（全国通用）高考数学 6.4 基本不等式练习.doc

课时提升作业(三十六)基本不等式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列不等式:a2+12a;a+bab2;x2+1x2+11,其中正确的个数是()a.0b.1c.2d.3【解析】选b.不正确,正确,x2+1x2+1=(x2+1)+1x2+1-12-1=1.2.(2013福建高考)若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()a.0,2b.-2,0c.-2,+d.-,-2【解析】选d.22x+y2x+2y=1,所以2x+y14,即2x+y2-2,所以x+y-2.3.(2015马鞍山模拟)设x0,y0,且2x+y=6,则9x+3y有()a.最大值27b.最小值27c.最大值54d.最小值54【解析】选d.因为x0,y0,且2x+y=6,所以9x+3y29x3y=232x+y=236=54,当且仅当x=32,y=3时,9x+3y有最小值54.4.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,br)对称,则ab的取值范围是()a.-,14b.0,14c.-14,0d.-,14【思路点拨】圆关于直线对称,则圆心在直线上,利用此条件可解.【解析】选a.由已知得圆心坐标为(-1,2),故-2a-2b+2=0,即a+b=1,故aba+b22=14.5.(2015黄冈模拟)若实数x,y,z满足x2+y2+z2=2,则xy+yz+zx的取值范围是()a.-1,2b.1,2c.-1,1d.-2,2【解析】选a.因为(x-y)2+(x-z)2+(y-z)20,所以x2+y2+z2xy+xz+yz,所以xy+yz+zx2;又(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)0,所以xy+xz+yz-12(x2+y2+z2)=-1.综上可得:-1xy+xz+yz2.故选a.6.设二次函数f(x)=ax2-4x+c(xr)的值域为0,+),则1c+9a的最小值为()a.3b.92c.5d.7【解析】选a.由题意知,a0,=16-4ac=0,所以ac=4,c0,则1c+9a29ac=3,当且仅当1c=9a时取等号,则1c+9a的最小值是3,故选a.7.(2015潍坊模拟)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a,b,c(0,1),已知他投篮一次得分的均值为2,2a+13b的最小值为()a.323b.283c.143d.163【解析】选d.由题意得3a+2b=2,2a+13b=2a+13b3a+2b2=126+4ba+ab+23103+2=163,当且仅当a=12,b=14时取等号.故选d.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2015青岛模拟)下列命题中正确的是(填序号).y=2-3x-4x(x0)的最大值是2-43;y=sin2x+4sin2x的最小值是4;y=2-3x-4x(x0)的最小值是2-43.【解析】正确,因为y=2-3x-4x=2-3x+4x2-23x4x=2-43.当且仅当3x=4x,即x=233时等号成立.不正确,令sin2x=t,则0t1,所以g(t)=t+4t,显然g(t)在(0,1上单调递减,故g(t)min=g(1)=1+4=5.不正确,因为x0,最小值为2+43,而不是2-43.答案:【误区警示】此题容易出现答案为,是因为做题时只看到了形式,而看不到基本不等式成立的条件而造成的.9.(2013四川高考)已知函数f(x)=4x+ax(x0,a0)在x=3时取得最小值,则a=.【解析】由题f(x)=4x+ax(x0,a0),根据基本不等式4x+ax4a,当且仅当4x=ax时取等号,而由题知当x=3时取得最小值,即a=36.答案:3610.已知x,y为正实数,3x+2y=10,3x+2y的最大值为.【解析】由a+b2a2+b22得3x+2y2(3x)2+(2y)2=23x+2y=25,当且仅当x=53,y=52时取等号.答案:25【一题多解】此题还可以这样解:设w=3x+2y0,w2=3x+2y+23x2y=10+23x2y10+(3x)2+(2y)2=10+(3x+2y)=20,所以w20=25,当且仅当x=53,y=52时等号成立.答案:25(20分钟40分)1.(5分)(2015怀化模拟)已知a,b为正实数,函数y=2aex+b的图象经过点(0,1),则1a+1b的最小值为()a.3+22b.3-2c.4d.2【解析】选a.由已知得2a+b=1,又因为a,b为正实数,所以1a+1b=(2a+b)1a+1b=3+2ab+ba3+22abba=3+22.当且仅当a=1-22,b=2-1时取等号.【加固训练】(2013山东高考)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当xyz取得最大值时,2x+1y-2z的最大值为()a.0b.1c.94d.3【解析】选b.由x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2.所以xyz=xyx2-3xy+4y2=1xy+4yx-312xy4yx-3=1,当且仅当xy=4yx,即x=2y时取等号,此时z=2y2,xyzmax=1.2x+1y-2z=22y+1y-2xy=2y1-1x=2y1-12y412y+1-12y22=1.2.(5分)(2015吉林模拟)已知各项均为正数的等比数列an满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得aman=4a1,则1m+4n的最小值为()a.32b.53c.94d.256【解析】选a.由各项均为正数的等比数列an满足a7=a6+2a5,可得a1q6=a1q5+2a1q4,所以q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去).因为aman=4a1,所以qm+n-2=16,所以2m+n-2=24,所以m+n=6,所以1m+4n=16(m+n)1m+4n=165+nm+4mn16(5+4)=32.当且仅当nm=4mn时,等号成立,故1m+4n的最小值等于32.3.(5分)(2015太原模拟)正数a,b满足1a+9b=1,若不等式a+b-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是()a.3,+)b.(-,3c.(-,6d.6,+)【解析】选d.因为a0,b0,1a+9b=1,所以a+b=(a+b)1a+9b=10+ba+9ab10+29=16,由题意,得16-x2+4x+18-m,即x2-4x-2-m对任意实数x恒成立,而x2-4x-2=(x-2)2-6,所以x2-4x-2的最小值为-6,所以-6-m,即m6.【加固训练】(2014闵行模拟)若不等式(x+y)ax+4y16对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为.【解析】因为不等式(x+y)ax+4y16对任意正实数x,y恒成立,所以16(x+y)ax+4ymin.令f(x)=(x+y)ax+4y(a0),则f(x)=a+4+ayx+4xya+4+2ayx4xy=a+4+4a,当且仅当xy=a2时取等号,所以a+4a+416,解得a4,因此正实数a的最小值为4.答案:44.(12分)(2015郑州模拟)若a0,b0,且1a+1b=ab.(1)求a3+b3的最小值.(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.【解析】(1)因为a0,b0,且1a+1b=ab,所以ab=1a+1b21ab,所以ab2,当且仅当a=b=2时取等号.因为a3+b32(ab)3223=42,当且仅当a=b=2时取等号,所以a3+b3的最小值为42.(2)由(1)可知,2a+3b22a3b=26ab436,故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.5.(13分)(能力挑战题)某小区想利用一矩形空地abcd建市民健身广场,设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分),水塘可近似看作一个等腰直角三角形,其中ad=60m,ab=40m,且efg中,egf=90,经测量得到ae=10m,ef=20m,为保证安全同时考虑美观,健身广场周围准备加设一个保护栏,设计时经过点g作一直线交ab,df于m,n,从而得到五边形mbcdn的市民健身广场,设dn=x(m).(1)将五边形mbcdn的面积y表示为x的函数.(2)当x为何值时,市民健身广场的面积最大?并求出最大面积.【解题提示】(1)作ghef,垂足为h,过m作mtbc交cd于t,求出am=600-10x40-x,可得s五边形mbcdn=s四边形mbct+s四边形mtdn=(40-am)60+12(x+60)am,从而可得五边形mbcdn的面积的函数表达式.(2)将函数变形,利用基本不等式,可求市民健身广场的面积最大值.【解析】(1)作ghef,垂足为h.因为dn=x,所以nh=40-x,na=60-x,因为nhhg=naam,所以40-x10=60-xam,所以am=600-10x40-x.过m作mtbc交cd于t,则s五边形mbcdn=s四边形mbct+s四边形mtdn=(40-am)60+12(x+60)am,所以y=40-600-10x40-x60+12(x+