高考数学总复习 9.1平面和空间直线课件 人教版.ppt

第一讲平面和空间直线 一 平面的基本概念1 平面是一个只描述而不加定义的最基本的原始概念 常见的桌面 黑板面 海面 都给我们以平面的形象 几何里所说的平面就是从这样一些物体中抽象出来的但是几何里所说的平面是无限延展的 注意 1 与以前学习的 点 线 集合 的概念一样 平面是一个只描述而不加定义的原始概念 2 平面无大小 无所谓面积 平面是无限延展的 没有边界 3 直线上一个点可将一条直线分为两条射线 空间中一个平面可将空间分成两部分 二 平面的性质三个公理及公理3的三个推论公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上都在这个平面内 公理2 如果两个平面 不重合的两个平面 有一个公共点 那么它们还有其他公共点 且所有这些公共点的集合是 公理3 经过不在上的三点 有且只有一个平面 所有的点 一条过这个公共点的直线 同一条直线 推论1 经过一条直线和这条直线外一点 有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线 有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线 有且只有一个平面 注意 1 公理1从条件 直线上的两点 出发推出 直线上所有的点都在这个平面内 实际上也就是说整条直线都在平面内 体现了从局部到整体的特征 我们知道 直线是无限延伸的 那么平面必须是无限延展的 直线可以在平面内 由直线的 直 也能说明平面的 平 在应用上 公理1是证明直线在平面内的依据 即只需证明一条直线上两点在这个平面内即可 2 从公理2可以看出 两个平面若相交 不可能只有一个公共点 也不可能只有有限个公共点 而是必须有无限个公共点 且这些公共点都在一条直线上 它告诉了我们两个平面相交的基本特征 公理2的重要作用是判定两个平面相交 也可以判定点在直线上 实际上 只要说明某些点是两个平面的公共点 那么这些点一定共线 根据这一结论 我们在画两个平面相交时一定要体现出其交线的位置 3 公理3的条件中的 三点 是骨干 而 不在同一直线上 是附加的前提条件 也是容易被忽视的 更应该引起注意 推论1中的 直线外 也是附加的前提条件 而 有且只有 的意思是存在且唯一 这里也可以用 确定 来代替 确定平面是把空间问题转化为平面问题的前提 公理3及其推论就是实现这一转化的依据 有些需要证明共面的问题也可以利用公理3及其推论通过证明平面的重合来加以证明 三 空间图形的斜二测画法斜二测画法的步骤 在已知图形所在的空间中取水平平面 作互相垂直的轴ox oy 再作oz轴 使 xoz 90 且 yoz 90 画直观图时 把轴ox oy oz画成对应的轴o x o y o z 使 x o y 45 或135 x o z 90 x o y 所确定的平面表示水平平面 已知图形中平行于x轴 y轴或z轴的线段 在直观图中分别画成平行于的线段 并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同 已知图形中平行于x轴和z轴的线段 在直观图中 平行于y轴的线段 长度 画图完成后 擦去作为辅助线的坐标轴 就得到了空间几何体的直观图 x 轴 y 轴或z 轴 保持长度不变 变为原来 长度的一半 注意 1 斜二测画法是画几何体直观图的主要方法 2 斜二测画法的作图规则可以简要地说成 竖直和水平方向放置的线段画出后方向 长度都不变 前后方向放置的线段画出后方向与水平方向成45 或135 角 长度画成原长度的一半 仍表示原长度 四 公理4公理4 平行于直线的两条直线互相平行 注意 1 同一平面内不相交的两条直线叫做平行线 公理4中所指的三条直线可以共面 也可以不共面 2 公理4是证明空间中两条直线平行的一个主要方法 同一条 五 等角定理与平移1 等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同 那么这两个角相等 2 平移如果空间图形f上的所有的点都沿同一个方向移动相同的距离到f 的位置 就说图形f在空间中作了一次平移 注意 1 等角定理是用于证明空间两个角相等的判定定理 它是平面几何中的等角定理在空间中的推广 2 等角定理说明了角在空间中经过平移后大小不变的问题 为两条异面直线所成的角及后面将要复习到的二面角的平面角的定义提供了理论依据 保证了其大小的唯一性 3 在空间中若两个角的对应边平行 则这两个角相等或者互补 4 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 那么这两组直线所成的锐角 或直角 相等 5 等角定理是证明不共面的角相等的方法之一 六 异面直线的判定定理1 异面直线不同在平面内的两条直线叫做异面直线 2 异面直线的判定定理连结与的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 任何一个 平面内一点 平面外一点 注意 1 异面的两条直线既不相交 又不平行 正确理解 不同在任何一个平面内 这一条件 异面直线的定义可以看成是一个否定性命题 因此 异面直线的证明通常可以使用反证法 2 判定两条直线异面可以用异面直线的判定定理 有时也可以用反证法 在实际做题时要注意定理的符号表示 3 要弄清楚 不同在任何一个平面内的两条直线 与 分别在两个平面内的两条直线 这两种说法的区别 前者所指的两条直线是异面直线 后者所指的两条直线不一定是异面直线 4 研究两条直线异面的位置关系时 常见的画法有3种 如图所示 每一种画法都至少要画一个平面来衬托它们的位置关系 当两条异面直线所成的角是直角时 我们就说这两条异面直线互相垂直 异面直线a和b互相垂直 也记作a b 因此如果说两条直线互相垂直 它们可能相交 也可能异面 等角定理是两条异面直线所成的角的定义的理论基础 在空间中 任意取一点 不难证明两平行直线与同一直线所成的角相等 2 异面直线所成的角的求解思路可分为三个部分 1 选点 2 平移 3 求角 此角不能为钝角 注意 1 两条异面直线所成的角的大小 与点o的位置选取无关 两异面直线所成的角 空间角 是用两相交直线所成的角 平面角 来定义的 2 在作异面直线所成的角时 一般将 点 直接取在其中一条直线上 3 求两异面直线的夹角的步骤 作出两异面直线的夹角 简单证明所作角符合定义 把所作角放入三角形中 计算得大小 称为 一作二证三计算 4 求异面直线所成的角的方法 平移法 向量法 补体法 5 作异面直线所成的角时 要注意利用现有图形中的平行关系 例如三角形的中位线 平行四边形的对边等 这样可以简化作图的过程 八 异面直线间的距离和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线 两条异面直线的 叫做这两条异面直线的公垂线段 两条异面直线的公垂线段的长度 叫做两条异面直线的距离 公垂线夹在异面直线间的部分 注意 1 两平行直线的公垂线有无数条 而两异面直线的公垂线有且仅有一条 2 与两条异面直线都垂直的直线有无数条 而两异面直线的公垂线有且仅有一条 3 对于异面直线的距离 考试大纲 只要求会计算已给出公垂线时的距离 因此 解此类问题的关键是根据条件找出异面直线的公垂线段 再利用解三角形的方法进行计算 1 已知a b c是空间不同的点 a l表示空间不同的直线 表示空间不同的平面 则下列推理错误的是 a a l a b l b l b a b ab abc l a l a d ab c a b c 且a b c不共线 与 重合 解析 对于c选项 可能出现l a 其余选项都是正确的 答案 c 2 若直线a b b c a 则直线a与c的位置关系是 a 异面b 相交c 平行d 异面或相交解析 a b b c a 所以由公理4知a与c一定不平行 答案 d 答案 b 答案 5 解析 没有公共点的两直线或平行或异面 故 错 命题 错 此时两直线有可能相交 命题 正确 因为若直线a与b异面 c a 则c与b不可能平行 用反证法证明如下 若c b 又c a 则a b 这与a b异面矛盾 故c fk b 命题 也正确 若c与两异面直线a b都相交 由公理3可知 a c可确定一个平面 b c也可确定一个平面 这样 a b c共确定两个平面 答案 证明 空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内 自主解答 证明 四条直线两两相交且不共点 有两种情况 一是恰有三条直线共点 二是任意三条直线均不共点 故应分两种情况证明 1 如图 设直线a b c相交于o点 直线d和a b c分别交于m n p三点 直线d和点o确定平面 o 直线a m 直线a 直线a 平面 同理b 平面 c 平面 图 2 如图 设直线a b c d两两相交 且任意三条不共点 直线a b m 直线a和b确定平面 a c n b c q n q都在平面 内 直线c 平面 同理可证直线d 平面 直线a b c d共面于 综合 1 2 知 两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内 图 题后总结 证明共面问题的基本思路 一是先由某些点 或直线 确定一个平面 利用公理3或推论 然后证明其它点 或直线 也在这个平面内 二是由公理3或推论确定出两个平面 然后再证明这两个平面重合 如图 已知 e f g h分别是正方体abcd a1b1c1d1的棱ab bc cc1 c1d1的中点 证明 ef hg dc三线共点 设交点为k 则k hg hg 平面d1c1cd k 平面d1c1cd k ef ef 平面abcd k 平面abcd 平面d1c1cd 平面abcd dc k dc ef hg dc三线共点 题后总结 证明三线共点的思路是 先证两条直线交于一点 再证明第三条直线经过该点 把问题转化为证明点在直线上的问题 实际上 点共线 线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理 活学活用 1 如图所示 o1是正方体abcd a1b1c1d1的上底面a1b1c1d1的中心 m是对角线a1c和截面b1d1a的交点 求证 o1 m a三点共线 证明 连结ac a1c1 b1d1 o1 b1d1 平面b1d1a a1c1 平面aa1c1c o1 平面b1d1a o1 平面aa1c1c a1c 平面b1d1a m a1c 平面aa1c1c m 平面b1d1a m 平面aa1c1c 又 a 平面b1d1a a 平面aa1c1c o1 m a在平面b1d1a和平面aa1c1c的交线上 由公理2可知o1 m a三点共线 解答解答 设g是ac的中点 连结eg fg 如图所示 e f分别是ab cd的中点 题后总结 将异面直线所成的角转化为平面内两相交直线的夹角 实现了空间问题向平面问题的转化 其本质是建立了二维几何与三维几何的相互联系 求异面直线所成的角的基本步骤概括起来就是 1 取点 2 作平行线 3 构造三角形 4 解三角形 本题在作平行线时充分利用了三角形的中位线的性质 在找到异面直线所成的角的同时也构造出了相应的三角形 这也是解这类题最常用的思路 易错点 共面条件使用不当致误设m n分别是正方体abcd a1b1c1d1的棱bb1 ad的中点 试作出平面c1mn与正方体的截面 错因分析 本题易出现的问题是误认为 c1mn即为所求截面 规范解答 取dd1的中点g gd的中点f 连接ag nf 延长fn交a1a的延长线于点h 连接hm交ab于点e 连接ne 则五边形c1menf即为所求截面 如图所示 下面证c1 m e n f共面 易证c1m ag 在 adg中 an nd gf fd nf ag 又 c1m ag g1m fn 故c1m与fn确定平面c1mnf 又 h nf nf 平面c1mnf h 平面c1mnf 故h c1 m n f共面 hm 平面c1mnf 又 e hm e 平面c1mnf n c1 m e f五点共面 状元笔记 平面的公理公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线在此平面内 公理2 过不在一条直线上的三点 有且只有一个平面 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理1是确定一条直线是不是在一个平面内的依据 公理2是确定一个平面的依据 是证明