高中数学 《第一章 三角函数》定义课件 苏教版必修4.ppt

三角函数定义 学习目标 1 理解三角函数的定义 2 会利用三角函数的定义求简单角的函数值 3 理解并掌握三角函数在各象限的符号 教学重点 会利用三角函数的定义求角的函数值 会判断 三角函数在各象限的符号 求角的函数值时对象限符号的判定 教学难点 1 初中学过的锐角三角函数的定义 在直角三角形abc中 角c是直角 角a为锐角 则用角a的对边bc 邻边ac和斜边ab之间的比值来定义角a的三角函数 2 用坐标的形式表示出初中所学的锐角三角函数 以角 的顶点o为坐标原点 以角 的始边的方向作为x轴的正方向 建立直角坐标系xoy 则角 的终边落在直角坐标系的第一象限内 记 mop sin cos tan 若点p x y 是角 终边上的任意一点 点p到原点o的距离是r 试将角 的三角函数用x y r的式子表示出来 3 任意角的三角函数 1 确立任意角 在直角坐标系中的位置 以角 的顶点o为坐标原点 以角 的始边的方向作为x轴的正方向 建立直角坐标系xoy 2 在其终边上取点a 使oa 1 点a的坐标为 l m 再任取一点p x y 设点p到原点的距离为r op r r 0 根据三角形的相似知识得 因为a p在同一象限内 所以它们的坐标符号相同 因此得 叫做角 的余弦 记作cos 即cos 不论点p在终边上的位置如何 它们都是定值 它们只依赖于 的大小 与点p在 终边上的位置无关 即当点p在 的终边上的位置变化时 这三个比值始终等于定值 叫做角 的正弦 记作sin 即sin 叫做角 的正切 记作tan 即tan 角 的正割 记作sec 角 的余割 记作csc 角 的余切 记作cot 依照上述定义 对于每一个确定的角 都分别有唯一确定的余弦值 正弦值与之对应 当 k k z 时 它有唯一的正切值与之对应 因此这三个对应法则都是以 为自变量的函数 分别叫做角 的余弦函数 正弦函数和正切函数 4 几点说明 1 这里提到的角 是 任意角 2 锐角三角函数是以边长的比来定义的 都是正值 任意角的三角函数是以坐标与距离 坐标与坐标的比来定义的 不一定都是正值 3 三角函数是以角为自变量 以 比值 为函数值的函数 正弦函数可记作 f sin 余弦函数可记作 正切函数可记作 h cos g tan 体会对应法则 对于正弦函数sin 因为r 0 所以恒有意义 即 取任意实数 恒有意义 也就是说sin 恒有意义 所以正弦函数的定义域是r 类似地可写出余弦函数的定义域是r 三角函数函数的定义域 对于正切函数tan 因为x 0时 无意义 又当且仅当 的终边落在y轴上时 才有x 0 所以当 的终边落不在y轴上时 恒有意义 即tan 恒有意义 所以正切函数的定义域是 k k z 从而三角函数的定义域是y sin ry cos r y tan k k z 例3 设sin 0 确定 是第几象限的角 解 因为sin 0 可能是第一 三象限的角 综上所述 是第三象限的角 例4 确定下列三角函数值的符号 1 cos250 2 3 tan 672 4 解 1 250 在第三象限 所以cos250 0 2 在第四象限 所以sin 0 3 672 在第一象限 所以tan 672 0 4 在第四象限 所以tan 0 例6 若 的终边与函数y 2 x 的图象重合 求 的各三角函数值 解 的终边与函数y 2 x 的图象重合 是第三或第四象限的角 课后练习 4 已知角 的终边上一个点p的坐标为 4t 3t t 0 求 的正弦 余弦和正切值 解 由已知有x 4t y 3t op r 5 t 5 若点p 8 y 是角 终边上一点 且sin 3 5 则y的值是 6 已知角 3 2 分别求sin cos tan 设 是一个任意角 的任意一点 除端点外 的坐标 x y 它与原点的距离是r 那么 1 比值y r叫做 的正弦 记作sin 即sin y r 2 比值x r叫做 的余弦 记作cos 即cos x r 3 比值y x叫做 的正弦 记作tan 即tan y