高考数学总复习 （教材回扣夯实双基+考点探究+把脉高考）第六章第7课时 数学归纳法课件 理.ppt

第7课时数学归纳法 基础梳理数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题 可按以下步骤 1 归纳奠基 证明当n取 n0 n 时命题成立 第一个值n0 2 归纳递推 假设n k k n0 k n 时命题成立 证明当 时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 n k 1 思考探究第一个值n0是否一定为1呢 提示 不一定 要看题目中对n的要求 如当n 3时 第一个值n0应该为3 课前热身 解析 选c 等式右边的分母是从1开始的连续的自然数 且最大分母为6n 1 则当n 1时 最大分母为5 故选c 解析 因为假设n k k 2为偶数 故下一个偶数为k 2 答案 k 2 答案 2k 题后感悟 1 用数学归纳法证明等式问题是常见题型 其关键点在于弄清等式两边的构成规律 等式两边各有多少项 初始值n0是几 2 由n k到n k 1时 除等式两边变化的项外还要充分利用n k时的式子 即充分利用假设 正确写出归纳证明的步骤 从而使问题得以证明 题后感悟 利用数学归纳法证明与正整数有关的不等式时 在由n k成立到n k 1成立的证明过程中 可以利用证明不等式的所有方法进行推导 其中 使用放缩法时 要注意放缩的方向应朝着结论的方向进行 可通过变化分子或分母 裂项相消等方法达到证明的目的 题后感悟 归纳 猜想 证明 的模式 是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式 这种方法在解决探索性问题 存在性问题时起着重要作用 它的模式是先由合情推理发现结论 然后经逻辑推理证明结论的正确性 这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式 变式训练3 在数列 an bn 中 a1 2 b1 4 且an bn an 1成等差数列 bn an 1 bn 1成等比数列 求a2 a3 a4及b2 b3 b4 由此猜测 an bn 的通项公式 并证明你的结论 方法技巧1 在数学归纳法中 归纳奠基和归纳递推缺一不可 在较复杂的式子中 注意由n k到n k 1时 式子中项数的变化 应仔细分析 观察通项 同时还应注意 不用假设的证法不是数学归纳法 2 对于证明等式问题 在证n k 1等式也成立时 应及时把结论和推导过程对比 以减少计算时的复杂程度 对于整除性问题 关键是凑假设 证明不等式时 一般要运用放缩法 证明几何命题时 关键在于弄清由n k到n k 1的图形变化 3 归纳 猜想 证明属于探索性问题的一种 一般经过计算 观察 归纳 然后猜想出结论 再用数学归纳法证明 由于 猜想 是 证明 的前提和 对象 务必保证猜想的正确性 同时必须注意数学归纳法步骤的书写 失误防范1 严格按照数学归纳法的三个步骤书写 特别是对初始值的验证不可省略 有时要取两个 或两个以上 初始值进行验证 初始值的验证是归纳假设的基础 2 注意n k 1时命题的正确性 3 在进行n k 1命题证明时 一定要用n k k n 时的命题 没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法 命题预测从近几年的高考试题来看 用数学归纳法证明与正整数有关的不等式以及与数列有关的命题是高考的热点 题型为解答题 主要考查用数学归纳法 证明数学命题的能力 同时考查学生分析问题 解决问题的能力 难度为中 高档 预测2013年高考可能会以数列 有关的等式或不等式的证明为主要考点 重点考查学生运用数学归纳法解决问题的能力 规范解答 本题满分12分 2010 高考江苏卷 已知 abc的三边长都是有理数 1 求证 cosa是有理数 2 求证 对任意正整数n cosna是有理数 2 当n 1时 由 1 知cosa是有理数 当n 2时 cos2a 2cos2a 1 因为cosa是有理数 cos2a也是有理数 6分 假设当n k 1 n k k 2 时 结论成立 即coska cos k 1 a均是有理数 解得 cos k 1 a 2coskacosa cos k 1 a 8分 cosa coska cos k 1 a均是有理数 2coskacosa cos k 1 a是有理数 cos k 1 a是有理数 即当n k 1时 结论成立 10分综上所述 对于任意正整数n cosna是有理数 12分 得分技巧 解答本题关键 一是利用余弦定理说明cosa为有理数 二是用coska cosa cos k 1 a表示cos k 1 a 失分溯源 解答本题失分点 一是需验证n 1 n 2时结论成立 易忽略验证n 2 二是利用假设说明cos k 1 a为有理数时 未说明cos k