高中数学 2.6对数与对数函数配套课件 北师大版.ppt

第六节对数与对数函数 三年7考高考指数 1 理解对数的概念及其运算性质 知道用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数 了解对数在简化运算中的作用 2 理解对数函数的概念及其单调性 掌握对数函数图像通过的特殊点 会画底数为2 10 的对数函数的图像 3 体会对数函数是一类重要的函数模型 4 了解指数函数y ax a 0 且a 1 与对数函数y logax a 0 且a 1 互为反函数 1 对数的运算及对数函数的图像 性质是高考重点 主要考查利用对数函数的图像与性质 比较函数值大小 求定义域 值域 单调区间 最值及研究零点 奇偶性等问题 同时考查分类讨论 数形结合 转化与化归思想 2 常与方程 不等式等知识交汇命题 多以选择 填空题的形式考查 3 预测2013年高考仍将以对数函数的图像与性质为主要考点 重点考查运用知识解决问题的能力 1 对数的定义 1 对数的定义 请根据下图的提示填写与对数有关的概念 其中a的取值范围是 a 0且a 1 2 两种常见对数 常用对数 自然对数 即时应用 1 若2x 5 则x 若log3x 2 则x 2 将log23用常用对数表示为 用自然对数表示为 答案 1 log2532 2 2 对数的性质 换底公式与运算性质 性质 换底公式 运算性质 a 0 且a 1 m 0 n 0 结论 条件 a1 0 aa 1 a an n a 0且a 1 n 0 a mn am an 即时应用 1 若a 0 a 1 x y 0 n n 判断下列各式的正误 请在括号中填 或 logax n logaxn logax 2 则x 3 计算 解析 1 是错误的 如 log24 3 8 log243 log226 6 是正确的 是错误的 如 是正确的 是正确的 设 2 由 3 原式 答案 1 2 3 4 3 对数函数的定义 图像与性质 1 对数函数的概念 解析式 自变量 定义域 y logax a 0 a 1 x 0 2 对数函数的图像与性质 1 定义域 0 2 值域 r 3 当x 1时 y 0 即过定点 1 0 4 在 0 上为增函数 4 在 0 上为减函数 即时应用 1 判断下列函数是否是对数函数 请在括号中填 是 或 否 y log2 x 1 y log2x 1 y 2log3x y lnx 2 函数y loga x 1 2 a 0 a 1 的图像恒过一定点是 3 设p log23 q log32 r log2 log32 则p q r的大小关系为 解析 1 由对数函数的定义可知 是对数函数 2 依题意 当x 2时 函数y loga x 1 2 a 0 a 1 的值为2 所以其图像恒过定点 2 2 3 p log23 log22 1 即p 1 0 log31 q log32 log33 1 即0 q 1 0 log32 1 log2 log32 log21 0 即r 0 r q p 答案 1 否 否 否 否 否 是 2 2 2 3 r q p 4 反函数指数函数y ax a 0 a 1 与对数函数 a 0 a 1 互为反函数 它们的图像关于直线 对称 y logax y x 即时应用 1 若函数y f x 是函数y ax a 0 a 1 的反函数 其图像经过点 a 则f x 2 设函数f x log2x的反函数为y g x 若则a等于 解析 1 y ax 其反函数为f x logax 2 由于f x log2x的反函数为y g x 2x 答案 对数的运算 方法点睛 对数式化简与求值的一般思路 1 先利用幂的运算把底数或真数进行变形 化成分数指数幂的形式 使幂的底数最简 然后正用对数运算法则化简合并 2 先将对数式化为同底数对数的和 差 倍数运算 然后逆用对数的运算法则 转化为同底对数真数的积 商 幂再运算 提醒 在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化 例1 1 2012 渭南模拟 计算 2 已知loga2 m loga3 n 求a2m n 解题指南 1 按对数式求值的一般思路进行计算 2 将已知对数式化为指数式 并将a2m n转化为 am 2 an 从而计算求解 规范解答 1 原式 2 loga2 m am 2 又 loga3 n an 3 则a2m n a2m an am 2 an 22 3 12 互动探究 本例 2 中条件不变 求loga12的值 解析 loga2 m loga3 n loga12 loga4 loga3 2loga2 loga3 2m n 反思 感悟 1 在对数运算中 首先对底数 真数进行变形 然后再利用对数的运算性质进行化简 若出现不同的 底 应利用换底公式换成相同的 底 2 在等比数列的计算中常涉及到对数的运算 要正确地运用对数的相关知识进行计算 变式备选 1 计算 2 计算 log32 log92 log43 log83 3 若数列 an 为各项均为正项的等比数列 且a12与a2001为一元二次方程x2 mx 8 0的两根 求log2a1 log2a2 log2a2012的值 解析 3 由已知得a12 a2001 8 且由等比数列的性质得 a1a2a3 a2012 a1a2012 1006 a12 a2001 1006 81006 原式 log2 a1a2a3 a2012 log281006 1006 3 3018 对数函数的图像及其应用 方法点睛 用对数函数的图像可求解的问题 1 对一些可通过平移 对称变换作出其图像的与对数函数有关的函数 在求解其单调性 单调区间 值域 最值 零点时 常利用其图像通过数形结合求解 2 一些对数型方程 不等式的求解 常转化为对数函数图像问题 利用数形结合法求解 例2 2012 蚌埠模拟 已知函数若a b c互不相等 且f a f b f c 则abc的取值范围是 a 1 10 b 5 6 c 10 12 d 20 24 解题指南 求解本题 需作出函数f x 的图像 不妨设a b c 根据图像结合f a f b f c 确定出a b c的大致范围 先定c的取值范围 再由f a f b 得到ab的值 从而求得abc的取值范围 规范解答 选c 作出f x 的大致图像 设a b c 因为a b c互不相等 且f a f b f c 由函数的图像可知10 c 12 且 lga lgb 因为a b 所以lga lgb 可得ab 1 所以abc c 10 12 故选c 反思 感悟 数形结合思想往往是解决某些对数型函数性质 对数型方程 不等式 对数值大小比较的切入口及有效方法 应熟练掌握这种思想方法的解题规律 变式训练 1 函数y log2 x 1 的单调递减区间为 单调递增区间为 解析 作出函数y log2x的图像 再作出其关于y轴对称的图像 两支共同构成函数y log2 x 的图像 再将图像向左平移1个单位长度就得到函数y log2 x 1 的图像 如图所示 由图知 函数y log2 x 1 的递减区间为 1 递增区间为 1 答案 1 1 2 若不等式 x 1 2 logax在x 1 2 内恒成立 求实数a的取值范围 解析 设f1 x x 1 2 f2 x logax 要使当x 1 2 时 不等式 x 1 2 logax恒成立 只需f1 x x 1 2在 1 2 上的图像在f2 x logax图像的下方即可 当0 a 1时 显然不成立 当a 1时 如图 要使f1 x x 1 2在 1 2 上的图像在f2 x logax的图像下方 只需f1 2 f2 2 即 2 1 2 loga2 loga2 1 1 a 2 即实数a的取值范围是 1 2 变式备选 2012 日照模拟 若函数f x ax b的图像如图 其中a b为常数 则函数g x loga x b 的大致图像是 解析 选d 由f x 的图像可知0 a 1 1 1 b 2 即0 b 1 又g x loga x b 的图像可由y logax向左平移b个单位得到 结合四个选项可知d正确 对数函数性质的应用 方法点睛 1 利用对数函数的性质比较对数值大小利用对数函数的性质 可直接比较同底数对数值的大小 而对于既不同底数 又不同真数的对数值的比较 可引入中间量 如 1 0 1等 再利用对数函数的性质进行比较 2 利用对数函数的性质求解对数型函数性质求解方法与一般函数性质的求解方法一致 但要注意三方面的问题 一是定义域 二是底数与1的大小关系 三是复合函数的构成 即它是由哪些基本初等函数复合而成的 例3 1 2011 北京高考 如果那么 a y x 1 b x y 1 c 1 x y d 1 y x 2 2012 长安模拟 函数在区间 2 4 上的最小值是 解题指南 1 利用对数函数单调性求解 2 利用换元法转化为二次函数最值求解 规范解答 1 选d 因为为 0 上的减函数 所以x y 1 答案 变式训练 是否存在实数a 使函数f x loga ax2 x 在区间 2 4 上是增函数 如果存在 求出a的取值范围 如果不存在 请说明理由 解析 假设符合条件的实数a存在 设g x ax2 x 当a 1时 为使函数f x loga ax2 x 在区间 2 4 上是增函数 需g x ax2 x在区间 2 4 上是增函数 故应满足 当01时 函数f x loga ax2 x 在区间 2 4 上是增函数 反思 感悟 在求解与对数函数有关的问题时 要注意以下几点 1 要分清函数的底数a 0 1 还是a 1 2 确定函数的定义域 无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质 都要在其定义域上进行 3 如果需将函数解析式变形 一定要保证其等价性 否则结论就会错误 易错误区 幂值 对数值大小比较问题的易错点 典例 2011 天津高考 已知则 a a b c b b a c c a c b d c a b 解题指南 首先将a b c化成同底数的幂 再利用对数函数的图像或性质比较幂指数中对数值的大小 最后利用指数函数的单调性比较出a b c的大小 规范解答 选c 方法一 在同一坐标系中分别作出函数y log2x y log3x y log4x的图像 如图所示 由图像知 log23 4 log3 log43 6 方法二 log3 log33 1 且 3 4 log3 log33 4 log23 4 log43 6 log44 1 log3 1 log43 6 log3 log23 4 log3 log43 6 由于y 5x为增函数 即 故a c b 阅卷人点拨 通过高考中阅卷的数据分析 我们得到以下误区警示及备考建议 1 2011 安徽高考 若点 a b 在y lgx图像上 a 1 则下列点也在此图像上的是 解析 选d 由题意得b lga 2b 2lga lga2 即 a2 2b 也在函数y lgx的图像上 2 2012 宜春模拟 设a log54 b log53 2 c log45 则 a a1 b