高考数学总复习 第二章第九节 函数模型及其应用 课件 理.ppt

第九节函数模型及其应用 1 三种函数模型之间增长速度的比较 单调递增 单调递增 单调递增 logax xn ax 2 常用的几类函数模型 1 指数函数模型y a bx c a 0 b 0且b 1 2 对数函数模型y mlogax n a 0且a 1 m 0 3 幂函数模型y axn b a 0 3 解函数应用问题的步骤 四步八字 1 审题 弄清题意 分清条件和结论 寻找数量关系 2 建模 利用数学知识 建立相应的数学模型 3 求模 求解数学模型 得出数学结论 4 还原 用数学问题解释并回答实际问题的意义 直线上升 指数增长 对数增长的增长特点是什么 你作为老板 希望公司的利润和员工奖金按何种模型增长 提示 直线上升 匀速增长 指数增长 先慢后快 其增长量成倍增加 可用 指数爆炸 形容 对数增长 先快后慢 其增长速度缓慢 公司的利润选择直线上升或指数模型增长 而员工奖金选择对数模型增长 1 教材改编题 在一次数学试验中 采集到如下一组数据 解析 先作出散点图 再结合选项中函数的性质判断 答案 b 2 拟定甲地到乙地通话m分钟的电话费f m 0 5 m 1 单位 元 其中m 0 m 表示不大于m的最大整数 如 3 62 3 4 4 当m 0 5 3 2 时 函数f m 的值域是 a 1 2 3 4 b 1 1 5 2 2 5 c 1 1 5 2 5 3 d 1 5 2 2 5 解析 当m 0 5 3 2 时 m 所有可能值为0 1 2 3共四个 故f m 的值域为 1 1 5 2 2 5 答案 b 答案 b 答案 d 1 求k的值及f x 的表达式 2 隔热层修建多厚时 总费用f x 达到最小 并求最小值 思路点拨 分析题意知 c 0 8由此得出k的值 由隔热层建造费与20年的能源消耗费相加得f x 的表达式 可用求导函数或基本不等式判断函数的单调性求f x 的最小值 1 1 求函数的解析式和最值时 易忽略x的取值范围与等号成立的条件 2 利用基本不等式求函数的最值 一定要注意等号成立的条件 如果等号不成立 可利用函数的单调性求解 2 1 二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决 但一定要密切注意函数的定义域 否则极易出错 2 解决函数应用问题时 最后要还原到实际问题 某种出口产品的关税税率为t 市场价格x 单位 千元 与市场供应量p 单位 万件 之间近似满足关系式 p 2 1 kt x b 2 其中k b均为常数 当关税税率t 75 时 若市场价格为5千元 则市场供应量为1万件 若市场价格为7千元 则市场供应量约为2万件 1 试确定k b的值 2 市场需求量q 单位 万件 与市场价格x近似满足关系式 q 2 x 当p q时 市场价格称为市场平衡价格 当市场平衡价格不超过4千元时 试确定关税税率的最大值 指数函数与对数函数模型的应用 思路点拨 1 由题设条件 建立关于k b的方程 不难确定k b的值 2 依据市场平衡价格的意义 结合指数函数的单调性 确定关税税率t关于x的函数 利用导数求最值 1 1 本题涉及的 名词 量 较多 准确理解题意和各 名词 的含义是正确求解的关键 2 根据指数函数的单调性 建立税率关于 市场平衡价格 的函数关系 是求解第 2 问的前提条件 2 1 指数函数模型 常与增长率相结合 在实际问题中人口增长 银行利率 细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示 2 应用指数函数模型时 先设定模型 将已知数据代入验证计算 确定参数 2011 四川高考改编 里氏震级m的计算公式为 m lga lga0 其中a是测震仪记录的地震曲线的最大振幅 a0是相应的标准地震的振幅 1 假设在一次地震中 测震仪记录的最大振幅是1000 此时标准地震的振幅为0 001 求此次地震的震级 2 2011年3月11日 日本东海岸发生9 0级特大地震 2008年5月12日 中国汶川发生8 0级强震 那么9 0级地震的最大振幅是8 0级地震最大振幅的多少倍 2011 湖北高考 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 在一般情况下 大桥上的车流速度v 单位 千米 小时 是车流密度x 单位 辆 千米 的函数 当桥上的车流密度达到200辆 千米时 造成堵塞 此时车流速度为0 当车流密度不超过20辆 千米时 车流速度为60千米 小时 研究表明 当20 x 200时 车流速度v是车流密度x的一次函数 1 当0 x 200时 求函数v x 的表达式 2 当车流密度x为多大时 车流量 单位时间内通过桥上某观测点的车辆数 单位 辆 小时 f x x v x 可以达到最大 并求出最大值 精确到1辆 小时 分段函数模型的应用 思路点拨 1 当20 x 200时 运用待定系数法求v x 的解析式 进而确定当0 x 200时 分段函数v x 2 根据 1 求出f x 根据函数的单调性与基本不等式求最值 1 理解题意 由待定系数法 准确求出v x 是求解本题的关键 要注意分段函数各段变量的取值范围 特别是端点值 2 实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出 而是由几个不同的关系式构成 如出租车票价与路程之间的关系 应构建分段函数模型求解 图2 9 1 1 从药物释放开始 求每立方米空气中的含药量y 毫克 与时间t 小时 之间的函数关系式 2 据测定 当空气中每立方米的含药量降低到0 25毫克以下时 学生方可进教室 那么从药物释放开始 至少需要经过多少个小时后 学生才能回到教室 从近两年高考试题看 与函数有关的应用题 经常涉及物价 路程 产值等实际问题 也经常涉及面积 体积 造价等优化问题 如2011 山东21 2011 湖南20 题型主要以解答题为主 难度中等偏高 常与导数 最值交汇 主要考查考生的 建模 解决实际问题的能力 规范解答之二函数建模在实际问题中的应用 14分 2011 湖南高考 如图2 9 2 长方体物体e在雨中沿面p 面积为s 的垂直方向作匀速移动 1 写出y的表达式 2 设0 v 10 0 c 5 试根据c的不同取值范围 确定移动速度v 使总淋雨量y最少 解题程序 第一步 由题意 表示单位时间内的淋雨量 第二步 建立总淋雨量为函数模型 第三步 分类讨论 化总淋雨量为分段函数 第四步 讨论参数c对函数单调性的影响 求总淋雨量y的最小值 第五步 检验 验证 用数学结果回答实际问题 易错提示 1 由于未读懂题意 不能正确建立函数模型 再者第 2 问难以转化为分段函数 导致求解受阻 2 在解模时 由于未分清c v中 谁是自变量 造成求解错误 防范措施 1 求解函数实际问题 审题是关键 要弄清相关 名词 准确寻求各量之间的关系 2 抓住隐含条件为突破口 化淋雨量为分段函数 是进一步正确求解的前提 并对运算结果作出实际解释 答案 4 从而 f x 10 x 6