高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.2 一般形式的柯西不等式自主训练 新人教A版选修4-5.doc_第1页
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3.2 一般形式的柯西不等式自主广场我夯基我达标1.已知a12+a22+an2=1,x12+x22+xn2=1,则a1x1+a2x2+anxn的最大值是( )a.1 b.2 c.3 d.4思路解析：(a1x1+a2x2+anxn)2(a12+a22+an2)(x12+x22+xn2)=11=1.a1x1+a2x2+anxn的最大值是1.答案：a2.已知x,y,zr+且x+y+z=1,则x2+y2+z2的最小值是( )a.1 b. c. d.2思路解析：根据柯西不等式，x2+y2+z2=(12+12+12)(x2+y2+z2)(1x+1y+1z)2=(x+y+z)2=.答案：b3.n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是( )a.1 b.n c.n2 d.思路解析：设n个正数为x1,x2,xn，由柯西不等式，得(x1+x2+xn)()()2=(1+1+1)2=n2.答案：c4.已知x+3y+5z=6,则x2+y2+z2的最小值为( )a. b. c. d.6思路解析：由柯西不等式，得x2+y2+z2=(12+32+52)(x2+y2+z2)(1x+3y+5z)2.答案：c5.已知2x+3y+4z=10,则x2+y2+z2取到最小值时的x,y,z的值为( )a. b.c.1， d.1，思路解析：当且仅当=时，取到最小值，所以联立可得.答案：b6.已知a,b,cr+，且a+b+c=1,求的最大值.解：由柯西不等式，得()2=(1+1+1)2(12+12+12）（4a+1+4b+1+4c+1)=34(a+b+c)+3=21.当且仅当a=b=c=时，取“=”.故的最大值为.我综合我发展7.三角形三边a,b,c对应的高为ha,hb,hc，r为三角形内切圆半径.若ha+hb+hc的值为9r.试判断此三角形的形状.思路解析：记三角形的面积为s，则2s=aha=bhb=chc，又因为2s=r(a+b+c),所以ha+hb+hc=2s(+)=r(a+b+c)(+).由柯西不等式，得(a+b+c)(+)=()2+()2+()2()2+()2+()2+2=9.当且仅当a=b=c时取等号.所以ha+hb+hc=9r,当且仅当a=b=c时取等号.故ha+hb+hc=9r时，三角形为等边三角形.8.abc的三边长为a,b,c，其外接圆半径为r.求证：(a2+b2+c2)()36r2.证明：由三角形的正弦定理，得sina=,所以.同理，.于是左边=(a2+b2+c2)()(a+b+c)2=36r2.9.求实数x,y的值，使(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2达到最小值.解：由柯西不等式，得(12+22+12)(y-1)2+(3-x-y)2+(2x+y-6)21（y-1)+2(3-x-y)+1(2x+y-6)2=1.即(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2.当且仅当,即x=,y=时上式取等号.故所求值为x=,y
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