高考数学一轮复习 第八章 第8课时 空间向量的应用（二）空间的角与距离课件 理.ppt

第八章立体几何 1 能够利用空间向量 解决异面直线的夹角 线面角 面面角问题 体会向量法在立体几何中的应用 2 了解点面距离的求法 请注意在高考中 本部分知识是考查的重点内容之一 主要考查异面直线所成角 线面角和面面角的计算 属于中档题 综合性较强 与平行垂直联系较多 1 利用空间向量求空间角 1 两条异面直线所成的角 定义 设a b是两条异面直线 过空间任一点o作直线a a b b 则a 与b 所夹的叫做a与b所成的角 范围 两异面直线所成角 的取值范围是 锐角或直角 向量求法 设直线a b的方向向量分别为a b 其夹角为 则有cos 2 直线与平面所成的角 定义 直线和平面所成的角 是指直线与它在这个平面内的射影所成的角 范围 直线和平面所成的角 的取值范围是 向量求法 设直线l的方向向量为a 平面的法向量为u 直线与平面所成的角为 a与u的夹角为 则有sin 或cos cos sin 3 二面角 二面角的取值范围是 二面角的向量求法 0 设n1 n2分别是二面角 l 的两个面 的法向量 则向量n1与n2的夹角 或其补角 的大小就是二面角的平面角的大小 如图 2 点面距的求法如图 设ab为平面 的一条斜线段 n为平面 的法向量 则b到平面 的距离d 1 判断下面结论是否正确 打 或 1 两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角 2 直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角 3 两个平面的法向量所成的角就是这两个平面所成的角 答案 1 2 3 4 5 6 答案a 3 已知两平面的法向量分别为m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面所成的二面角为 a 45 b 135 c 45 或135 d 90 答案c 4 在棱长为2的正方体abcd a1b1c1d1中 o是底面abcd的中心 e f分别是cc1 ad的中点 则异面直线oe和fd1所成的角的余弦值等于 答案 1 略 2 45 题型一异面直线所成角 答案 b 探究1求一对异面直线所成角 一是按定义平移转化为两相交直线的夹角 二是在异面直线上各取一向量 转化为两向量的夹角或其补角 无论哪种求法 都应注意角的范围的限定 已知直四棱柱abcd a1b1c1d1中 底面abcd为正方形 aa1 2ab e为aa1的中点 则异面直线be与cd1所成角的余弦值为 思考题1 答案 c 例2如图所示 在四棱锥p abcd中 底面abcd是矩形 pa 平面abcd pa ad 2 ab 1 bm pd于点m 1 求证 am pd 2 求直线cd与平面acm所成的角的余弦值 题型二线面角 解析 1 pa 平面abcd ab 平面abcd pa ab ab ad ad pa a ad 平面pad pa 平面pad ab 平面pad pd 平面pad ab pd bm pd ab bm b ab 平面abm bm 平面abm pd 平面abm am 平面abm am pd 探究2求直线和平面所成的角也有传统法和向量法两种 传统法关键是找斜线在平面内的射影 从而找出线面角 向量法则可建立坐标系 利用向量的运算求解 用向量法可避开找角的困难 但计算较繁 所以要注意计算上不要失误 2014 北京理 如图所示 正方形amde的边长为2 b c分别为am md的中点 在五棱锥p abcde中 f为棱pe的中点 平面abf与棱pd pc分别交于点g h 1 求证 ab fg 2 若pa 底面abcde 且pa ae 求直线bc与平面abf所成角的大小 并求线段ph的长 思考题2 解析 1 证明 在正方形amde中 因为b是am的中点 所以ab de 又因为ab 平面pde 所以ab 平面pde 因为ab 平面abf 且平面abf 平面pde fg 所以ab fg 题型三二面角 例3 2014 新课标全国 理 如图所示 在三棱柱abc a1b1c1中 侧面bb1c1c为菱形 ab b1c 1 证明 ac ab1 2 若ac ab1 cbb1 60 ab bc 求二面角a a1b1 c1的余弦值 思路 1 充分利用菱形中蕴含的垂直关系 用传统的方法 综合法 即可证明 2 利用垂直关系建立空间直角坐标系 用法向量法求二面角的余弦值 解析 1 证明 连接bc1 交b1c于点o 连接ao 因为侧面bb1c1c为菱形 所以b1c bc1 且o为b1c及bc1的中点 又ab b1c ab bo b 所以b1c 平面abo 由于ao 平面abo 故b1c ao 又b1o co 故ac ab1 探究3 1 当空间直角坐标系容易建立时 用向量法较为简洁明快 2 用法向量求二面角的大小时 有时不易判断两法向量的大小就是二面角的大小 相等或互补 但我们完全可以根据图形得出结论 这是因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是比较明显的 思考题3 由题设知ad dc 且ap与ad是平面pad内的两条相交直线 由此得dc 平面pad 又dc在平面pcd上 故平面pad 平面pcd 例4已知正方形abcd的边长为4 cg 平面abcd cg 2 e f分别是ab ad的中点 求点b到平面gef的距离 题型四空间距离 讲评 空间中的距离问题一般都可以转化成点到点的距离 点到线的距离和点到面的距离 其中点到点的距离 点到线的距离可用空间向量的模来求解 点到面的距离可借助于平面的法向量求解 思考题4 1 角的计算与度量总要进行转化 这体现了转化的思想 主要将空间角转化为平面角或两向量的夹角 2 用向量的数量积来求解两异面直线所成的角 简单 易掌握 其基本程序是选基底 表示两直线方向向量 计算数量积 若能建立空间直角坐标系 则更为方便 3 找直线和平面所成的角常用方法是过线上一点作面的垂线或找线上一点到面的垂线 或找 作 垂面 将其转化为平面角 或用向量求解 或解直角三角形 4 二面角的求解方法一般有作垂面法 三垂线定理法 面积射影法 向量法等 特别是对 无 棱 图中没有棱 的二面角 应先找出棱或借助平面法向量夹角求解 5 空间的距离主要掌握点面距离的求法 1 2015 山西临汾一模 如图所示 点p在正方形abcd所在平面外 pa 平面abcd pa ab 则pb与ac所成的角是 a 90 b 60 c 45 d 30 答案b解析将其还原成正方体abcd pqrs 显然pb sc acs为正三角形 acs 60 答案b 答案b 4 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab aa1 2 ad 1 e为cc1的中点 则异面直线bc1与ae所成角的余弦值为 高考中的立体几何探索性问题利用向量解决立体几何中的探索性问题 在近几年的高考中倍受青睐 如2013年各地高考卷中出现了6次 2014年出现了3个 下面举两例说明其破解方法 以期抛砖引玉 例2 2014 湖北理 如图所示 在棱长为2的正方