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第五节指数与指数函数 1 了解指数函数模型的实际背景 2 理解有理指数幂的含义 了解实数指数幂的意义 掌握幂的运算 3 理解指数函数的概念 指数函数的单调性 掌握指数函数图象通过的特殊点 一 根式 1 根式的概念 xn a 正数 负数 两个 相反数 a a a a 1 二 有有理数指数幂 0 2 有理数指数幂的性质 aras a 0 r s q ar s a 0 r s q ab r a 0 b 0 r q ar s ars arbr 三 指数函数的图象和性质 上方 0 1 y 1 0 y 1 0 y 1 y 1 y 1 提示 关于y轴对称 答案 b 答案 b 解析 由图象得函数是减函数 0 a 1 又分析得 图象是由y ax的图象向左平移所得 b 0 即b 0 从而d正确 答案 d 答案 23 指数幂的化简与求值的原则及结果要求 1 化简原则 1 化负指数为正指数 2 化根式为分数指数幂 3 化小数为分数 4 注意运算的先后顺序 2 结果要求 1 若题目以根式形式给出 则结果用根式表示 2 若题目以分数指数幂的形式给出 则结果用分数指数幂表示 3 结果不能同时含有根号和分数指数幂 也不能既有分母又有负指数幂 思路点拨 1 当化简的式子中既有根式又有分数指数时 要化为分数指数以便于运算 是根式的最后的结果再化为根式 2 条件求值 可据已知条件直接代入求值 但较繁 可考虑先将式子化简 变形 再求值 特别提醒 有理数指数幂的运算性质中 其底数都大于0 否则不能用性质来运算 1 指数函数的图象特征 1 指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系 在y轴右侧 图象从上到下相应的底数由大变小 在y轴左侧 图象从下到上相应的底数由大变小 即无论在y轴左侧还是右侧 底数按逆时针方向变大 2 函数y a x a 0 a 1 是偶函数 当a 1时 函数在 0 上递减 在 0 上递增 当0 a 1时 函数在 0 上递增 在 0 上递减 2 由图象知函数在 1 上是增函数 在 1 上是减函数 3 由图象知当x 1时 函数有最大值1 无最小值 活学活用 2 若直线y 2a与函数y ax 1 a 0 且a 1 的图象有两个公共点 则a的取值范围是 2 与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 1 求复合函数的定义域 2 弄清函数是由哪些基本函数复合而成的 3 分层逐一求解函数的单调性 4 求出复合函数的单调区间 注意 同增异减 特别提醒 本例 3 易将t2 2t 2t2 k代入f x 而钻入繁琐运算的圈套而无法进行下去 造成该失误的原因是不能将原不等式转化为两函数值大小关系后利用单调性求解 错源 忽视对参数的分类讨论造成漏解如果函数y a2x 2ax 1 a 0 且a 1 在区间 1 1 上的最大值是14 试求a的值 纠错 本题
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