角 并能由它解决简单的二项式系数问题 2 了解二项式系数的性质并能简单应用 3 掌握 赋值法 并会灵活应用 本节重点是二项式系数性质的应用本节难点是杨辉三角的特点 1 杨辉三角的特点 1 在同一行中 每行两端都是1 与这两个1等距离的项的系数 2 在相邻的两行中 除1以外的每一个数都等于它 肩上 两个数的 即 相等 和 2 二项式系数的性质 增大 减小 在 a b n展开式中 与首末两端等距离的两个二项式系数相等 即 当k 时 二项式系数是逐渐 的 当k 时 二项式系数是逐渐 的 当n为偶数时 中间的一项 取得最大 当n为奇数时 中间的两项 相等 且同时取得最大值 1 观察杨辉三角 归纳猜想出第几行的各个数字都是奇数 提示 从表中可看出第一行 第二行 第四行 第八行 都是奇数 归纳得出第2n 1行 n 1 2 3 都是奇数 2 1 x 10的展开式中二项式系数之和为 解析 a b n展开式的二项式系数之和为2n 只与n有关 故二项式系数之和为210 答案 210 3 1 x 10的展开式中各项系数之和为 解析 令x 1即可得到各项系数之和为0 答案 0 1 关于 杨辉三角 的规律拓展 1 杨辉三角的第2n 1行各个数都是奇数 2 如图 1 第n条横线与第n 1条横线数字之和等于第n 2条横线上数字之和 3 如图 2 每一斜行任取n个数字之和都等于第n个数字右下 脚 的数字 2 对二项式系数性质的深层理解 1 对称性 源于组合数的性质 基础是 然后从左右向中间靠拢 便有 2 最大值 当n是偶数时 a b n的展开式共n 1项 n 1是奇数 这时展开式的形式是中间一项是第 1项 它的二项式系数是 它是所有二项式系数中的最大值 当n是奇数时 a b n的展开式共有n 1项 n 1是偶数 这时展开式的形式是中间两项是第项 它们的二项式系数是 这两个系数相等 并且是所有二项式系数中的最大值 杨辉三角的有关问题 技法点拨 杨辉三角问题解决的一般方法观察 分析 实验 猜想 结论 证明 要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律 取决于我们的观察能力 观察能力有 横看 竖看 斜看 连续看 隔行看 从多角度观察 如表所示 表达 规律 观察 结论 对数据要横看 竖看 斜看 连续看 隔行看 多角度观察 通过观察找出每一行的数之间 行与行之间的数据的规律 将发现的规律用数学式子表达 由数学表达式得出结论 典例训练 1 如图所示 满足 第n行首尾两数均为n 表中的递推关系类似杨辉三角 则第n行 n 2 的第2个数是 2 将杨辉三角中的奇数换成1 偶数换成0 得到如图所示的0 1三角数表 从上往下数 第1次全行的数都为1的是第1行 第2次全行的数都为1的是第3行 第n次全行的数都为1的是第 行 第61行中1的个数是 解析 1 由图中数字规律可知 第n行的第2个数是 1 2 3 n 1 1 答案 2 观察可得第1行 第3行 第7行 第15行 全行都为1 故第n次全行的数都为1的是第2n 1行 n 6 26 1 63 故第63行共有64个1 逆推知第62行共有32个1 第61行共有32个1 答案 2n 132 变式训练 如图所示 在杨辉三角中 斜线ab上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列 1 2 3 3 6 4 10 记这个数列的前n项和为sn 求s19 解析 由题干图知 数列中的首项是 第2项是 第3项是 第4项是 第17项是 第18项是 第19项是 s19 有关二项式及系数和的问题 技法点拨 1 解决二项式系数和问题思维流程 求二项式系数的和 切入点 思考点 思维流程 对式子中的x赋值 目的是将二项式的系数分离出来 怎么对x赋值 展开式的常数项和最高次项系数如何求出 如何得到所求值的代数关系 对x赋值 变形 结论 2 赋值法 1 赋值法 是求二项展开式系数问题常用的方法 注意取值要有利于问题的解决 可以取一个值或几个值 也可以取几组值 解决问题时要避免漏项等情况 2 一般地 二项展开式f x 的各项系数和为f 1 奇次项系数和为 f 1 f 1 偶次项系数和为 f 1 f 1 典例训练 展开式中不含x4项的系数的和为 a 1 b 0 c 1 d 22 在的展开式中 所有奇数项的二项式系数之和为1024 则中间项系数是 3 若 3x 1 7 a7x7 a6x6 a1x a0 求 1 a1 a2 a7 2 a1 a3 a5 a7 3 a0 a2 a4 a6 解析 1 选b 令 a0 a1x a8x4 令x 1 得a0 a1 a8 含x4项的系数为 所以不含x4的项的系数和为1 1 0 2 二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n 而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等 故由题意知2n 1 1024 n 11 展开式共12项 中间项为第六项 第七项 其系数为答案 462 3 1 令x 0 则a0 1 令x 1 则a7 a6 a1 a0 27 128 a1 a2 a7 129 2 令x 1 则 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 4 7 由 得a1 a3 a5 a7 128 4 7 8256 3 由 得a0 a2 a4 a6 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 128 4 7 8128 互动探究 题1的条件不变 求不含常数项的系数和为多少 解题指南 先求出常数项 再结合所有系数和求解 解析 常数项为28 256 所以不含常数项的系数和为1 256 255 思考 解决题1 2的关键点及解决题3的方法是什么 提示 1 解决题1 2的关键是采用赋值法逆向求解 2 形如题3常见的方法是赋值法 变式训练 已知 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 求 1 a1 a2 a7 2 a1 a3 a5 a7 3 a0 a1 a7 解析 1 当x 1时 1 2x 7 1 2 7 1 展开式右边为a0 a1 a2 a7 a0 a1 a2 a7 1 当x 0时 a0 1 a1 a2 a7 1 1 2 2 令x 1 a0 a1 a2 a7 1 令x 1 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 37 得 2 a1 a3 a5 a7 1 37 a1 a3 a5 a7 3 由展开式知 a1 a3 a5 a7均为负 a0 a2 a4 a6均为正 由 2 中 得 2 a0 a2 a4 a6 1 37 a0 a2 a4 a6 a0 a1 a7 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a0 a2 a4 a6 a1 a3 a5 a7 37 利用二项式系数的性质解相关问题 技法点拨 二项式系数的最大项与展开式中系数的最大项的求法 1 求二项式系数的最大项 可根据二项式系数的性质 当n为奇数时 中间两项的二项式系数最大 当n为偶数时 中间一项的二项式系数最大 2 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的 需要根据各项系数的正 负变化情况 一般采用列不等式组 解不等式组求范围的方法求得 典例训练 1 x 2y 7展开式中系数最大的项为 2 在 x y 11的展开式中 解答下列问题 1 通项tr 1 2 二项式系数最大的项 3 项的系数绝对值最大的项 4 项的系数最大的项 5 项的系数最小的项 6 二项式系数的和 7 各项系数的和 解析 1 展开式中共有8项 系数最大项必为正项 即在第一 三 五 七这四项中取得 又因 x 2y 7括号内两项中后项系数绝对值大于前项系数的绝对值 故系数最大项必在中间或偏右 故只需要比较t5和t7两项系数大小即可 系数最大的项是第五项 2 1 2 二项式系数最大的项为中间两项 3 项的系数绝对值最大的项也是中间两项 4 因为中间两项系数的绝对值相等 一正一负 第7项为正 故项的系数最大的项为 5 项的系数最小的项为 6 二项式系数的和为 7 各项系数和为 1 1 11 0 互动探究 若将题1改为 x 2y 7 如何求解 解题指南 求展开式中的二项式系数最大的项 首先要分清n的奇偶 才能把握最大项是一项还是两项 一般是列出不等式组 假设第r 1项系数最大 则第r 1项的系数就大于等于它前面所有项的系数 同时又大于等于它后面所有项的系数即可 解析 设r 1项系数最大 则有即又 0 r 7 r 5 系数最大的项为 想一想 解决题2的关键点和注意事项是什么 提示 1 读清题意是解决题2的关键 注意 系数绝对值最大 二项式系数最大 系数最大 系数最小 等几个关键词 灵活选取方法 2 借助前问解题 如 4 5 两问 只需将 3 问进行简单分析即可 在学习过程中应加以重视 变式训练 2012 梅州高二检测 1 在的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512 求展开式的所有有理项 指数为整数 2 求 1 x 3 1 x 4 1 x n展开式中x2项的系数 解析 1 n 1 9 n 10 z r 0 6 所以有理项为 2 x2项的系数为 易错误区 审题疏忽导致计算错误 典例 已知 2x 1 n二项展开式中 奇次项系数的和比偶次项系数的和小38 则的值为 a 28 b 28 1 c 27 d 27 1 解题指导 解析 选b 设 2x 1 n a0 a1x a2x2 anxn 且奇次项的系数和为a 偶次项的系数和为b 则a a1 a3 a5 b a0 a2 a4 a6 由已知可知 b a 38 令x 1 得 a0 a1 a2 a3 an 1 n 3 n 即 a0 a2 a4 a6 a1 a3 a5 a7 3 n 即 b a 3 n 3 n 38 3 8 n 8 由二项式系数性质可得 阅卷人点拨 通过阅卷后分析 对解答本题的常见错误及解题启示总结如下 即时训练 2012 武威高二检测 若展开式的各项系数之和为32 其展开式中的常数项为 用数字作答 解析 令x 1得展开式的各项系数之和为2n 由题意知2n 32 故n 5 展开式的通项式是令10 5r 0得r 2 因此展开式中的常数项为答案 10 1 已知 2 x 10 a0 a1x a2x2 a10 x10 则a8 a 180 b 180 c 45 d 45 解析 选a 2 1 x 13展开式中系数最小的项为 a 第六项 b 第七项 c 第八项 d 第九项 解析 选c 展开式共有14项 中间两项 第七 八项 的二项式系数最大 由于二项展开式中二项式系数和项的系数满足 奇数项相等 偶数项互为相反数 所以系数最小的项为第八项 系数最大的项为第七项 3 2x 6y 20的各项系数和为 解析 令x