高考数学总复习 第十章第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件 理.ppt

第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1 分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案 在第1类方案中有m种不同的方法 在第2类方案中有n种不同的方法 那么完成这件事共有n 种不同的方法 2 分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤 做第1步有m种不同的方法 做第2步有n种不同的方法 那么完成这件事共有n 种不同的方法 m n m n 1 区分 分类 和 分步 的依据是什么 提示 能否独立完成这件事是区分 分类 还是 分步 的依据 2 在解题过程中如何判定是用分类加法计数原理还是用分步乘法计数原理 提示 如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事 应该用分类加法计数原理 如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分 就用分步乘法计数原理 1 教材改编题 在所有的两位数中 个位数字大于十位数字的两位数共有 a 50个b 45个c 36个d 35个 解析 根据题意 十位数上的数字分别是1 2 3 4 5 6 7 8的情况分成8类 在每一类中满足题目要求的两位数分别有8个 7个 6个 5个 4个 3个 2个 1个 由分类加法计数原理知 符合题意的两位数共有8 7 6 5 4 3 2 1 36 个 答案 c 2 5位同学报名参加两个课外活动小组 每位同学限报其中的一个小组 则不同的报名方法有 a 10种b 20种c 25种d 32种 解析 分5步完成 每一步有两种不同的方法 故不同的报名方法有25 32 种 答案 d 3 书架上原来并排着5本不同的书 现要再插入3本不同的书 那么不同的插法共有 a 336种b 120种c 24种d 18种 解析 分三步完成 第一步插入第1本书 有6种插法 第二步 插入第2本书有7种方法 第三步插入第3本书 有8种方法 所以不同的插法有6 7 8 336 种 答案 a 4 直线方程ax by 0 若从1 2 3 6 7 8这六个数字中每次取两个不同的数作为a b的值 则表示不同直线的条数是 解析 先不考虑重合的直线 共有6 5 30条直线 其中当a 1 b 2和a 3 b 6 a 2 b 1和a 6 b 3 a 1 b 3和a 2 b 6 a 3 b 1和a 6 b 2时 两直线重合 故不重合的直线有30 4 26 条 答案 26 2012 揭阳调研 在某种信息传输过程中 用4个数字的一个排列 数字允许重复 表示一个信息 不同排列表示不同信息 若所用数字只有0和1 则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 a 10b 11c 12d 15 思路点拨 分三类 有两个对应位置上的数字相同 有1个对应位置上的数字相同或有0个对应位置上的数字相同 分类加法计数原理 答案 b 1 分类时 首先根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准 然后在这个标准下进行分类 应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类 并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法 2 分类标准是运用分类计数原理的难点所在 重点在于抓住题目中的关键词或关键元素 关键位置 如本例以有几个对应位置上的数字相同为标准分类 在1到20这20个整数中 任取两个相减 差大于10 共有几种取法 解 由题意知 被减数可以是12 13 14 15 16 17 18 19 20共9种情况 当被减数依次取12 13 20时 减数分别有1 2 3 9种情况 由分类加法计数原理知 共有9 8 7 1 45种不同的取法 已知集合m 3 2 1 0 1 2 p a b 表示平面上的点 a b m 问 1 p可表示平面上多少个不同的点 2 p可表示平面上多少个第二象限的点 3 p可表示多少个不在直线y x上的点 思路点拨 确定点p 这件事需要依次确定横 纵坐标 利用分步乘法计数原理求解 分步乘法计数原理 尝试解答 1 确定平面上的点p a b 可分两步完成 第一步确定a的值 共有6种确定方法 第二步确定b的值 也有6种确定方法 根据分步乘法计数原理 得到平面上的点共有6 6 36个 2 确定第二象限的点 可分两步完成 第一步确定a 由于a 0 所以有3种确定方法 第二步确定b 由于b 0 所以有2种确定方法 由分步乘法计数原理 得到第二象限点的个数是3 2 6 3 点p a b 在直线y x上的充要条件是a b 因此a和b必须在集合m中取同一元素 共有6种取法 即在直线y x上的点有6个 结合 1 得不在直线y x上的点共有36 6 30 个 1 利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步 即分步是有先后顺序的 并且也要确定分步的标准 分步必须满足 完成一件事的各个步骤是相互依存的 只有各个步骤都完成了 才算完成这件事 2 分步必须满足两个条件 1 步骤互相独立 互不干扰 2 步与步确保连续 已知集合m 3 2 1 0 1 2 若a b c m 则 1 y ax2 bx c可以表示多少个不同的二次函数 2 y ax2 bx c可以表示多少个图象开口向上的二次函数 解 1 a的取值有5种情况 b的取值有6种情况 c的取值有6种情况 因此y ax2 bx c可以表示5 6 6 180个不同的二次函数 2 y ax2 bx c的开口向上时 a的取值有2种情况 b c的取值均有6种情况 因此y ax2 bx c可以表示2 6 6 72个图象开口向上的二次函数 如图10 1 1所示 用四种不同颜色给图中的a b c d e f六个点涂色 要求每个点涂一种颜色 且图中每条线段的两个端点涂不同颜色 则不同的涂色方法共有 a 288种b 264种c 240种d 168种 两个计数原理的综合应用 思路点拨 解答本题应注意两点 1 每一个点都有可以和它同色的两个点 2 涂色的顺序不同影响解题的难度 可先涂a d e 再分类涂b f c 尝试解答 分两类 第一类 涂三种颜色 先涂点a d e有a种方法 再涂点b c f有2种方法 故有a 2 48 种 方法 第二类 涂四种颜色 先涂点a d e有a种方法 再涂点b c f有3c种方法 故共有a 3c 216 种 方法 由分类加法计数原理 共有48 216 264 种 不同的涂法 答案 b 1 给b c f涂色时 在每一类下又有两种情况 应切实掌握好分类的标准 分清哪些可以同色 哪些不同色 2 用两个计数原理解决计数问题时 关键是明确需要分类还是分步 1 分类要做到 不重不漏 分类后再分别对每一类进行计数 最后用分类加法计数原理求和 得到总数 2 分步要做到 步骤完整 只有完成了所有步骤 才完成任务 根据分步乘法计数原理 把完成每一步的方法数相乘 得到总数 用n种不同颜色为下列两块广告牌着色 如图10 1 2中 要求在a b c d四个区域中相邻 有公共边的 区域不用同一种颜色 1 若n 6 为 着色时共有多少种不同的方法 2 若为 着色时共有120种不同的方法 求n 解 1 分四步 第1步涂a有6种方法 第2步涂b有5种方法 第3步涂c有4种方法 第4步涂d有4种方法 根据分步乘法计数原理 共有6 5 4 4 480种方法 2 由题意 得n n 1 n 2 n 3 120 注意到n n 可得n 5 从近两年的高考试题来看 分类加法计数原理和分步乘法计数原理是考查的热点 题型为客观题 属中档题 两个计数原理较少单独考查 一般与排列 组合的知识结合命题 预测2013年高考 两个计数原理仍是考查的重点 同时应特别重视分类加法计数原理的应用 它体现了分类讨论的思想 2011 北京高考 用数字2 3组成四位数 且数字2 3至少都出现一次 这样的四位数共有 个 用数字作答 解析 法一数字2 3至少都出现一次 包括以下情况 2 出现1次 3 出现3次 共可组成c 4 个 四位数 2 出现2次 3 出现2次 共可组成c 6 个 四位数 2 出现3次 3 出现1次 共可组成c 4 个 四位数 综上所述 共可组成14个这样的四位数 思想方法之十六用 正难则反 的思想解决计数问题 法二因为四位数的每个数位上都有两种可能性 其中四个数字全是2或3的情况不合题意 所以适合题意的四位数有24 2 14 个 答案 14 易错提示 1 不能选择合理的分类标准 造成重复或遗漏 2 2 3至少都出现一次 理解出现偏差 导致计算结果错误 防范措施 1 在处理具体问题时 首先弄清楚 分类 还是 分步 其次要清楚 分类 或 分步 的标准是什么 避免计数重复或遗漏 2 如果正面