解析几何中的定值问题.doc

解析几何中的定值问题1、（2014安徽高考）如图，已知两条抛物线，过点的三条直线、和. 与和分别交于两点,与和分别交于，与和分别交于. 记的面积分别为与，求证的值为定值.证明：设直线的方程分别为.把直线与抛物线联立求解得：，.由三角形三顶点坐标面积公式得：，所以为定值.注：（1）设ABC三顶点的坐标分别为，则;(2) 原解答包含一个重要结论，三边对应平行，进而，2、（2007重庆）已知F是椭圆的右焦点，在椭圆上任取三个不同点，使，证明为定值，并求此定值. 证：引入椭圆的极坐标方程，.其中e是椭圆的离心率，p是相应焦点到准线的距离，是极径与极轴的夹角.设，则, 为定值.例1、设是过椭圆右焦点的一条弦，是椭圆上异于的任一点，直线分别交椭圆的右准线于两点. 求证：两点的纵坐标之积为定值，并求该定值.分析：此题若按常规方法设立坐标求解，将会异常困难，不妨从平面几何的角度考虑. 角平分线的性质：如图1，ABC中，若AM平分ABC，等价于, 同理若AN平分BAC的外角BAD，等价于 .图1解：如图2，延长交于，延长交于C，连FM，下证FM平分PFA的外角QFA，设A, P为A，P在上的射影，则，所以FM为PFA的外角平分线，即FM平分QFA，同理FN平分PFB的外角（即FN平分QFB），从而MFN=90. 设交轴于K，则，从而为定值.图22、A为椭圆上一个定点. 过A任作两条互相垂直的弦AB，AC. 证明直线BC通过一个定点.证：我们平移坐标轴，使得A为原点. 设过A的已知曲线方程为. (1)过原点A，所以没有常数项.设直线BC的方程为 .则过B，C两点的直线AB，AC的方程是(2)的左边是的二次齐次式，所以它表示两条过原点A的直线. 而B，C的坐标均适合(2)，所以(2)表示AB，AC). 因为AB，AC互相垂直，所以(2)作为的方程，两根之积为1，即，整理为 .比较(2)与(3)，得直线BC经过定点.3、如图, 已知是圆O: 与x轴的两个交点, P为直线上的动点, 与圆O的另一个交点分别为. 证明: 直线MN过定点, 并求出定点.证: 设. 则.设.代入得.由韦达定理得代入(1)式并整理得 .当或m=4(舍).当时, 直线MN即为AB.所以, 直线MN过点(1,0).另证: 设直线MN与轴的交点为K(m, 0), 因为P的幂（关于O）K的幂（关于O）,.4、： 已知分别为椭圆的左右顶点, P为椭圆右准线上任一点, 连接分别交椭圆于M , N两点, 求证: 直线MN恒过椭圆的右焦点.证: 设MN所在直线为, 由.同理有,由,联立直线MN与椭圆, 得,由韦达定理有, ,代入(3)得, . 所以直线MN恒过椭圆的右焦点.例5：已知F为椭圆的右焦点, 过F作两条互相垂直的弦AB , CD , 设M, N分别为AB , CD的中点, 求证: 直线MN恒过定点, 求出定点坐标.证明: 设AB所在直线方程为: , 联立求解得 当斜率不存在时, 直线MN即为x轴.令y=0, .直线MN恒过定点.注: 此题不难, 难在最后想到令y=0, 因为当斜率不存在时, 直线MN即为x轴.例6. 已知的三个顶点在椭圆上, 坐标原点O为的重心. 证明: 的面积为定值. 证法(一): 令. 则. 由点C在椭圆上, 代入得.另一方面 (定值).证法(二): 记的面积为S