初等微积分讲座（11）（高二、高三）——第7讲定积分在物理中的应用（续）.doc

1初等微积分讲座（11）（高二、高三）第7讲定积分在物理中的应用（续）数理天地高中版2000年第8期?高中数学新内容讲座?1.初等微积分讲座(11)(高二-,高三)第7讲定积分在物理中的应用(续)(本期重点文章)那吉生(中国科学院应用数学研究所100080)例7根据托里拆利定律,某种液体从容器中流出的速度=c/2gh,其中g为重力加速度,h为液体表面在开孔之上的高度,c=0.6为实验系数.今有直径D一1米,高H=2米的直立圆柱形大桶,充满液体之后,从底部直径为d:1厘米的圆孔流出,问多长时间能完全流空(取g=9.8米/秒.).解取桶底的中心为原点,以中心轴为z轴,方向垂直向上.当液面高度为时,取高度在z和+间的一段液柱为微元,当液面下降时,相当于这部分体积的液体从底部圆孔流出,流速为一/130一c/2gx,该部分体积为一,rJ),因此流1,尽液体所需时间(元),即(号)一涨一D.dzd.c/2gx丁:f鱼一2lzv厂J.v厂0.6?19.6f.10648秒一2.96小时.例8一半径为3米的球面浸入水中,球心在水平面下10米处,求球面上所受的总压力(g一10米/秒.).解由立体几何知,球冠的面积S=2zrRh,其中R是球的半径,h是球冠的高(此结果也可用定积分算出,请读者自己推证).因此,球台(即球被二个平行平面截得的部分)的侧面积为S.一2zrRh,其中h为球台的高.可见:当球的半径R固定时,只与高h有关,而与上,下底的位置无关.取坐标系如下:以球心为原点,垂直向上的方向为z轴.由上所述,位于z和z+之间的球台的侧面积为zXS一2zrRzLT,此深度处水的压强为Pgh=g(10一z).故压力元为AppzXSg(10一z)2zr?3ZLT.于是dp一60zr(10一x)dx故球面所受到的总压力为r3P一60zrl(10一x)dx=3600z(吨).例9一物体按规律z=bt作直线运动,式中z为时间t内通过的距离,媒质的阻力正比于速度的平方.试求物体由z=0运动到z=n时,阻力所作的功.解物体的速度=dx一(bt3)=3b.媒质阻力F=口.一(3bt.).=9kbt,其中为比例常数,>0.当z一0时,z一0;当zn时,z=z=【詈),又ds=vdt,故所求阻力做的功是W一IFmdsI?vdt:r口sdtkf(3bt)sdt:277kbsj一.例1O若1牛顿的力能使弹簧伸长1厘米,要使弹簧伸长10厘米,需作多少功?解在弹性限度内,弹簧伸长z时产生的弹力F由虎克定律给出:F=F(z)一kx,其中为弹性系数,故所给弹簧的弹性系数为:=1牛顿/厘米,则F(z)一z.因此,弹簧伸长10厘米时所作的功是WlF(x)dxlxdx一50牛顿?厘米=0.5焦耳.例11用活塞封闭圆柱钢筒中的理想气体,气体膨胀时推动活塞.设气体体积从.膨胀到,且膨胀时温度不变,求气体压力对活塞所作功.解设圆柱钢筒的底面积为S,dV为气体体积之增量,此时活塞移动的距离为,由于是等温过程,由玻意耳一马略特定律:P一(常量),因此气体作用于活塞的单位面积上的压力(即压强)为P一.此时,活塞受到的总压力是F=PS=百k5,所以,气体体积增加dV时,气体压力作的功是一FkS?警=kdv.由此得到,当气体体积从.变到时作的功是w=7Ldv=.?1数理天地高中版2000年第8期例12把一个半径为1米,密度为克/厘n米的匀质球放入水中,问该球在水中下沉多少?如对该球施加压力,使它浸没水中,问最少需做功多少?解如图1,球浮于水上.取球在水中的最低点O为原点,z轴垂直向上,球的半径R=1米.设水面的z坐标为h米(O<h<2),由于球没于水面下的部分是一球冠,由立几知其体积为一.O=二:图1()=R一了h)一丌一号利用旋转体体积公式也可算出此结果()一,rR一(Rf)一:cz一丌(R一告).由阿基米德定律,球所受的浮力等于它排开水的重量,即P=lD()=7r一詈,而平衡时,浮力就等于球的重量一lD:一?詈,一8丌.因而得到方程PW,即a一3h.+=o.立即可以看出该方程只有一个适合题意的解h=13米(用综合除法,可知其他两个根应当满足方程一_鲁_一_鲁_=o.由二次方程求根公式可知:有两个实根,一个小于0,一个大于2,均不合题意).因此,该球在水中下降丢米.由上述可知:当球没入水中z(米)时,所受到的浮力是F(z)=丌(2一号z).如果把球向下压dx,那么克服浮力所作的功为一F(z)z=丌(z2一号z)z.因此,把球恰好整个压入水面下所作的功为一2一了1一3一一(号一)一(一)=丌(詈一)=4028.8千克米.丌I了一而8十兄术例13把质量为M的冰块沿地面匀速地推行了一段距离.,速度为.,由于摩擦生热,冰块质量每单.0-时间减少(常量),设摩擦系数为,问在整?9个过程中克服摩擦力做了多少功?解设时刻t的位移为,则有一.t,此时冰块的质量为MmtMms.取位移元ds,在这段位移上克服摩擦力作的(元)功为一fM一1d.,0/积分后,即得所求的功为Wjs.O(M一)d一.一例14重心问题.物体的重心就是物体各部分(质点)所受重力的合力的作用点.对于分布在直线上的个质点,它们的质量分别为,m,坐标为z,z:,z.此时原点可以任意选取(五>0表示质点在原点的右侧,五<0则在左侧).由于重力的方向恒竖直向下,故个质点所受重力的合力的大小是F一三g:g三.设合力的作用点(即重心)的坐标为z.由力矩平衡条件有Fx一三z三gx.由此可以得到重心的坐标-y一号一.三.对于平面上的个质点,在取定平面坐标系下,设第i个质点的质量为,坐标为(五,Y),由于力矩是矢量,所以应当分别考虑它的z轴方向的分量(即关于Y轴的力矩)和Y轴方向的分量(即关于z轴的力矩).由力矩平衡条件和上面一样计算,可以得到重心的坐标mzm(,)为一兰-l_,=三三对于空间分布的质点系(组),类似地,只要再添上一矗一个关于z坐标的式子z=.三.对于有一定形状的物体(刚体),有确定的质量分布(密度),可以把它看成是由质点连续分布组成,采用定积分技巧(即分割,求和,求极限的方法),基于上面关于质点系的结果,就能把它的重心坐标表示成相应的积分形式.下面举例说明.直线杆的(静)力矩和重心.若直线杆在坐标轴上表示为区间,6,且有密度lD(z),则其关于原点的力矩是(不计重力加速度g这一常因子):LIxp(x)dx,总质量为MIp(x)dx,Ip(x)xdxL坐标是一数理天地高中版2000年第8期平面图形的力矩和重心?若曲线Y一/()及zzdz或dL:1y2dza.zb,z轴围成平面图形(如图2)的面密度为常数,不Yt/1于是相应的力矩为L一专J.),d,L一J.),d1r6r6三凭l图形的面积(质量)为一的质量都可用其面积来度量.r.I一j.要计算图形对坐标轴的力矩()L设图形重心坐标为z由质得和Ly,可以取在轴的区间一一l:cyd:c,一L一专lyZdx,+dz上的无限窄条作图1r6为面积元,它可以近似看作矩形,质量为ydx?它关所以一Jaxydx,一Y一J一yzdsc于Y轴的力矩为IydscIydscJaJaxydx或dL一xyz在许多情况下,物体有对称性,且是密度均匀窄条关于z轴的力矩,由于各点的力臂Y是变化的,分布的,此时适当选取坐标系,便可确定重心是在故仍需用定积分的方法计算:原点,z轴还是xy平面上,从而简化计算.2.概率论(7)(高一,高二,高三)(本期重点文章)肖果能(长沙铁道学院410075)第7讲随机变量及其分布随机变量是概率论中最重要的基本概念之一.简而言之,随机变量就是其取值具有随机性的变量,随机变量在各种特定的范围内取值具有确定的概率,分布函数反映了随机变量的取值的规律性,因而是随机变量的统计性质的完整的刻划,从对个别事件的概率的研究转入对随机变量的研究在概率中意义重大,它不仅扩大了概率论的研究范围,而且体现代数学的许多理论与方法进入了概率论.1.随机变量及分布函数设已给概率空间(n,P),其中n一()是样本空间.我们已经说过,n是由实际问题中抽象出来的一个集合,n中的元素,是我们所考察的对象,如人,产品,试验及其结果,等等.我们注意到,元素的某些特性是可以用数来表征的.例如,设n为某地应征入伍参加体检的青年的全体,则每个受检青年的身高L()和体重()显然是体检的两个重要项目;设n为一批灯泡,则每只灯泡的连续燃点时间(寿命)丁()是一项重要的质量指标.L(),W(),丁()都是定义在各自的样本集合n上的样本的函数,对应于不同的样本点,它们可以取各种不同的值.若身高在160cm以上者为合格,则身高合格的青年组成的集合可以表示为L:L()160;同样地,若体重以5075kg为合格,则体重合格者的集合为:50W()75,而身高,体重均合格的青年的全体可表为W:L()160,50W()75.这些集合通常简记为L160,5O75,L160,50W75,它们都是n的子集.一般地,设()(n)是定义在n上的实值函数,则对任意实数a,使()的值超过a的组成的集合记为W:()a,或简记为a,它是的子集.为了讨论()取值的概率,我们要求()口,这时,P()a有意义.定义在样本空间n上的实值函数()称为随机变量,对于任意实数a,W:()a.为了理解随机变量的概念,我们作一些说明.(1)随机变量不是自变量,而是样本点的函数.由于cu是一次随机试验或试验的结果.故具有随机性.因而随机变量的取值具有随机性.(2)要刻划一个随机变量(),就要刻划其取值的统计规律性:因为(a),因而在(一o.,口)的范围内取值有确定的概率.(3)对随