高考数学总复习 9.9空间向量的坐标运算课件 人教版.ppt

第九讲空间向量的坐标运算 b版 一 空间直角坐标系1 单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直 且长都为1 则这个基底叫做单位正交基底 常用 i j k 来表示 2 建立空间直角坐标系在空间选定一点o和一个单位正交基底 i j k 以点o为原点 分别以i j k的方向为正方向建立三条数轴 x轴 y轴 z轴 它们都叫做坐标轴 这时我们说建立了一个空间直角坐标系o xyz 点o叫做原点 向量i j k都叫做坐标向量 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面 二 向量的直角坐标运算设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a a1 a2 a3 r a b a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 r a b a1b1 a2b2 a3b3 0 a1b1 a2b2 a3b3 三 夹角公式 距离公式1 夹角公式设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则cos 注意 1 夹角公式是根据数量积的定义a b a b cos 推出的 注意其范围是0 180 明确 0 90 180 时两向量的位置关系分别是共线同向 垂直 共线反向 2 两点间的距离公式其形式与平面向量的长度公式一致 它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 3 两点间的距离公式与坐标原点的选取无关 da b表示的是a b两点间的距离 经过适当转化也可以求异面直线间的距离 点到面以及平面与平面的距离等 2 直线与平面所成角的向量公式设直线l的方向向量为a 平面 的法向量为n 直线l与平面 所成的角为 则sin cos a n 2 设n1 n2分别是二面角 l 的两个面 的法向量 则向量n1与n2的夹角 或其补角 的大小就是 如图 二面角 的平面角的大小 1 已知a 3 2 5 b 1 x 1 则下列判断不正确的是 a 对于任意实数x a b两个向量都不能平行b 若a b 2 则实数x 5c 若c 2 1 3 且 a b c 则x 0d 不存在实数x 使a b 答案 d 2 已知平面 内有一个点m 1 1 2 它的一个法向量为n 6 3 6 则下列点p中 在平面 内的是 a p 2 3 3 b p 2 0 1 c p 4 4 0 d p 3 3 4 答案 a 答案 b 4 已知a 2 1 2 b 2 2 1 则以a b为邻边的平行四边形的面积为 4 a b 0 1 2 a b 2 1 2 a b a b 2 2 2 由 a b a b 0 0 1 2 2 0 则当 a b a b 与z轴垂直时 题后总结 对空间向量的坐标运算应用好坐标运算的各种法则及向量平行与垂直的条件 1 求证 ac sd 2 若sd 平面pac 求二面角p ac d的大小 3 在 2 的条件下 侧棱sc上是否存在一点e 使得be 平面pac 若存在 求se ec的值 若不存在 试说明理由 题后总结 1 用向量 坐标 法证明平行与垂直 证明两条直线平行 只需证明两条直线的方向向量共线 证明线面平行的向量方法 a 证明直线的方向向量和平面的法向量垂直 b 证明已知平面内的一个向量与已知直线的方向向量共线 c 利用共面向量定理 证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量 证明面面平行只需证明两平面的法向量共线 证明线线垂直只需证明两条直线的方向向量垂直 证明线面垂直的向量方法 a 证明直线的方向向量与平面的法向量共线 b 证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量垂直 证明面面垂直只需证明两个平面的法向量互相垂直 活学活用 1 如图所示 已知ab 平面acd de 平面acd acd为等边三角形 ad de 2ab f为cd的中点 1 求证 af 平面bce 2 求证 平面bce 平面cde 3 求直线bf和平面bce所成角的正弦值 12分 如图所示 abc是一个直角三角形 b 90 ab 2bc 4 e f分别是边ab ac的中点 现将 aef沿ef折起 使得二面角a ef b的大小为60 1 ac与bf是否相互垂直 请证明你的结论 2 求二面角a bf e的大小的余弦 3 求点f到平面abc的距离 规范解答 因为ae ef be ef 所以 aeb是二面角a ef b的平面角 1分所以 aeb 60 ae be ab 2 取eb中点o 连ao 则ao eb 取cf中点g 连og 则og ef 所以og be 易知 ef 平面aeb 所以平面aeb 平面befc 所以ao 平面befc 2分 题后总结 利用向量的坐标运算解几何中证明 求值问题时 首先要恰当建系 一般借助于两两垂直的三条线段建立空间直角坐标系 若图形中不存在 则要通过辅助线构造垂线 其次对公式要熟悉 特别是平面法向量的求解要熟练准确 最后在下结论时 要注意概念间的区别与联系 如向量夹角与直线夹角 向量夹角与二面角 活学活用 2 如图 在四棱锥p abcd中 pa 平面abcd 底面abcd为正方形 且pa ad 2 e f分别为棱ad pc的中点 1 求异面直线ef和pb所成角的大小 2 求证 平面pce 平面pbc 3 求二面角e pc d的大小 解 以a为原点 以直线ab为x轴 直线ad为y轴 直线ap为z轴建立空间直角坐标系 如图 则a 0 0 0 b 2 0 0 c 2 2 0 d 0 2 0 p 0 0 2 易错点 二面角计算错误 错因分析 本题易出错的地方是误以为两个平面的法向量所成的角等于所求二面角的大小 在计算时对两个面的法向量和二面角的关系判断错误 在平面的法向量方向不同时把锐二面角的余弦值算出个负值 规范解答 以d为原点 射线da dc dp分别为x轴 y轴 z轴的正半轴建立空间直角坐标系 如图所示 设e 1 y0 0 则 1 2 y0 0 纠错体验 如图所示 在直三棱柱abc a1b1c1中 ac bc aa1 ac bc 2 d e f分别是ab aa1 cc1的中点 p是cd上的点 1 求证 直线pe 平面a1bf 2 求二面角d ec a