高三数学总复习 （回顾+突破+巩固+提升作业） 第二章 第六节 幂函数与二次函数课件 文.ppt

第六节幂函数与二次函数 1 二次函数的解析式 ax2 bx c h k 2 二次函数的图像与性质 b 0 3 幂函数的概念如果一个函数 底数是自变量x 指数是常量 即 这样的函数称为幂函数 4 幂函数的图像幂函数的图像如图 y x 5 幂函数的性质 性质 函数 r r 0 x x r 且x 0 r 0 r 0 y y r 且y 0 奇 奇 非奇非偶 奇 x 0 时 增 x 0 时 减 增 增 x 0 时减 x 0 时减 1 1 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 二次函数y ax2 bx c x a b 的最值一定是 2 二次函数y ax2 bx c x r 不可能是偶函数 3 幂函数的图像都经过点 1 1 和点 0 0 4 当n 0时 幂函数y xn在定义域上是增加的 解析 1 错误 当时 二次函数的最值不是 2 错误 当b 0时 二次函数y ax2 bx c是偶函数 3 错误 幂函数y x 1不经过点 0 0 4 错误 幂函数y x2在定义域上不单调 答案 1 2 3 4 1 已知点在幂函数f x 的图像上 则f x 的表达式为 a f x x2 b f x x 2 c d f x x 解析 选b 设f x xn 则即 n 2 f x x 2 2 函数f x m 1 x2 2mx 3为偶函数 则f x 在区间 5 3 上 a 先减后增 b 先增后减 c 单调递减 d 单调递增 解析 选d f x m 1 x2 2mx 3为偶函数 2m 0 m 0 则f x x2 3在 5 3 上是增加的 3 图中c1 c2 c3为三个幂函数y xk在第一象限内的图像 则解析式中指数k的值依次可以是 a b c d 解析 选a 设c1 c2 c3对应的k值分别为k1 k2 k3 则k11 故选a 4 函数f x x2 2 a 1 x 2在区间 3 上是减少的 则实数a的取值范围是 解析 二次函数f x 的对称轴是x 1 a 由题意知1 a 3 a 2 答案 2 5 设函数f x mx2 mx 1 若f x 0的解集为r 则实数m的取值范围是 解析 当m 0时 f x 1 0恒成立 符合题意 当m 0时 则有即 4 m 0 综上知 4 m 0 答案 4 0 考向1二次函数的图像与性质 典例1 1 已知一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两个实数根x1 x2满足x1 x2 4和x1 x2 3 那么二次函数y ax2 bx c a 0 的图像有可能是 2 已知函数f x x2 2ax 3 x 4 6 当a 2时 求f x 的最值 求实数a的取值范围 使y f x 在区间 4 6 上是单调函数 当a 1时 求f x 的单调区间 思路点拨 1 先根据条件求出两个根 进而得到对称轴方程 最后可得结论 2 解答 和 可根据对称轴与区间的关系 结合单调性直接求解 对于 应先将函数化为分段函数 画出函数图像 再根据图像求单调区间 规范解答 1 选c 因为一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两个实数根x1 x2满足x1 x2 4和x1 x2 3 所以两个根为1 3 所以对应的二次函数其对称轴为x 2 图像与x轴的交点坐标为 1 0 3 0 故选c 2 当a 2时 f x x2 4x 3 x 2 2 1 则函数在 4 2 上为减少的 在 2 6 上为增加的 f x min f 2 1 f x max f 4 4 2 4 4 3 35 函数f x x2 2ax 3的对称轴为 要使f x 在 4 6 上为单调函数 只需 a 4或 a 6 解得a 4或a 6 当a 1时 f x x2 2 x 3其图像如图所示 又 x 4 6 f x 在区间 4 1 和 0 1 上为减少的 在区间 1 0 和 1 6 上为增加的 拓展提升 1 求二次函数最值的类型及解法 1 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型 轴定区间定 轴动区间定 轴定区间动 2 二次函数最值问题的解题关键是对称轴与区间的关系 常结合二次函数在该区间上的单调性或图像求解 最值一般在区间的端点或顶点处取得 当含有参数时 要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论 2 与二次函数单调性有关的问题的解法根据二次函数的单调性 结合二次函数图像的开口方向及升 降情况对对称轴进行分析 讨论 进而求解 变式训练 已知函数f x x2 2a 1 x 3 1 当a 2 x 2 3 时 求函数f x 的值域 2 若函数f x 在 1 3 上的最大值为1 求实数a的值 解析 1 当a 2时 f x x2 3x 3 f x max f 3 15 值域为 2 对称轴为 当即时 f x max f 3 6a 3 6a 3 1 即满足题意 当即时 f x max f 1 2a 1 2a 1 1 即a 1满足题意 综上可知或 1 考向2二次函数的综合应用 典例2 1 2013 南昌模拟 设函数f x x x bx c 给出下列四个命题 当c 0时 y f x 是奇函数 当b 0 c 0时 方程f x 0只有一个实根 函数y f x 的图像关于点 0 c 对称 方程f x 0至多有两个实根 其中正确的命题为 2 已知二次函数f x ax2 bx 1 a b r x r 若函数f x 的最小值为f 1 0 求f x 的解析式 并写出单调区间 在 的条件下 f x x k在区间 3 1 上恒成立 试求k的范围 思路点拨 1 根据奇函数的定义判断 把f x 用分段函数表示 再求实根 证明f x 2c f x 当c 0 b 0时 方程有3个根 2 根据f 1 0及列方程组求解 分离参数 转化为求函数的最值问题 规范解答 1 对于 当c 0时 f x x x bx x x bx f x 故 正确 对于 当x 0时 x2 c 0无解 当x 0时 由 x2 c 0得x2 c 故 正确 对于 f x x x bx c x x bx f x c f x x x bx c x x bx c f x c c 2c f x 故 正确 对于 当c 0 b 0时 f x x x bx 令f x 0得x 0或 x b x 0或x b或x b 此时方程有3个实根 故 错 答案 2 由题意知 f x x2 2x 1 x 1 2 单调减区间为 1 单调增区间为 1 f x x k在区间 3 1 上恒成立 转化为x2 x 1 k在 3 1 上恒成立 设g x x2 x 1 x 3 1 则g x 在 3 1 上是减少的 g x min g 1 1 k 1 即k的取值范围为 1 拓展提升 1 一元二次不等式恒成立问题的两种解法 1 分离参数法 把所求参数与自变量分离 转化为求具体函数的最值问题 2 不等式组法 借助二次函数的图像性质 列不等式组求解 2 一元二次方程根的分布问题解决一元二次方程根的分布问题 常借助二次函数的图像数形结合来解 一般从以下四个方面分析 开口方向 对称轴位置 判别式 端点函数值符号 变式训练 设函数f x ax2 2x 2 对于满足10 求实数a的取值范围 解析 方法一 当a 0时 由x 1 4 f x 0得 或或 或或 a 1或或 即当a 0时 解得a 当a 0时 f x 2x 2 f 1 0 f 4 6 不合题意 综上可得 实数a的取值范围是 方法二 由f x 0 即ax2 2x 2 0 x 1 4 得在 1 4 上恒成立 令所以要使f x 0在 1 4 上恒成立 只要即可 故实数a的取值范围为 考向3幂函数及其性质 典例3 1 幂函数y f x 的图像过点 4 2 则幂函数y f x 的图像是 2 已知幂函数的图像关于y轴对称 且在 0 上是减少的 求满足的实数a的取值范围 思路点拨 1 利用待定系数法先求出函数的解析式 再根据函数的解析式研究其性质即可得到图像 2 首先根据单调性求m的范围 其次由图像的对称性确定m的值 最后根据的大小 求解关于a的不等式 规范解答 1 选c 设幂函数的解析式为y xa 幂函数y f x 的图像过点 4 2 2 4a 解得 其定义域为 0 且是增加的 当0 x 1时 其图像在直线y x的上方 对照选项 故选c 2 f x 在 0 上是减少的 m2 2m 3 0 解之得 1 m 3 又m n m 1或m 2 由于f x 的图像关于y轴对称 m2 2m 3 为偶数 又当m 2时 m2 2m 3 为奇数 m 2舍去 因此m 1 又在 0 上为增加的 等价于0 a 1 3 2a 解之得故实数a的取值范围是 互动探究 若将本例 2 条件 关于y轴对称 改为 关于原点对称 其余不变 则如何求解 解析 f x 在 0 上是减少的 m2 2m 3 0 1 m 3 又f x 的图像关于原点对称 m2 2m 3 为奇数 又当m 1时 m2 2m 3 为偶数 m 2 又 y x在r上是增加的 a 1 3 2a 解得则实数a的取值范围是 拓展提升 幂函数的指数对函数图像的影响当 0 1时 幂函数y x 在第一象限的图像特征 变式备选 1 已知0 5且 z 若幂函数y x3 是r上的偶函数 则 的取值为 a 1 b 1 3 c 1 3 5 d 0 1 2 3 解析 选a 根据0 5且 z 得 0 1 2 3 4 5 使函数y x3 为偶函数的 的值为1 则 的取值为1 2 若a 0 则下列不等式成立的是 a b c d 解析 选b a 0 y xa在 0 上是减少的 且函数值大于零 故选b 创新体验 二次函数综合题的规范解答 典例 12分 2013 大连模拟 设a为实数 函数f x 2x2 x a x a 1 若f 0 1 求a的取值范围 2 求f x 的最小值 思路点拨 规范解答 1 f 0 a a 1 a 0 即a 0 2分由a2 1 知a 1 则a的取值范围是 1 5分 2 记f x 的最小值为g a 我们有f x 2x2 x a x a 7分 当a 0时 f a 2a2 由 知f x 2a2 此时g a 2a2 9分 当aa 则由 知若x a 由 知因此 11分综上得 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 上饶模拟 已知则a b c的大小关系是 a c a b b a b c c b a c d c b a 解析 选d 函数在 0 上是减少的 即b c 又函数在r上是减少的 即a b a b c 2 2013 福州模拟 若f x 是幂函数 且满足则 a 3 b 3 c d 解析 选c 设f x xn 则 3 2013 潍坊模拟 若定义在r上的二次函数f x ax2 4ax b在区间 0 2 上是增加的 且f m f 0 则实数m的取值范围是 a 0 m 4 b 0 m 2 c m 0 d m 0或m 4 解析 选a f x ax2 4ax b a x 2 2 b 4a 又函数f x 在 0 2 上是增加的 因此函数f x 在 2 4 上是减少的 且f 0 f 4 又f m f 0 0 m 4 4 2013 铜陵模拟 已知函数f x ax2 2ax 4 0 a 3 其图像上两点的横坐标x1 x2满足x1 x2 且x1 x2 1 a 则有 a f x1 f x2 b f x1 f x2 c f x1 f x2 d f x1 f x2 的大小不确定 解析 选c f x a x 1 2 4 a 0 a 3 2 1 a 1 2 x1 x2 1 从而x2 1 且 x2 1 x1 1 f x2 f x1 1 已知函数f x x2 2ax 5在 2 上是减少的 且对任意的x1 x2 1 a 1 总有 f x1 f x2 4 则实数a的取值范围是 a 1 4 b 2 3 c 2 5 d 3 解析 选b f x x a 2 5 a2 由题意知a 2 则 f x1 f x2 f 1 f a 6 2a