高中数学 2.2.2 事件的相互独立性复习课件 新人教A版选修23.ppt

2 2 2事件的相互独立性 1 通过实例了解相互独立事件的概念 2 掌握相互独立事件概率的乘法公式 3 运用公式解决实际问题 掌握解决概率问题的步骤 1 本课时的重点是相互独立事件的概念及应用相互独立事件概率的乘法公式解决简单的实际问题 2 本课时的难点是事件相互独立性的判断及相互独立事件与互斥事件的辨析 事件的相互独立 1 相互独立的概念设a b为两个事件 则事件a与事件b相互独立的条件是 p ab 2 相互独立的性质如果事件a与b相互独立 则a与 与b 也都相互独立 p a p b 1 若事件a与事件b相互独立 则p ab p a p b 提示 如果事件a与事件b相互独立 则有p b a p b 又从而p ab p a p b a p a p b 即p ab p a p b 是事件a b相互独立的充要条件 2 一个篮球运动员投篮1次命中的概率是0 6 事件a为 第一次没有命中 事件b为 第二次命中 则在事件a发生的条件下事件b发生的概率是多少 事件a的发生会影响事件b发生的概率吗 提示 因为事件a与b相互独立 故在事件a发生的条件下事件b发生的概率不变 依然是0 6 事件a的发生不影响事件b发生的概率 3 若事件e与f相互独立 且 则p ef 的值等于 解析 答案 4 某射击运动员射击一次 命中目标的概率为0 9 则他连续射击两次都命中的概率是 解析 ai表示 第i次击中目标 i 1 2 则p a1a2 p a1 p a2 0 9 0 9 0 81 答案 0 81 1 相互独立事件与互斥事件的辨析 如果事件a 或b 是否发生对事件b 或a 发生的概率没有影响 这样的两个事件叫做相互独立事件 不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件 相互独立事件a b同时发生 记作 ab 互斥事件a b中有一个发生 记 a b 或a b p ab p a p b p a b p a p b 2 对事件相互独立性的理解 1 判断事件独立性的依据 公式可以作为判断两个事件是否相互独立的理论依据 即p ab p a p b 是a b相互独立的充要条件 2 事件独立性的推广 若n个事件相互独立 则这n个事件同时发生的概率就等于每个事件发生的概率的积 即p a1a2 an p a1 p a2 p an 3 公式p ab p a p b 的适用前提 在使用概率的乘法公式时 一定要注意公式成立的条件 即各事件必须相互独立 事件相互独立性的判断 技法点拨 三种方法判断两事件是否具有独立性 1 定义法 直接判定两个事件发生是否相互影响 2 公式法 检验p ab p a p b 是否成立 3 条件概率法 当p a 0时 可用p b a p b 判断 典例训练 1 下列事件中 a b是独立事件的是 a 一枚硬币掷两次 a 第一次为正面 b 第二次为反面 b 袋中有2白 2黑的小球 不放回地摸两球 a 第一次摸到白球 b 第二次摸到白球 c 掷一枚骰子 a 出现点数为奇数 b 出现点数为偶数 d a 人能活到20岁 b 人能活到50岁 2 一个家庭中有若干个小孩 假定生男孩和生女孩是等可能的 令a 一个家庭中既有男孩又有女孩 令b 一个家庭中最多有一个女孩 对下述两种情形 讨论a与b的独立性 1 家庭中有两个小孩 2 家庭中有三个小孩 解析 1 选a 把一枚硬币掷两次 对于每次而言是相互独立的 其结果不受先后影响 故a是独立事件 b中是不放回地摸球 显然a事件与b事件不相互独立 对于c 其结果具有唯一性 a b应为互斥事件 d是条件概率 事件b受事件a的影响 2 1 家庭中有两个小孩 小孩为男孩 女孩的可能情形为 男 男 男 女 女 男 女 女 它有4个基本事件 由等可能性知概率各为 此时 a 男 女 女 男 b 男 男 男 女 女 男 ab 男 女 女 男 由此可知p ab p a p b 故事件a b不相互独立 2 家庭中有三个小孩 小孩为男孩 女孩的所有可能情形为 男 男 男 男 男 女 男 女 男 女 男 男 男 女 女 女 男 女 女 女 男 女 女 女 它有8个基本事件 由等可能性知这8个基本事件的概率均为此时显然p ab p a p b 故事件a b相互独立 想一想 1 2两题的解题思路分别是什么 提示 1 第1题在求解中直接利用实际背景求解 其理论依据是 事件相互独立性的概念 2 第2题在求解中利用了 事件相互独立性的充要条件p ab p a p b 变式训练 已知下列各对事件 1 甲组3名男生 2名女生 乙组2名男生 3名女生 今从甲 乙两组中各选一名同学参加游园活动 从甲组中选出一名男生 与 从乙组中选出一名女生 2 一盒内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球 从8个球中任取1个 取出的是白球 与 从剩下的7个球中任意取1个 取出的仍是白球 3 一筐内有6个苹果和3个梨 从中任取1个 取出的是苹果 与 取出第一个后放回筐内 再取1个是梨 其中为相互独立事件的有 a 1 2 b 1 3 c 2 d 2 3 解析 选b 1 3 显然满足事件相互独立性的条件 由于 2 中的取球是不放回的 故先取出的球的颜色对后取出的球的颜色直接产生影响 相互独立事件的概率求法 技法点拨 与相互独立事件有关的概率问题求解策略明确事件中的 至少有一个发生 至多有一个发生 恰好有一个发生 都发生 都不发生 不都发生 等词语的意义 一般地 已知两个事件a b 它们的概率分别为p a p b 那么 1 a b中至少有一个发生为事件a b 2 a b都发生为事件a b 3 a b都不发生为事件 4 a b恰有一个发生为事件 5 a b中至多有一个发生为事件它们之间的概率关系如表所示 p a p b 0 p a p b 1 p a p b p a p b 1 1 p a p b 典例训练 1 2012 海口高二检测 同时转动如图所示的两个转盘 记转盘甲得到的数为x 转盘乙得到的数为y 构成数对 x y 则所有数对 x y 中满足xy 4的概率为 2 甲 乙两射击运动员分别对一目标射击1次 甲射中的概率为0 8 乙射中的概率为0 9 求 1 2人都射中目标的概率 2 2人中恰有1人射中目标的概率 3 2人至少有1人射中目标的概率 解析 1 选c 满足xy 4的所有可能如下 x 1 y 4 x 2 y 2 x 4 y 1 所求事件的概率p p x 1 y 4 p x 2 y 2 p x 4 y 1 2 记 甲射击1次 射中目标 为事件a 乙射击1次 射中目标 为事件b 则a与b 与b a与与b为相互独立事件 1 2人都射中的概率为 p a b p a p b 0 8 0 9 0 72 2人都射中目标的概率是0 72 2 2人各射击1次 恰有1人射中目标 包括两种情况 一种是甲射中 乙未射中 事件a 发生 另一种是甲未射中 乙射中 事件 b发生 根据题意 事件a 与 b互斥 根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式 所求的概率为 0 8 1 0 9 1 0 8 0 9 0 08 0 18 0 26 2人中恰有1人射中目标的概率是0 26 3 方法一 2人至少有1人射中包括 2人都中 和 2人有1人不中 两种情况 其概率为 方法二 2人至少有1人射中 与 2人都未射中 为对立事件 2人都未射中目标的概率是 2人至少有1人射中目标 的概率为 互动探究 在题2题设不变的情况下 求 2人至多有1人射中目标的概率 解析 方法一 至多有1人射中目标 包括 有1人射中 和 2人都未射中 故所求概率为 0 02 0 08 0 18 0 28 方法二 至多有1人射中目标 的对立事件是 2人都射中目标 故所求概率为p 1 p a b 1 p a p b 1 0 72 0 28 总结 求解题2的关键点 提示 求解题2的关键是利用 a b 准确地把待求事件表示出来 变式训练 某种有奖销售的饮料 瓶盖内印有 奖励一瓶 或 谢谢购买 字样 购买一瓶饮料 若其瓶盖内印有 奖励一瓶 字样即为中奖 中奖概率为 甲 乙 丙三位同学每人购买了一瓶该饮料 1 求三位同学都没有中奖的概率 2 求三位同学中至少有两位没有中奖的概率 解题指南 1 直接利用相互独立事件的概率公式求解 2 利用互斥事件的概率求解 解析 1 设甲 乙 丙中奖的事件分别为a b c 则故三位同学都没有中奖的概率为 2 方法一 方法二 故三位同学中至少有两位没有中奖的概率为 系统可靠性问题 技法点拨 系统可靠性问题的求解思路由于该类问题常常与物理知识相联系 在考查知识纵向联系的同时 重点考查事件独立性的综合应用 求解时可先从系统的构造出发 分析所给的系统是单纯的串 并 联还是串并联混合体结构 在此基础上 借助互斥事件的概率公式及相互独立事件同时发生的概率乘法公式求解 典例训练 1 在如图所示的电路图中 开关a b c闭合与断开的概率都是 且是相互独立的 则灯亮的概率是 2 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关 只要其中有1个开关能够闭合 线路就能正常工作 假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0 7 计算在这段时间内线路正常工作的概率 解析 1 选b 设开关a b c闭合的事件分别为a b c 则灯亮这一事件 且a b c相互独立 互斥 所以 2 分别记这段时间内开关ja jb jc能够闭合为事件a b c 由题意 这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响 根据相互独立事件的概率乘法公式 这段时间内3个开关都不能闭合的概率是 1 p a 1 p b 1 p c 1 0 7 1 0 7 1 0 7 0 027 这段时间内至少有1个开关能够闭合 从而使线路能正常工作的概率是1 p 1 0 027 0 973 答 在这段时间内线路正常工作的概率是0 973 总结 求解题2用到的解题思想及概率公式 提示 1 求解题2时 用了 正难则反 的解题思想 即用对立事件的概率求解 至少有一个事件发生的概率 这样求解运算较为便捷 一般地 串联电路正常工作的概率 并联电路不能正常工作的概率容易求出 2 求解题2时用到了对立事件的概率公式及相互独立事件同时发生的概率公式 变式训练 如图 用a b c d表示四类不同的元件 它们连接成系统m 当元件a b至少有一个正常工作且元件c d至少有一个正常工作时 系统m正常工作 已知元件a b c d正常工作的概率依次为0 5 0 6 0 7 0 8 元件连接成的系统m正常工作的概率p m 解题指南 借助对立事件的概率求解 要使系统m正常工作 只需a b至少有一个能正常工作 且c d至少有一个能正常工作 解析 答案 0 752 规范解答 与事件的相互独立有关的概率求法 典例 12分 2012 成都高二检测 甲 乙两人参加一次英语口语考试 已知在备选的10道试题中 甲能答对其中的6题 乙能答对其中的8题 规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试 至少答对2题才算合格 求甲 乙两人至少有一人考试合格的概率 解题指导 规范解答 设甲 乙两人考试合格的事件分别为a b 则 6分且事件a b相互独立 方法一 甲 乙两人考试均不合格的概率为 9分故甲 乙两人至少有一人考试合格的概率为答 甲 乙两人至少有一人考试合格的概率为 12分 方法二 甲 乙两人至少有一人考试合格的概率为 10分答 甲 乙两人至少有一人考试合格的概率为 12分 阅卷人点拨 通过阅卷后分析 对解答本题的失分警示和解题启示总结如下 注 此处的 见规范解答过程 规范训练 12分 某课程考核分理论与实验两部分进行 每部分考核成绩只记 合格 与 不合格 两部分考核都是 合格 则该课程考核 合格 甲 乙 丙三人在理论考核中合格的概率分别为0 9 0 8 0 7 在实验考核中合格的概率分别为0 8 0 7 0 9 所有考核是否合格相互之间没有影响 1 求甲 乙 丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率 2 求这三人该课程考核都合格的概率 结果保留三位小数 解题设问 1 求解 1 有几种思路 2 三人该课程考核都合格 的含义是什么 规范答题 记 甲理论考核合格 为事件a1 乙理论考核合格 为事件a2 丙理论考核合格 为事件a3 记ai为ai的对立事件 i 1 2 3 记 甲实验考核合格 为事件b1 乙实验考核合格 为事件b2 丙实验考核合格 为事件b3 2分 二是利用对立事件求解 一是直接求解 甲 乙 丙三 人在理论与实验两部分均合格 1 记 理论考核中至少有两人合格 为事件c 记c为c的对立事件 方法一 0 9 0 8 0 3 0 9 0 2 0 7 0 1 0 8 0 7 0 9 0 8 0 7 0 902 8分 方法二 1 0 1 0 2 0 3 0 9 0 2 0 3 0 1 0 8 0 3 0 1 0 2 0 7 1 0 098 0 902 所以 理论考核中至少有两人合格的概率为0 902 8分 2 记 三人该课程考核都合格 为事件d p d p a1 b1 a2 b2 a3 b3 p a1 b1 p a2 b2 p a3 b3 p a1 p b1 p a2 p b2 p a3 p b3 0 9 0 8 0 8 0 7 0 7 0 9 0 254016 0 254 所以 这三人该课程考核都合格的概率