数学人教版八年级上册分式方程应用.doc

15.3 分式方程与实际问题一、 内容与内容分析1、 内容分式方程与实际问题2、内容分析分式方程应用与整式方程应用紧密联系，它是整式方程应用的延伸和发展，是对方程与实际问题认识的再提升。分式方程应用与整式方程应用在一定条件下可以相互转化，而分式方程应用检验时，不仅要检查是否符合实际，还要检验是否为原分式方程的根，这是分式方程应用中不可缺少的一个环节。从整式方程应用到分式方程的应用是对方程应用的扩充。分式方程应用与整式方程应用都是刻画已知量和未知量之间的等量关系，研究分式方程的应用有助于进一步培养学生的数学应用能力和数学建模的意识。因此，本节课将弱化解分式方程的过程，对于重点和难点内容-列分式方程解决实际问题，进行”抛锚式教学”。基于以上分析，确定本节课的教学重点：寻找并建立等量关系，提炼数学模型。二、 目标和目标解析1、 目标（1） 掌握分式方程应用的两个基本类型：工程问题和行程问题，明确工程问题和行程问题中三个基本量之间的相互关系；（2） 会从实际问题提炼出关键语句，建立等量关系，列出方程解决实际问题；（3） 经历简单应用-初步掌握-本质理解-自觉应用的递进式过程，培养学生自觉探索、合作交流及团队协作能力；（4） 在列方程解决实际问题中渗透转化、类比、分类、数形结合、由特殊到一般的数学思想方法。2、 目标解析达成目标（1）的标志是：首先教师设置问题情境，让学生从思考中类比整式方程的应用得出分式方程的应用，能用语言准确描述题目中的等量关系；在学生已有的工程问题和行程问题的基础上，厘清三个基本量之间的关系及已知两个量求第三个量的转化关系，再次感悟数学思想方法的曼妙。达成目标（2）的标志是：利用线段示意图帮助学生分析已知、未知之间的关系，从而建立等量关系，抽象数学模型。达成目标（3）的标志是：通过例题3的探究之旅，例题4的合作之旅的学习，体会利用分式方程解决实际问题的简洁，感悟数学与生活息息相关，让学生经历探究-模仿-合作-交流-应用的历程，同时积淀一定的探究能力。达成目标（4）的标志是：通过“五站式”的导学让学生积累数学活动经验、感悟数学方法对知识迁移的“助推作用”，进一步领会数学思想方法的精髓所在，实质上本节课也是数学思想方法的一次盛宴。三、 教学问题诊断分析分式方程应用是学生在学习整式方程应用的基础上，是在唤起学生对方程应用的记忆，由整式方程应用迁移到分式方程的应用，所以，学生理解起来有一定的困难。对于例题3的探究，教学中可以提醒学生，比较施工速度的快慢可以从工作效率和工作时间两个方面入手，将问题中隐含的未知量凸显出来。对于例题4的学习，是含字母系数的分式方程，学生理解起来较为生硬，可能会感到茫然，无从入手甚至不会。教学时从具体的数字切入，再到字母转化，将一般的问题特殊化，从而化解难点，顺利完成例题4的教学。合作之旅也在其乐融融的氛围中快乐结束。本节课的教学难点是：寻找并建立等量关系。四、 教学过程设计以学生喜闻乐见的综艺节目奔跑吧、兄弟主题曲超级英雄拉开本节课的帷幕，激起学生的学习热情，达成师生间的共鸣；用“做自己的超级英雄，圆我们的美丽梦想”开启今天的数学之旅。1、 快乐之旅第一站:共话方程利用几何画板设置三个递进式问题。问题1 ：你学过哪些方程?师生活动：教师提出问题，学生回顾、作答。设计意图：利用学生已有的整式方程和分式方程的知识，为本节课学习分式方程与实际问题作铺垫。问题2 ：关于分式方程你学过哪些知识?师生活动：采取学生独立思考、教师提示帮扶，回顾分式方程的定义与解法为问题3奠定基础。问题3 ：解分式方程1、 2、 （任选其一）师生活动：教师出示问题、学生独立完成，反馈并提醒学生解分式方程千万不要忽略检验。设计意图：将教材中例题3和例题4的方程提前支取出来，让学生解分式方程，这样可以节省课堂时间，预留出更多的空间来探究例题3和例题4的学习。2、 探究之旅：第二站：情境屋视频：以 重建中的新华桥为背景引出分式方程与实际问题-工程问题例3:甲、乙两个工程队共同完成重建新华桥工程，甲队单独施工4个月完成总工程的，由于工程紧张，又增加了乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成。哪个施工队的速度快？问题1 这是关于什么类型的实际问题？师生活动：教师提问，学生阅读题目并作答。设计意图：让学生进一步明确实际问题的背景-工程问题，唤起学生的记忆。追问1： 工程问题中涉及哪三个量，它们三者满足怎样的关系？师生活动：教师追问，学生思考并回答，师生共同评析。设计意图：让学生根据自己的回顾去理解工程问题的基本等量关系即：工作时间工作效率=工作总量（单位1）。追问2：工作时间怎样表示，工作效率怎样表示？师生活动：学生思考并作答，教师点评、完善。设计意图：让学生进一步明确工程问题中三个量之间的转化关系，为例题3的探究做准备。问题2：再次认真审题并圈画题目中的已知量？师生活动：学生圈画、补充并反馈，教师提示、帮扶。设计意图：通过让学生圈画已知量进一步明确题目中的已知条件。追问1：求什么？通过比较什么来衡量甲、乙两队的施工速度？师生活动：学生思考并回答、师生共同分析。设计意图：帮助学生分析，比较施工速度的快忙可以从工作效率和工作时间两个方面入手，将问题中隐含的未知量凸显出来。追问2：你能尝试列出方程吗？师生活动：教师出示线段示意图，学生尝试独立思考，然后组内探究，教师巡视参与探究并帮扶。设计意图：借助线段示意图帮助学生建构已、未知量之间的关系，探究工程问题中的等量关系，尝试抽象数学模型。第三站：成果区问题1：你是根据题目中哪句关键句寻找等量关系的？师生活动：学生汇报探究成果，学生口述，教师板演 甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量教师预设：1、设乙队的工作效率为，得到方程为; 2、设乙队单独完成总工程的工作时间，得到方程为; 3、设乙队工作效率为，得到方程为; 设计意图：通过对例题3探究得出工程问题中的等量关系，并抽象抽象数学模型：分工作量之和等于总工作量。目的是培养学生归纳、探究的能力。追问1：你能口述的求解过程？师生活动：教师提示此方程在共话方程中已解过，学生口述，教师快速完成板书，并提示不要忘记检验，不仅要检验是否为分式方程的解，还要检验是否符合实际。设计意图：规范解题步骤和格式，教师通过板书教给学生严谨有序的思维模式。追问2：甲、乙两个工程队哪个队的施工速度快？师生活动：学生分析并叙述，教师完成板书。设计意图：完善分式方程解决实际问题的步骤并规范解题格式。追问3：回顾例题3的探究之旅，我们共经历了哪几个步骤？师生活动：师生共同回顾，同时教师在黑板上圈画并补写：审、设、列、解、检、答。教师出示列分式方程解决实际问题步骤的框架图设计意图：借助学生已有的知识和经验，通过巧妙的引导让学生“自觉类比”，生成列分式方程解决实际问题的步骤。并在此基础上用框架图进行深化、提高学生的元认知水平。3、合作之旅情境屋： 任务清单1、研究问题2、基本关系3、圈画已知、 未知4、寻找等量关系视频：以第一时间中介绍的我国正在研制的真空高速列车为背景引出分式方程与实际问题-行程问题例4：目前我国正在研制的真空高速列车平均提速100km/h用相同的时间，列车提速前行驶300km,提速后比提速前多行驶60km，提速前列车的平均速度为多少？问题1 利用任务清单尝试完成例题4师生活动：学生先独立思考，然后小组合作交流，教师巡视、帮扶参与小组讨论。设计意图：此环节让学生模仿例题3的探究过程完成例题4的学习，目的培养学生独立思考、分析问题与解决问题的能力以及团队合作的能力。成果区：问题1：哪位同学愿意展示？师生活动：学生代表黑板展示并汇报探究成果、学生板书例题4。教师点评并追问、补充。追问1：你是根据题目中的哪句关键句寻找等量关系的？你能提炼出行程问题的数学模型吗？师生活动：学生思考并作答，师生共同提炼总结。教师提示此方程在共话方程环节已解完。设计意图：学生在例题3的探究后已经积累了活动经验，这样的设计，水到渠成，学生顺理成章的学会解决此类问题的分析方法。问题2：将题目中的平均提速由100km/h变为，提速前行驶300km变为，方程会有怎样的变化？师生活动：学生思考并作答，教师出示答案，并介绍含字母系数的分式方程。设计意图：含字母系数的分式方程，学生理解起来较为生硬，可能会感到茫然，无从入手、甚至不会。从具体的数字切入，再到字母转化，将一般的问题特殊化，从而化解难点。追问1：含字母系数的方程你会解吗？师生活动：学生尝试独立完成，教师巡视帮扶、学生黑板展示、教师补充点评。设计意图：让学生明晰含字母系数的分式方程与数字系数的分式方程在解法具有一致性。4、交流之旅视频奔跑吧、兄弟第一集片段-残酷的记忆力，进入第五站。设计意图：调整课堂节奏，缓解学生的疲劳度，警示认真观察。第五站：快乐套餐套餐A：八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达已知汽车的速度是学生骑车速度的2倍，求学生骑车的速度？ 行驶的路程(km)速度()所需时间骑自行车 10 汽车 10列分式方程为 .师生活动：在学生独立完成后，反馈结果，教师点评并提问列方程的关键语句。设计意图：考察学生对行程问题的理解和掌握情况，题目难度不高，目的是巩固强化课堂学习的知识，面向全体，能使绝大多学生顺利完成，使学生获得成功的喜悦。设计本题的目的也是在提醒学生，可以借助表格来分析问题。套餐B:新华桥边石铺设计划天内完成350米，由于施工人员对于改建新华桥热情高涨，每天多铺设3米，因此提前2天完成计划，列方程为（ ）师生活动：教师课件展示问题，学生独立完成，教师在巡视的过程中帮助学生解决疑惑，学生出示答案教师追问列方程的关键语句。教师点评并介绍选择题答题技巧。设计意图：考查学生对工程问题或者是行程问题中“多未必加，提前未必减”易犯的错误，引导学生慎审题，训练学生快出做出选项。套餐C:李老师家在万达商场与学校之间，信息一：李老师家距离学校1千米，距离万达2千米；信息二：一天李老师骑车从家到万达买奖品后再到学校结果比平时步行从家直接到学校迟了20分钟；信息三：李老师的骑车速度是步行速度的2.5倍，买奖品所花时间为10分钟。（1）设李老师步行的速度为km/h，用含的式子填空：骑车的速度为 ；这天李老师骑车到校所用时间 ；平时步行到校所用时间 。（2）根据题意及（1）中信息列出方程： 。师生活动：在学生独立完成后，反馈结果评析、补充纠正。设计意图：考察学生对行程问题的理解，题目略有难度，有一定的阅读量，目的是加强学生的审题能力，提高学生的阅读能力。套餐D：今年的7月，全国多地出现极端高温天气，网友戏称，三分之一个中国进入了“烧烤”模式，市民出行纷纷撑伞防晒。小华发现，某商店抓住这一商机，先用3200元购进一批太阳伞，面市后供不应求。后又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批地2倍，但单价贵了4元。于是，小华很想知道该商场两次共购进这种太阳伞多少把？师生活动：教师出示题目，学生采用多种形式完成，或独立思考、或合作交流、或寻求帮助，找出不同列法的两名学生板演，师生共同点评。设计意图：让学生明确，设不同未知数，呈现不同的等量关系，但结论是一致的。第六站：旅行感悟今天你在哪一步1、 学习内容 2、 数学模型 3、 数学思想 4、 我的疑惑 5、 我做到了 设计意图：回顾本节课的学习经历和活动经验，让学生真正体会“做自己的超级英雄，圆我们的美丽梦想”的真谛。通过“今天你到哪一步？”，让学生畅所欲言的回顾本节课的内容，并能够归纳、总结、升华。5、作业三级跳 作业三级跳教材P159 8、9 、10尝试完成P155-9编题练习解学案中的所列的分式方程设计意图：作业是课堂教学的延续，是巩固课堂所学的基础。“一级跳”面向全体学生，既是对学生学习过程和结